1、上海市延安中学 2013 学年度第二学期期中考试（高二数学）（考试时间：90 分钟满分：100 分）班级_姓名_学号_成绩_一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 3 分，否则一律地零分.1、复数 4i 的虚部为_.2、3 的平方根是_.3、已知球O 的半径为2cm，则球O 的表面积为_2cm.4、正方体1111ABCDABC D中，二面角1A CDA的大小为_.5、已知正三棱锥 PABC的底面边长为 1，高为 2，则其体积为_.6、已知圆柱底面半径为 r，O 是上底面圆心，A、B 是下底面圆周上两个不同的点，母线 B
2、C 长为 3.如图，若直线OA 与 BC 所成角的大小为 6，则 r=_.7、正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为 2，若1AC 与底面 ABCD所成角为60，则11AC 和底面 ABCD 的距离是_.8、若关 于 x 的方 程2(1)6 30 xi xi 有两根1x 和2x，其 中1x 是实数 根，则12xx=_.9、正四棱锥的底面边长为2cm，高为3cm，则该四棱锥的表面积为_2cm.10、在复平面上，已知直线l 上的点 Z 所对应的复数 z 都满足34zzi，则直线l 的倾斜角为_.（结果用反三角函数值表示）11、设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2，圆锥顶点到直线 A
3、B 的距离为 3，AB 和圆锥的轴的距离为 1，则该圆锥的体积为_.12、在 xOy 平面上，将双曲线的一支221(0)916xyx及其渐近线43yx和直线0y，4y 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周所得的几何体为 .过(0,)(04)yy作 的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出 的体积为_.二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，选对得 4分，否则一律的零分.13、可以用集合语言将“公理 1：如果直线l 上有两个点在平面 上，那么直线l 在平面 上.”表述为（）（A）若 Al，Bl 且 A，B，则l；（B）若 A
4、l，Bl 且 A，B，则l；（C）若 Al，Bl 且 A，B，则l；（D）若 Al，Bl 且 A，B，则l.14、若用C、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 为全集，那么有（）（A）C=RI（B）CRI=R（C）CRCI（D）CRII15、已知 ABCD 矩形中，4AB，3AD，在水平位置的平面 上画出矩形 ABCD 的直观图 A B C D，并使对角线 AC 平行于y 轴，则 A B C D 的面积为（）（A）12（B）6 2（C）6（D）3 216、如图，点 A 是平面 外一定点，过 A 作平面 的斜线l，斜线l 与平面 所成角为50.若点 P 在平面 内运动，并使直线 A
5、P 与l 所成角为35，则动点 P 的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线的一支 三、简答题（本大题满分 48 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17、（本题满分 8 分）已知复数 z 满足23(1)zz i，求|z.18、（本题满分 8 分）已知直线a 在平面 上，直线不在平面 上，且ab，求证：b.（注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为完整的证明）证明：因为直线不在平面 上，所以_或bA，下面bA 不可能.假设bA，因为_，所以 Aa.在平面 上过作直线ca，根据_，可得_，这和bcA矛盾，所以bA 不可能.所以b.19、（本题满分 8 分）本题共
6、 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分已知圆锥的侧面展开图是圆心角为120 的扇形，且圆锥的全面积为 432cm，求：（1）圆锥的底面半径和母线长；（2）圆锥的体积.20、（本题满分 12 分）本题共 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分已知关于 x 的实系数一元二次方程2224(1)10 xmxm.（1）若方程的两根为1x、2x，且122xx，求m 的值；（2）若方程有虚根 z，且3zR，求 m 的值.21、（本题满分 12 分）本题共 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分已知正方体1111ABCDABC D的棱长
7、为 1.（1）在空间中与点 A 距离为 13的所有点构成曲面 S，曲面 S 将正方体1111ABCDABC D分为两部分，若设这两部分的体积分别为1V，2V（其中12VV），求的12VV值；（2）在正方体表面上与点 A 的距离为 233的点形成一条空间曲线，求这条曲线的长度.上海市延安中学 2013 学年度第二学期期中考试（高二数学）（考试时间：90 分钟满分：100 分）班级_姓名_学号_成绩_一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 3 分，否则一律地零分.1、复数 4i 的虚部为_ 1 _.2、3 的平方根是_3i
8、_.3、已知球O 的半径为2cm，则球O 的表面积为_16 _2cm.4、正方体1111ABCDABC D中，二面角1A CDA的大小为_45 _.5、已知正三棱锥 PABC的底面边长为 1，高为 2，则其体积为_36_.6、已知圆柱底面半径为 r，O 是上底面圆心，A、B 是下底面圆周上两个不同的点，母线 BC 长为 3.如图，若直线OA 与 BC 所成角的大小为 6，则r=_ 3 _.7、正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为 2，若1AC 与底面 ABCD所成角为60，则11AC 和底面 ABCD 的距离是_2 6 _.8、若关于 x 的 方程2(1)6 30 xi xi 有两根
9、1x 和2x，其中1x 是实 数根，则12xx=_3(2)5i_.9、正四棱锥的底面边长为2cm，高为3cm，则该四棱锥的表面积为_44 10_2cm.10、在复平面上，已知直线l 上的点 Z 所对应的复数 z 都满足34zzi，则直线l 的倾斜角为_arctan 7 _.（结果用反三角函数值表示）11、设圆锥底面圆周上两点 A、B 间的距离为 2，圆锥顶点到直线 AB 的距离为 3，AB 和圆锥的轴的距离为 1，则该圆锥的体积为_ 423 _.12、在 xOy 平面上，将双曲线的一支221(0)916xyx及其渐近线43yx和直线0y，4y 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分.记 D 绕
10、 y 轴旋转一周所得的几何体为 .过(0,)(04)yy作 的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出 的体积为_36 _.二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，选对得 4分，否则一律的零分.13、可以用集合语言将“公理 1：如果直线l 上有两个点在平面 上，那么直线l 在平面 上.”表述为（C ）（A）若 Al，Bl 且 A，B，则l；（B）若 Al，Bl 且 A，B，则l；（C）若 Al，Bl 且 A，B，则l；（D）若 Al，Bl 且 A，B，则l.14、若用C、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 为全集，那么有（D）（A）C=R
11、I（B）CRI=R（C）CRCI（D）CRII15、已知 ABCD 矩形中，4AB，3AD，在水平位置的平面 上画出矩形 ABCD 的直观图 A B C D，并使对角线 AC 平行于y 轴，则 A B C D 的面积为（D）（A）12（B）6 2（C）6（D）3 216、如图，点 A 是平面 外一定点，过 A 作平面 的斜线l，斜线l 与平面 所成角为50.若点 P 在平面 内运动，并使直线 AP 与l 所成角为35，则动点 P 的轨迹是（B）（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线的一支 三、简答题（本大题满分 48 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17、（本题满分
12、 8 分）已知复数 z 满足23(1)zz i，求|z.由已知可得：23(13)2313ii zizi，从而23237|21313iizzii.18、（本题满分 8 分）已知直线a 在平面 上，直线不在平面 上，且ab，求证：b.（注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为完整的证明）证明：因为直线不在平面 上，所以_b_或bA，下面bA 不可能.假设bA，因为_ab _，所以 Aa.在平面 上过作直线ca，根据_公理 4_，可得_bc _，这和bcA矛盾，所以bA 不可能.所以b.19、（本题满分 8 分）本题共 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分已知圆锥的侧面展开
13、图是圆心角为120 的扇形，且圆锥的全面积为 432cm，求：（1）圆锥的底面半径和母线长；（2）圆锥的体积.（1）设圆锥底面半径为r cm，母线长为 R cm.由圆锥底面周长为2233rRRr，又根据已知：圆锥的全面积为22241 2432 3rRr，解得3 cm3r，3cmR.（2）圆锥的高222 6 cm3hRr，从而圆锥体积2312 6 cm327Vr h.20、（本题满分 12 分）本题共 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分已知关于 x 的实系数一元二次方程2224(1)10 xmxm.（1）若方程的两根为1x、2x，且122xx，求m 的值；（2）若方程
14、有虚根 z，且3zR，求 m 的值.（1）当0，即(,23 23,)m ，由212102mxx，可知两根同号，从而121222(1)2xxxxm ，解得0m 或2m（舍）；当0，及(23,23)m，此时方程有两个共轭复根，故12xx，且由122xx可得11x，进而22112112mxx x，解得1m 或1m （舍）；从而综上所述：0m 或1m .（2）由题意2224(1)10zmzm（I），从而32224(1)(1)z0zmzm（II）由（I）、（II）联立消去2z，可得32222(1)8(1)2(1)(1)0zmmzmm由于 z 为虚数，且3zR，从而222(1)8(1)071670mmmm
15、，解得8157m.21、（本题满分 12 分）本题共 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 1.（1）在空间中与点 A 距离为 13的所有点构成曲面 S，曲面 S 将正方体1111ABCDABC D分为两部分，若设这两部分的体积分别为1V，2V（其中12VV），求的12VV值；（2）在正方体表面上与点 A 的距离为 233的点形成一条空间曲线，求这条曲线的长度.（1）由题意：32141()833162V，从而11 162V，则121162162162VV.（2）由题意：以 A 球心，233为半径的球面与正方体1AC 各侧面的截交线均为圆弧段.球面与侧面 AC、1AB、1AD 所截得的圆弧段，可视作均以 A 为圆心，圆心角均为 6，半径均为 233的圆弧，从而相应圆弧段长为233639；球面与侧面11C A、1C B、1C D 所截得的圆弧段，可视作分别以1A、B、D 为圆心，圆心角均为 2，半径均为33的圆弧，从而相应圆弧段长为33236；从而球面与整个正方体相相截所得的空间区间长为33533696.
