1、3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_；(2)商数关系：_.sin2cos21tansincos2诱导公式 函数 角 正弦 余弦 正切 k2(kZ)sin cos _ sin _ tan _ cos tan 2 sin _ tan _ cos _ cos _ _ sin 22tancossincossintansincos思考感悟如何利用上表中的诱导公式实现正弦函数与余弦函数的相互转化？提示：利用公式“”可实现正弦函数与余弦函数
2、的相互转化总口诀为：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇、偶”是指“k2(kZ)”中 k 的奇偶性；“符号”是把任意角 看作锐角时，原函数值的符号答案：D课前热身1cos585等于()A 32 B.32C.22D 22答案：A2(教材习题改编)sin(52 4)sin(556)的值是()A.212B.212C.1 22D 212答案：D3(2009 年高考全国卷)已知 ABC 中，1tanA125，则 cosA 等于()A.1213B.513C 513D12135sin21sin22sin23sin288sin289的值为_4(2011 年济源质检)cos(796)的值为_答案：32答案：4412
3、考点探究挑战高考 考点突破 三角函数式的化简利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行化简时，一般多直接应用公式，在此情况下容易出错的地方是三角函数的符号【思路点拨】观察分析每一个角(式)，看其是否能直接使用公式，不能直接使用，要对其进行合理变形化简下列各式(1)1sin1sin1sin1sin(是第三象限角)；(2)12sin40cos40；(3)sin2sin2sin2sin2cos2cos2；(4)tancos2sin32 cossin.例1【解】(1)原 式 1sin1sin1sin1sin 1sin1sin1sin1sin1sin21sin21sin21sin2 1sin|cos|1
4、sin|cos|，是第三象限角，cos0，原式1sincos 1sincos 2tan.(2)12sin40cos40 sin40cos402|sin40cos40|.sin400，求 cos 的值例2【解】(1)cos(80)cos80k，sin801cos2801k2，tan100tan(18080)，tan80sin80cos801k2k.(2)由 tansincos0，知 sin 与 cos 同号，cos1sin2145235.【误区警示】利用sin2cos21，求sin或cos的值时要用到开方，此时要注意角所在象限的判定互动探究1 若将本例(2)中条件“tan0”去掉，结果如何？答案
5、：35运用基本关系式可以求解两类问题：(1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值；(2)运用它对三角函数式进行化简、求值或证明同角三角函数基本关系式的应用【思路点拨】(1)用条件将待求式弦化切，分子分母同除以cos，或将式中的正弦用余弦代换，分子分母相抵消，达到求值的目的(2)为达到利用条件tan2的目的，将分母1变为sin2cos2，创造分母以达到利用(1)的法一的方法求值已知 tan2，求：(1)2sincossin2cos的值；(2)sin2sincos2cos2 的值例3【解】(1)法一：tan2，cos0，原式2sincos coscossincos2coscos2tan
6、 1tan 222122 34.法二：由 tan2，得 sin2cos，代入求值式得原式22coscos2cos2cos 3cos4cos34.【规律小结】如果所给分式的分子、分母是关于sin和cos的齐次式，则可通过同除以cos的最高次幂将分式转化成关于tan的分式，然后代入求值(2)原式sin2sincos2cos2sin2cos2tan 2tan 2tan 212222221 45.sincos与方程思想对于 sin cos，sincos，sin cos 借助平方关系可知一求二，如(sincos)212sin cos；若令 sin cos t，则 sin cos t212，(sin co
7、s)22t2 等已知2x0，sinxcosx15.(1)求 sin2xcos2x 的值；(2)求tan x2sinxcosx的值例4【思路点拨】由 sinxcosx15及 sin2xcos2x1 求出 sinx，cosx 的值，再代入所求式求值另外由2x0，可得 sinx0，从而判定 sinxcosx 的符号，求出(sinxcosx)2，再求值【解】由 sinxcosx15，得 12sinxcosx 125，则 2sinxcosx2425.2x0，sinx0，即 sinxcosx0，则 sinxcosxsin2x2sinxcosxcos2x1242575.(1)sin2xcos2x(sinxc
8、osx)(sinxcosx)15(75)725.(2)由sinxcosx15sinxcosx75，得sinx35cosx45，则 tanx34.即tan x2sinxcosx346545158.【名师点评】学会利用方程思想解三角函数题，对于 sincos，sincos，sincos这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断互动探究 2 本例条件不变，如何求3sin2x22sinx2cosx2cos2x2tan x1tan x的值解：原式2 sin2x2sinx1sinxcosxcosxsinx(2sinxcosx)sinxcosx，由例 4 可知 sinxc
9、osx15，sinxcosx1225，原式(215)(1225)108125.方法技巧1同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式2同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍(如例2)方法感悟3三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法，主要利用公式tan xsinxcosx化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sincos)212sincos 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2(11
10、tan 2)tan4.(如例 3、例 4)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化4应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”“求值”(如例1)1利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号失误防范考情分析 考向瞭望把脉高考 同角三角函数基本关系式及诱导公式是每年高考必考的知识点，考查重点是同角三角函数基本关系式的应用，诱导公式中
11、的，是高考的热点题型既有小题，又有解答题，难度中、低档；近几年加强了基本关系式及诱导公式在求值、化简的过程中与和差角公式及倍角公式的综合应用2预测 2012 年高考仍将以，2 及两个关系式为主要考点，重点考查运算能力与恒等变形能力真题透析(2010 年高考大纲全国卷)cos300()A 32 B12C.12D.32例【解析】cos300cos(36060)cos6012，故选 C.【答案】C【名师点评】(1)本题易失误的是：诱导公式记忆不准确，记混淆，误得 cos(36060)cos6012，而选 B.特殊角的三角函数值记忆不准确，误得 cos6032.(2)利用诱导公式化简三角函数的程序是：
12、“负化正，大化小，化到锐角就行了”但这样做需要多次运用诱导公式，思维链过长，计算繁琐，也就容易出错，而活用“奇变偶不变，符号看象限”，即“一步到位”法来化简，就能快而准地直达目的地名师预测1若 cos2sin 5，则 tan 等于()A.12B2C12D2解析：选 B.由题意，得cos2sin 5 sin2cos21 ，将代入得(5sin2)20，sin2 55，cos 55.tan2，故选 B.2已知 sinx12cosx，则sinxcosxsinxcosx等于()A12B13C14D.15解析：选 B.由 sinx12cosx，得 tanx12.sinxcosxsinxcosxtanx1tanx112112113.故选 B.答案：03若角 的终边在射线 yx(x0)上，则sin1sin2 1cos2cos_.解析：依题意，sin 22，cos 22，原式 sin|cos|sin|cos sincossincos0.4已知 sin 是方程 5x27x60 的根，且 是第三象限角，则sin32 cos32 tan2cos2sin2_.解析：方程 5x27x60 的根为 x12，x235，由题意知 sin35，cos45，tan34.原式cossintan2sincostan2 916.答案：916本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
