1、23.2 双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的几何性质2会用双曲线的几何性质处理简单问题 课堂互动讲练 知能优化训练 23.2课前自主学案 课前自主学案 温故夯基1 椭 圆 x225 y29 1 上 点 的 坐 标 范 围 是_，顶点是_，_，_，_，离心率是_.2过点 P8 33，3，且焦点为 F1(5,0)，F2(5,0)的双曲线标准方程是_1.|x|5，|y|3A1(5,0)A2(5,0)B1(0，3)B2(0,3)e45x216y29双曲线的几何性质知新益能标准方程 图形 x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)性质 焦点 F1(c,0)，F2(c,0)F1
2、(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c 范围 xa或xa，yR ya或ya，xR 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长 实轴长_，虚轴长_离心率 渐近线 eca(e1)xayb0 xbya02a2b1能不能用a，b表示双曲线的离心率？问题探究 提示：能ecaa2b2a21b2a2.2不同的双曲线，渐近线能相同吗？其方程有何特点？提示：能相同双曲线x2a2y2b21 与y2b2x2a21 的渐近线就相同，所以具有相同渐近线的双曲线可设为x2a2y2b2(0，R)，0时，焦点在 x 轴上，0，b0)的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于
3、x 轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率例2【思路点拨】将焦点F1c，0的横坐标代入方程求出P的纵坐标及|PF1|由PF2Q90建立a、b、c的关系 求出离心率【解】设 F1(c,0)，将 xc 代入双曲线的方程得c2a2y2b21，那么 yb2a.由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|，b2a 2c，b22ac.c22aca20，(ca)22ca10.即 e22e10.e1 2或 e12(舍去)所以所求双曲线的离心率为 1 2.【名师点评】求双曲线的离心率就是要构造出关于a、b、c的一个方程，进而转化为关于e的方程求出结果，同时要利用好隐含条件ca0，确定e
4、的取值范围自我挑战2(2011年高考课标全国卷改编)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为_解析：设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线 l 的方程为 l：xc 或 xc，代入x2a2y2b21 得y2b2c2a21 b4a2，yb2a，故|AB|2b2a，依题意2b2a 4a，b2a22，c2a2a2e212，e 3.答案：3(1)直线与双曲线的位置关系有三种：(1)直线与双曲线相交(包括有两个不同的公共点和当直线与双曲线的渐近线平行时有一个公共
5、点两种情况)；(2)直线与双曲线相切(直线与双曲线有两个重合的公共点)；(3)直线与双曲线相离(没有公共点)直线与双曲线的位置关系(2)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方程组的讨论(3)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其交点的个数决定(本题满分14分)如图所示，设直线l与双曲线交于A，B两点，和双曲线的渐近线交于C，D两点，求证|AC|BD|.例3【思路点拨】欲证|AC|BD|，只需证线段AB的中点与线段CD的中点重合【规范解答】若直线
6、 l 平行于坐标轴，则根据双曲线的对称性，结论显然成立.2 分若直线 l 不平行于坐标轴，则设直线 l 的方程为 ykxmk2b2a2，双曲线的方程为 b2x2a2y2a2b2，渐近线的方程为 b2x2a2y20，6 分由ykxm，b2x2a2y2a2b2 得：(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.8 分设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 2a2kmb2a2k2，线段 AB 的中点 M 的横坐标 xMx1x22 a2kmb2a2k2.10 分由ykxmb2x2a2y20得(b2a2k2)x22a2kmxa2m20.12 分设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，
7、则 x3x42a2kmb2a2k2，线段 CD 的中点 N 的横坐标 xNx3x42 a2kmb2a2k2，而点 M，N 在同一条直线上，点 M 和N 重合，故|AC|BD|.14 分【名师点评】本题利用方程组及根与系数的关系解决线段中点的问题，这一过程体现了方程思想的应用利用方程解有关问题是此类问题的主要方法1双曲线的性质应用(1)解决双曲线有关问题，需根据标准方程的形式，结合图形的几何性质，确定焦点位置及 a、b 的值，抓住公式 c2a2b2、离心率 eca、渐近线方程等，轻松地完成数形转化方法感悟(2)应用双曲线的几何性质，可以解决的两类问题是：由方程研究几何性质，由几何性质求解方程解决问题的关键都是抓住几何性质，逐步列式或直接列方程求解(3)解决与双曲线相关的问题，如中点弦、弦长、与直线的位置关系等，要注意运用方程思想、消元法、根与系数的关系、弦长公式等2双曲线的渐近线(1)渐近线方程可以认为把标准方程中的“1”用“0”替换得出两条直线方程，即x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为x2a2y2b20，即 ybax.(2)与x2a2y2b21 共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2y2b2(0)知能优化训练
