1、_第 22 课_导数在实际问题中的应用_ 能够运用所学的函数知识、思想和方法，运用所给的函数模型或构造相应的函数模型，将一些简单的实际问题转化为相应的导数问题，会利用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题.1.阅读：选修 11 第 9398 页2.解悟：实际生活中通常有哪些应用背景？构造的函数模型有哪些？总结求解实际问题的一般步骤，其关键步骤是什么？3.践习：在教材空白处完成教材第 96 页练习第 3、4 题.基础诊断 1.如图，将边长为 60cm 的正方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起做成一个无盖的方底铁皮盒当铁皮盒底边长为_40cm_时，盒子的容积
2、最大，最大容积是_16_000cm3_.解析：设铁皮盒底边长为 xcm，容积为 V，所以 V(x)60 x2x260 x2x32(0 x60)，则 V(x)60 x32x2(0 x0；当 x(40，60)时，V(x)0)，则 f(r)2r54r22（r327）r2.令 f(x)0 可得 r3，令 f(x)0可得 0r3.所以 f(r)在(0，3)上单调递减，在(3，)上单调递增，所以 f(r)在 r3 时取得最小值，所以当圆柱的底面半径为 3 时，用料最省3.将边长为 1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S（梯形的周长）2梯形的面积，则 S 的最小值是_3
3、2 33_解析：设剪成的小正三角形的边长为 x，则梯形的周长为 3x，梯形的面积为 34(1x2)，所以 S（3x）234（1x2）(0 x1)令 S(x)（3x）234（1x2）(0 x0，得13x1，令S(x)0 得 0 x13，所以当 x13时，S(x)取极小值，也是最小值，S 13 32 33，故 S 的最小值为32 33.范例导航 考向 利用导数研究用料最省、费用最低问题例 1 如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线 l1排，在路南侧沿直线 l2 排，现要在矩形区域 ABCD 内沿直线 EF 将直线 l1 与 l2 接通已知AB60m，BC80m，公路两
4、侧排管费用为每米 1 万元，穿过公路的 EF 部分的排管费用为每米 2 万元，设 EF 与 AB 所成的小于 90的角为.(1)求矩形区域 ABCD 内的排管费用 W 关于 的函数关系式；(2)求排管的最小费用及相应的角.解析：(1)如图，过点 E 作 EMBC，垂足为 M.由题意得，MEF0tan43，故 MF60tan，EF 60cos，AEFC8060tan，所以 W(8060tan)1 60cos28060sincos120 1cos8060sin2cos(其中 002，tan043)(2)设 f()sin2cos(其中 002，tan043)，则 f()12sincos2.令 f()
5、0 得 sin12，即 6.列表如下：所以当 6时，有 f()max 3，此时有 Wmin8060 3.故排管的最小费用为 8060 3 万元，相应的角 6.已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为 250 mL，则它的底面半径等于_53 2_时(用含有 的式子表示)，可使所用的材料最省解析：设圆柱的高为 h，表面积为 S，容积为 V，底面半径为 r，则 S2rh2r2，V250r2h，得h250r2，则S2r250r2 2r2500r 2r2，S500r24r.令S0得r53 2.因为 S 只有一个极值，所以当 r53 2时，S 取得最小值，即此时所用材料最省考向 利用导数研究利润最大问题 例 2 根
6、据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过 20 件，每日产品废品率 p 与日产量 x(件)之间近似地满足关系式 p215x，1x9，xN*，x260540，10 x20，xN*(日产品废品率日废品量日产量 100%)已知每生产一件正品可赢利 2 千元，而生产一件废品则亏损 1 千元该车间的日利润 y日正品赢利额日废品亏损额(1)将该车间日利润 y(千元)表示为日产量 x(件)的函数；(2)当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？解析：(1)由题意可知，y2x(1p)px24x2x215x，1x9，xN*，53x x3180，10 x20，xN*.(2)考虑函数f(x)24x
7、2x215x，1x9，xN*，53x x3180，10 x20，xN*，当 1x9 时，f(x)290（15x）2，令 f(x)0，得 x153 5；当 1x0，函数 f(x)在1，153 5)上单调递增；当 153 5x9 时，f(x)647，所以当该车间的日产量为 10 件时，日利润最大故当该车间的日产量为 10 件时，日利润最大，最大日利润是1009千元某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数y117x2，生产总成本y2(万元)也是x(千台)的函数 y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_6_千台解析：设利润为 W 万元，则 W(x)y1y217x22x3x218x22x
8、3，所以 W(x)36x6x2.令 W(x)0，解得 x6 或 x0(舍去)当 x(0，6)，W(x)0，W(x)单调递增；当 x(6，)，W(x)0，W(x)单调递减，故当 x6 时，W(x)取极大值，也是最大值，此时利润最大，即应生产 6 千台考向 利用导数研究长度、面积、体积最大(小)问题 例 3 如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD，其中 BMN 是半径为 1 百米的扇形，ABC23.管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路在MN 上选一点 P(异于 M，N 两点)，过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ.(1)设PBC，试用 表示修建的小路MP 与线段 P
9、Q 及线段 QD 的总长度 l；(2)求 l 的最小值解析：(1)延长 QP，交 AB 于点 E，则MP 23.在BPE 中，EPB，EBP23，BEP3，所以 EP 23sin23 ，EB 23sin，所以 PQ2 23sin23 ，QD2 23sin，所以 l23 2 23sin23 2 23sin42sin6 23 023.(2)l2cos6 1，令 l0，即2cos6 10，解得 00，即2cos6 10，解得223.所以当 2时，l 有最小值 4 36，故 l 的最小值为4 36 百米 自测反馈 1.设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V，当其表面积最小时，底面边长为_3 4V_解析：
10、设底面边长为 a，高为 h，表面积为 S.V 34 a2h，所以 h4 3V3a2，则表面积 S3ah2 34 a2 32 a24 3Va，所以 S 3a4 3Va2.令 S 3a4 3Va20，解得 a3 4V.当 0a3 4V时，S3 4V时，S0，所以当 a3 4V时，S 取极小值也是最小值，所以底面边长为3 4V.2.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20cm，要使其体积最大，则其高度应为_20 33cm_解析：设圆锥的高为 h，则底面半径为 202h2，所以其体积 V13(202h2)h(0h20)，所以 V3(4003h2)令 V0，即3(4003h2)0，解得 h20 33或 h2
11、0 33(舍去)当0h0；当20 33h20 时，V0，所以当 h20 33时，V 取最大值，故其高度应为20 33cm.3.若球的半径以 2cm/s 的速度膨胀，当半径为 5cm 时，表面积对时间的变化率是_80_解析：球的表面积为 S4R2.由题意得Rt 2，所以 tR2，所以StSR22SR，因为SRS8R，所以St16R.当 R5 时，St80，所以表面积对时间的变化率为 80.4.为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进，把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本 y(万元)与处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y 125x3640，10 x30，x240
12、 x1 600，30 x50，且每处理 1 吨二氧化碳可得价值为 20 万元的某种化工产品，当处理量为多少吨时，平均每吨的处理成本最少？解析：由题易知，二氧化碳的平均处理成本P(x)yx125x2640 x，x10，30），x1 600 x40，x30，50.当 x10，30)时，P(x)125x2640 x，所以 P(x)225x640 x2 2（x38 000）25x2，所以当 x10，20)时，P(x)0，函数 P(x)在区间20，30)上单调递增，所以当 x20 时，P(x)取得最小值为 P(20)20225 64020 48.当 x30，50时，P(x)x1 600 x402x1 600 x4040，当且仅当 x1 600 x，即 x40 时，P(x)取得最小值为 P(40)40，因为 4840，所以当处理量为 40 吨时，每吨的平均处理成本最少1.解决实际问题的一般步骤就是四步八个字：审题、建模、求解、还原2.最(极)值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最(极)值，利用导数求解3.你还有哪些体悟，写下来：
