1、北京市西城区2014年高三二模试卷 数 学(理科) 2014.5第卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1已知集合,若,则实数的取值范围是( )(A)(B)(C)(D)2在复平面内,复数对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3直线为双曲线的一条渐近线,则双曲线的离心率是( )(A)(B)(C)(D)4某四棱锥的三视图如图所示,记A为此棱锥所有棱的长度的集合,则( )正(主)视图俯视图侧(左)视图414111(A) ,且 (B),且 (C) ,且 (D),且5设平面向量,均为非
2、零向量,则“”是“”的( )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件Oxy6如图,阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形,那么这个阴影区域的面积是( )(A)(B)(C)(D)7. 在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域是,不等式组所表示的平面区域是. 从区域中随机取一点,则P为区域内的点的概率是( ) (A)(B)(C)(D)8. 设为平面直角坐标系中的点集,从中的任意一点作轴、轴的垂线,垂足分别为,记点的横坐标的最大值与最小值之差为,点的纵坐标的最大值与最小值之差为. 若是边长为1的正方形,给出下列三个结论: 的最大值为; 的取
3、值范围是; 恒等于0.其中所有正确结论的序号是( )(A)(B)(C)(D)第卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分9的二项展开式中,常数项为_ 10. 在ABC中,若,则_;_开始a =3,i=1i10i=i+1结束输出a 是否 C D. OEBA11如图,AB和CD是圆的两条弦, AB与CD相交于点E,且,则 _;_.12执行如图所示的程序框图,输出的a值为_13. 设抛物线的焦点为,为抛物线上一点,则的取值范围是 .14. 已知f是有序数对集合上的一个映射,正整数数对在映射f下的象为实数z,记作. 对于任意的正整数,映射由下表给出:则_,使不等式成立的
4、x的集合是_.三、解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分13分)在平面直角坐标系中,点,其中.()当时,求向量的坐标;()当时,求的最大值.16(本小题满分13分)为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的A,B两班中各抽5名学生进行视力检测检测的数据如下:A班5名学生的视力检测结果:4.3,5.1,4.6,4.1,4.9.B班5名学生的视力检测结果:5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.()分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好?()由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大?(结论不要求证明)() 现从A
5、班的上述5名学生中随机选取3名学生,用X表示其中视力大于4.6的人数,求X的分布列和数学期望.17(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,底面,为的中点, 为的中点,.()求证:平面;()求与平面成角的正弦值;ABCPHM()设点在线段上,且,平面,求实数的值.18(本小题满分13分)已知函数,其中.()若,求函数的极值;()当时,试确定函数的单调区间.19(本小题满分14分)设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点,直线交轴于点(与点不重合),O为坐标原点. ()如果点是椭圆W的右焦点,线段的中点在y轴上,求直线AB的方程; ()设为轴上一点,且,直线与椭圆W的另外一个交点为C,证明:点与点关于轴对
6、称.20(本小题满分13分)在无穷数列中,对于任意,都有,. 设, 记使得成立的的最大值为.()设数列为1,3,5,7,写出,的值;()若为等差数列,求出所有可能的数列;()设,求的值.(用表示)北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学(理科) 2014.5一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1D 2B 3A 4D 5B 6B 7C 8D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9 10 11 12 13 14 注:第10,11,14题第一问2分,第二问3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15(本小
7、题满分13分) ()解:由题意,得, 2分 当 时, 4分,所以 . 6分()解:因为 ,所以 7分 8分 9分. 10分因为 ,所以 . 11分所以当时,取到最大值, 12分即当时,取到最大值. 13分 16(本小题满分13分)()解:A班5名学生的视力平均数为, 2分B班5名学生的视力平均数为. 3分从数据结果来看A班学生的视力较好. 4分()解:B班5名学生视力的方差较大. 7分()解:由()知,A班的5名学生中有2名学生视力大于.则的所有可能取值为,. 8分所以 ; 9分; 10分. 11分所以随机变量的分布列如下:012 12分故. 13分17(本小题满分14分)()证明:因为 底面
8、,底面,所以 , 1分又因为 , , 所以 平面, 2分又因为 平面,所以 . 3分因为 是中点,所以 ,又因为 ,所以 平面. 5分()解:在平面中,过点作因为 平面,所以 平面,由 底面,得,两两垂直,所以以为原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴如图建立空间直角坐标系, 则,. 6分ABCPHMN zxyD设平面的法向量为,因为 ,由 得 令,得. 8分设与平面成角为,因为 ,所以 ,即 . 10分()解:因为 ,所以 , 又因为 ,所以 . 12分因为 平面,平面的法向量,所以 ,解得 . 14分18.(本小题满分13分)()解:函数的定义域为,且. 1分. 3分令,得,当变化时,和的变
9、化情况如下: 5分故的单调减区间为,;单调增区间为所以当时,函数有极小值. 6分()解:因为 , 所以 , 所以函数的定义域为, 7分 求导,得, 8分 令,得, 9分 当 时,当变化时,和的变化情况如下:故函数的单调减区间为,单调增区间为, 11分 当 时, 因为,(当且仅当时,)所以函数在单调递增. 12分当 时,当变化时,和的变化情况如下:故函数的单调减区间为,单调增区间为, 综上,当 时,的单调减区间为,单调增区间为,;当 时,函数在单调递增;当 时,函数的单调减区间为;单调增区间为, 13分19(本小题满分14分)()解:椭圆W的右焦点为, 1分因为线段的中点在y轴上, 所以点的横坐
10、标为, 因为点在椭圆W上, 将代入椭圆W的方程,得点的坐标为. 3分所以直线(即)的方程为或. 5分()证明:设点关于轴的对称点为(在椭圆W上),要证点与点关于轴对称,只要证点与点C重合,.又因为直线与椭圆W的交点为C(与点不重合),所以只要证明点,三点共线. 7分以下给出证明:由题意,设直线的方程为,,则. 由 得 , 9分所以 , ,. 10分在中,令,得点的坐标为,由,得点的坐标为, 11分设直线,的斜率分别为,则 ,12分因为 , 13分所以 , 所以点,三点共线,即点与点关于轴对称. 14分20(本小题满分13分)()解:,. 3分()解:由题意,得,结合条件,得. 4分 又因为使得成立的的最大值为,使得成立的的最大值为,所以,. 5分设,则.假设,即,则当时,;当时,.所以,.因为为等差数列,所以公差,所以,其中.这与矛盾,所以. 6分又因为,所以,由为等差数列,得,其中. 7分因为使得成立的的最大值为,所以,由,得. 8分()解:设,因为,所以,且,所以数列中等于1的项有个,即个; 9分设,则, 且,所以数列中等于2的项有个,即个; 10分 以此类推,数列中等于的项有个. 11分所以 . 即. 13分