1、选修45 不等式选讲第1课绝对值不等式 过双基1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|aR(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解利用零点分段法求解构造函数，利用函数的图象求解1不等式|x1|x2|1的解集是_
2、解析：f(x)|x1|x2|当1x2时，由2x11，解得1x1，所以解集为.答案：x|x12若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,43若不等式|kx4|2的解集为，则实数k_.解析：由|kx4|22kx6.不等式的解集为，k2.答案：24设不等式|x1|x2|k的解集为R，则实数k的取值范围为_解析：|x1|x2|3，3|x1|x2|3，k(|x1|x2|)的最小值，即k3.答案：(，3)5f(x)|2x|x1|的最小值为_解析：|2x|x1|2xx1|1,
3、f(x)min1.答案：1清易错1对形如|f(x)|a或|f(x)|a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误2绝对值不等式|a|b|ab|a|b|中易忽视等号成立的条件如|ab|a|b|，当且仅当ab0时等号成立，其他类似推导1设a，b为满足ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b| D|ab|a|b|解析：选Bab|ab|.2若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_解析：|x2y1|(x1)2(y2)2|x1|2|y2|25.答案：5绝对值不等式的解法典例(2016全国卷乙卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(
4、x)|1的解集解(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为.方法技巧(1)求解绝对值不等式的两个注意点：要求的不等式的解集是各类情形的并集，利用零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论对于解较复杂绝对值不等式，要恰当运用条件，简化分类讨论，优化解题过程(2)求解该类问题的关键是去绝对值符号，可以运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解即时演练1解不等式|2x1|2x1|6.解：法一：当x时，原不等式转化为4x6x；
5、当x时，原不等式转化为26恒成立；当x时，原不等式转化为4x6x.综上知，原不等式的解集为.法二：原不等式可化为3，其几何意义为数轴上到，两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x或x时，到，两点的距离之和恰好为3，故当x时，满足题意，则原不等式的解集为.2解不等式|x1|x5|2.解：当x1时，不等式可化为(x1)(5x)2，即42，显然成立，所以此时不等式的解集为(，1)；当1x5时，不等式可化为x1(5x)2，即2x62，解得x5时，不等式可化为(x1)(x5)2，即40.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围
6、解：(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)2(2016江苏高考)设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明：因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a.3(2013全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x
7、)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)可化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示从图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)当x时，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化为1ax3.所以xa2对x都成立故a2，即a.从而a的取值范围是.1(2017唐山模拟)已知函数f(x)|2xa|x1|.(1)当a1时，解不等式f(x)3；(2)若f(x)的最小值为1，求a的值解：(1)因为f(x)|2x1|x1|且f(1)f(1)3，所以f(x)3的解集为x|1x
8、0；(2)若f(x)3|x4|m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围解：(1)当x4时，f(x)2x1(x4)x50，得x5，所以x4.当x4时，f(x)2x1x43x30，得x1，所以1x4.当x0，得x5，所以x5.综上，原不等式的解集为(，5)(1，)(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|2x1(2x8)|9，当x4时等号成立，所以m9，即m的取值范围为(，9)3设函数f(x)|x1|x2|.(1)求证：f(x)1；(2)若f(x)成立，求x的取值范围解：(1)证明：f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|1.(2)2，当且仅当a0时等号成立，要使f(x)成立，只需|x1|x2|2
9、，即或或解得x或x，故x的取值范围是.4(2017郑州二检)已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.当x时，即3x2x14，解得x；当x1时，即3x2x14，解得x1时，即3x2x14，无解综上所述，x.(2)(mn)114，当且仅当mn时等号成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x时，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即00的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)0，可得或或解得x.故f(x)0的解集为.(2)|x3|2x4|1.故实
10、数a的取值范围为(1，)6(2016南宁模拟)已知函数f(x)|xa|.(1)若f(x)m的解集为1,5，求实数a，m的值；(2)当a2且0t2时，解关于x的不等式f(x)tf(x2)解：(1)|xa|m，maxma.ma1，ma5，a2，m3.(2)f(x)tf(x2)可化为|x2|t|x|.当x(，0)时，2xtx,2t0，0t2，x(，0)；当x0,2)时，2xtx，x1，0x1，112，0t2时，0x1，t2时，0x2；当x2，)时，x2tx，t2，当0t2时，无解，当t2时，x2，)，当0t2时原不等式的解集为；当t2时xR.7(2017九江模拟)已知函数f(x)|x3|xa|.(1
11、)当a2时，解不等式f(x)；(2)若存在实数a，使得不等式f(x)a成立，求实数a的取值范围解：(1)a2，f(x)|x3|x2|f(x)等价于或或解得x3或x3，不等式的解集为.(2)由不等式性质可知f(x)|x3|xa|(x3)(xa)|a3|，若存在实数x，使得不等式f(x)a成立，则|a3|a，解得a，实数a的取值范围是.8(2017石家庄模拟)设f(x)|ax1|.(1)若f(x)2的解集为6,2，求实数a的值；(2)当a2时，若存在xR，使得不等式f(2x1)f(x1)73m成立，求实数m的取值范围解：(1)显然a0，当a0时，解集为，则6，2，无解；当a0时，解集为，则2，6，
12、得a.综上所述，a.(2)当a2时，令h(x)f(2x1)f(x1)|4x1|2x3|由此可知，h(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则当x时，h(x)取到最小值，由题意知，73m，解得m，故实数m的取值范围是.第2课不等式证明 过双基1基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均定理3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立2比较法(1)比差法的依据是：ab0ab.步骤是：“作差变形判断差的符号”变形是手段，变形的目的是判断差的
13、符号(2)比商法：若B0，欲证AB，只需证1.3综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立4柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)若ai，bi(iN*)为实数，则2，当且仅当(当ai0时，约定bi0，i1,2，n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当
14、且仅当，共线时等号成立1若ma2b，nab21，则m与n的大小关系为_解析：nmab21a2bb22b1(b1)20，nm.答案：nm2若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的序号)ab1； ；a2b22；a3b33；2.解析：令ab1，排除；由2ab2ab1，命题正确；a2b2(ab)22ab42ab2，命题正确；2，命题正确答案：3已知x，y均为正数，且xy1，则的最大值为_解析：由柯西不等式得.答案：清易错1在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号2在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，易忽视性质成立的前
15、提条件1已知a0，b0，则aabb_(ab)(填大小关系)解析：，当ab时，1，当ab0时，1，0，1，当ba0时，01，1，aabb(ab).答案：2已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为_解析：把abc1代入得332229，当且仅当abc时，等号成立答案：9比较法证明不等式典例(2017莆田模拟)设a，b是非负实数求证：a2b2(ab)证明因为(a2b2)(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab)(ab)(ab)，因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与ab同号，所以(ab)(ab)0，所以a2b2(ab)方法技巧比较法证明不等式的方法和步骤(1)求差比较
16、法：由abab0，ababb只要证明ab0即可，这种方法称为求差比较法(2)求商比较法：由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为求商比较法(3)用比较法证明不等式的一般步骤是：作差(商)变形判断结论，而变形的方法一般有配方、通分和因式分解即时演练 已知a，b，试比较a，b大小解：0，0，log891.ba.综合法证明不等式典例(2016宝鸡二模)已知a，b均为正数，且ab1，证明：(1)(axby)2ax2by2；(2)22.证明(1)(axby)2(ax2by2)a(a1)x2b(b1)y22abxy，因为ab1，所以a1b，b1a，又a，b均为正
17、数，所以a(a1)x2b(b1)y22abxyab(x2y22xy)ab(xy)20，当且仅当xy时等号成立所以(axby)2ax2by2.(2)224a2b24a2b24a2b2114(a2b2)2642，当且仅当ab时，等号成立，所以22.方法技巧1综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键2综合法证明时常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的变形形式有：a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2(ab)2；2.(4)，它的变形形式有：a2
18、(a0)；2(ab0)；2(ab0，b0,2cab，求证：cac.证明：要证cac，即证ac，即证|ac|，即证(ac)2c2ab，即证a22ac0，所以只要证a2cb，即证ab2c.由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立柯西不等式的应用典例(2015陕西高考)已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数a，b的值；(2)求 的最大值解(1)由|xa|b，得baxba，则解得(2) 24，当且仅当，即t1时等号成立，故()max4.方法技巧柯西不等式的常见类型及解题策略(1)求表达式的最值依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件；(2)求解析式的值利用柯西不等
19、式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值；(3)证明不等式注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明即时演练已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解：(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)证明：由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.1(2016全国甲卷)已知函数f(x)，M为不等式f
20、(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解：(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x1；当x时，f(x)2恒成立；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|cd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2.因此.(2)必要性：若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得.充分性：若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab
21、(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件3(2014全国卷)若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，且当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.1设a，b，c为正数且abc1，求证：222.证明：22c2(121212)22211b12121(abc)2(19)2.即原不等式成立2(2017大连双基测试)已知x，y是两个不相等的正实数，求证：(x2yxy2)(xy2yx2)9x2y2.
22、证明：因为x，y是正实数，所以x2yxy233xy，当且仅当x2yxy2，即xy1时，等号成立；同理：xy2yx233xy，当且仅当xy2yx2，即xy1时，等号成立所以(x2yxy2)(xy2yx2)9x2y2，当且仅当xy1时，等号成立因为xy，所以(x2yxy2)(xy2yx2)9x2y2.3已知x，yR，且|x|1，|y|1.求证：.证明：法一：(分析法)|x|1，|y|0，0，.故要证明结论成立，只要证明成立即证1xy成立即可(yx)20，有2xyx2y2，(1xy)2(1x2)(1y2)，1xy0.不等式成立法二：(综合法)1|xy|，原不等式成立4设函数f(x)|x4|x3|，f
23、(x)的最小值为m.(1)求m的值；(2)当a2b3cm(a，b，cR)时，求a2b2c2的最小值解：(1)法一：f(x)|x4|x3|(x4)(x3)|1，故函数f(x)的最小值为1，即m1.法二：f(x)当x4时，f(x)1；当x1；当3x4时，f(x)1，故函数f(x)的最小值为1，即m1.(2)(a2b2c2)(122232)(a2b3c)21，故a2b2c2，当且仅当a，b，c时取等号故a2b2c2的最小值为.5(2017云南统一检测)已知a是常数，对任意实数x，不等式|x1|2x|a|x1|2x|都成立(1)求a的值；(2)设mn0，求证：2m2na.解：(1)设f(x)|x1|2
24、x|，则f(x)f(x)的最大值为3.对任意实数x，|x1|2x|a都成立，即f(x)a，a3.设h(x)|x1|2x|，则h(x)则h(x)的最小值为3.对任意实数x，|x1|2x|a都成立，即h(x)a，a3.a3.(2)证明：由(1)知a3.2m2n(mn)(mn)，且mn0，(mn)(mn)33.2m2na.6(2017吉林实验中学模拟)设函数f(x)|xa|.(1)当a2时，解不等式f(x)4|x1|；(2)若f(x)1的解集为0,2，a(m0，n0)，求证：m2n4.解：(1)当a2时，不等式为|x2|x1|4，当x2时，不等式可化为x2x14，解得x；当1x2时，不等式可化为2x
25、x14，不等式的解集为；当x1时，不等式可化为2x1x4，解得x.综上可得，不等式的解集为.(2)证明：f(x)1，即|xa|1，解得a1xa1，而f(x)1的解集是0,2，解得a1，所以1(m0，n0)，所以m2n(m2n)222 4，当且仅当m2，n1时取等号7(2017合肥模拟)已知a0，b0，记A，Bab.(1)求AB的最大值；(2)若ab4，是否存在a，b，使得AB6？并说明理由解：(1)ABab2211，当且仅当ab时等号成立，即AB的最大值为1.(2)ABab22，因为ab4，所以AB426，所以不存在这样的a，b，使得AB6.8(2016西安质检)已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(2x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|f.解：(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|当x3时，由3x28，解得x；当3xf等价于f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因为|a|1，|b|0，所以|ab1|ab|.故所证不等式成立
