1、21 届周测文科数学一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1已知 a R，若2 i1aa（i 为虚数单位）是实数，则 a （）A2B1C 1D 22已知集合lg2|3Ax yx，2|4Bx x，则=AB（）A322xx B2x x C322xx D2x x 3某几何体的三视图如图，ABC是边长为2 的等边三角形，P 为线段 AB 的中点，三视图中的点C，P分别对应几何体中的点 M，N，则在几何体侧面展开图中 M，N 之间的距离为（）A3B3C5D54若点 P 为抛物线214xy上的动点，F 为该抛物线的焦点，则 PF 的最小值为
2、（）A2B1C 18D 1165“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角12，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是（）A 12B 58C 34D 786已知点 1,0A，(2,3)B，,()2Cm，向量 AC，AB的夹角为 56，则实数 m （）A 2 3B3C0D37已知各项为正数的等比数列 na满足25827a a a 则3334353637logloglogl
3、oglogaaaaa的值为（）A 73B 83C3D58已知函数22()(sincos)2cosf xxxx的图像向右平移 4 个单位长度后得到函数 g x 的图像，则函数 g x 在0,上的单调递减区间是（）A 37,88B3,44C30,44 D370,88 9一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为()A34B25C41D5010在ABC中，内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，满足33c，sinsin 2CcAa，则ABC面积的最大值为（）A348B336C324D31211在菱形 ABCD 中，3A，|4 3AB，将ABD沿 BD 折起到PBD的位置，二面角 PB
4、DC的大小为 23，则三棱锥 PBCD的外接球的表面积为（）A 2 3B 2 7C 72D11212已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为 1，点 M 在线段 BC 上(点 M 异于 B，C 两点)，点 N 为线段 CC1的中点，若平面 AMN 截正方体 ABCDA1B1C1D1 所得的截面为四边形，则线段 BM 的取值范围是()A.0，12B.12，1C.13，1D.12，13第卷二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13已知 x，y 满足约束条件5503xyxyx ，使0zxay a取得最小值的最优解有无数个，则 a 的值为_
5、14函数2()lnf xaxbx在点 2,2Pf 处的切线方程为32ln 22yx，则 ab _15已知1F，2F 分别是双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，AB 是右支上过2F 的一条弦，234AFAB且1212AAFABF，则C 的离心率为_16在一个棱长为12的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥），且能使该正四面体在铁盒内任意转动，该正四面体的体积的最大值是_三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。必考题：共 60 分。1
6、7（12 分）已知等差数列 na的前 n 项和为nS，47a，525S，数列 nb满足113b，113nnnbbn（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）求数列 nb的前 n 项和nT 18（12 分）如图，四棱锥 SABCD中，22SDCDSCABBC，平面ABCD 底面 SDC，ABCD，90ABC，E 是 SD 中点（1）证明：直线 AE 平面 SBC；（2）点 F 为线段 AS 的中点，求CF 与面 SCD 所成角的正弦值19在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取 45 名学生进行跟踪问卷
7、，其中每周线上学习数学时间不少于5 小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120 分的占 813，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于120 分分数不足120 分合计线上学习时间不少于5 小时419线上学习时间不足5 小时合计45（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120 分的两组学生中抽取 5 名学生，再从抽出的 5 人中随机抽出 2 人，求这两人是线上学习时间不少于 5 小时的学生的概率（下面的临界值表供参考）2P Kk0.100.050.0250.0100.0
8、050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中 nabcd）20已知点0,1N，椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 NF 的斜率为33（1）求椭圆 E 的方程；（2）过点1(2,)P作直线l，交椭圆 E 于异于点 N 的 A，B 两点，直线 NA，NB 的斜率分别为1k，2k，证明12kk为定值21已知函数 xf xemx（1）讨论 f x 的单调区间与极值：（2）已知函数 f x 的图象与直线 ym 相交于11(),M x y，22,N
9、xy两点12xx，证明：124xx（二）选考题，共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（本题满分 10 分）已知平面直角坐标系 xOy，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为 3,3，曲线C 的极坐标方程2cos3（1）写出点 P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线l：cos2 sin2 3的距离的最小值。23选修 45：不等式选讲（本题满分 10 分）设函数 12f xxx（1）求不等式 4f x 的解集；（2）设*,a
10、b c R，函数 f x 的最小值为 m，且 111234mabc，求证：2343abc文科数学答案一、选择题1A2D3C4D5A6B7D8A9A10B11D12A二填空题13 114_3 _ 510216 64 3三解答题17解：(1)数列na的首项为1a，公差为 d，由题意得:2524557311dada解得：211da12)1(1ndnaan3 分又nnbbbnnbnnnn3131114 分1211211213(1)3(2)3 1 33nnnnnnbbbnnnbbbbbnn（2）由（1）可得：13nnbn nnbbbT211211112333nn 2311111123333nnTn 12
11、12111133333nnnTn1111133111111323313nnnnnn131313231323114323443443nnnnnnnTnnT的表达式为3231443nnnT18 证明：（1）如图，取 SC 中点G，连接 BG，EG，因为 EG 为SDC中位线，所以/EGCD 且12EGCD，又因为/ABCD 且12ABCD，所以/EGCD 且 EGAB，所以四边形 AEGB 为平行四边形，所以/AEBG，3 分又因为 BG 平面 SBC，AE 平面 SBC，所以/AE平面 SBC（2）设1AB ，则1BC ，2CD，取CD 中点O，所以12COCDAB又因为/ABCD，90ABC，
12、所以四边形 ABCO 为矩形，所以 AOCO，AOCD，平面 ABCD 平面 SDCCD，所以 AO 平面 SDC，AOSO，又因为三角形 SDC 为正三角形，所以 SOCD，7 分M 为 SO 中点，FM=12AO,CF=2,2sin4FCM.12 分19解：（1）分数不少于120 分 分数不足120 分 合计每周线上学习数学时间不少于5 小时15419每周线上学习数学时间不足5 小时101626合计252045由 22列联表可知：2245(15 16 10 4)7.2876.63525 20 19 26K6 分所以，有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）从全
13、校数学成绩不少于120 分的学生中随机抽取 5 人，每周上线时间不少于5 小时的有三人，概率为30.310 20解：（1）设)0,(cF，由条件知，,331 c得3c 又23ac，所以2a，2221bac故 E 的方程为2214xy（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆只有一个交点，不满足题意。当直线l 的斜率存在时，设其方程为11221(2),(,),(,)yk xA x yB xy，将直线l 方程代入椭圆1422 yx，整理得01616)12(8)14(:222kkxkkxk则1228(21)41kkxxk，2122161641kkx xk，由题知21,xx不为零212121221
14、121)(22(211xxxxkxkxxyxykk.1)12(21616)12)(22(822kkkkkkkk综上，恒有121kk 21解：（1）()xfxem，当0m 时，()0fx，此时()f x 在 R 上单调递增，无极值；当0m 时，由()0fx，得lnxm所以(,ln)xm 时，()0fx，()f x 单调递减；(ln,)xm 时，()0fx，()f x 3 分此时函数有极小值为(ln)lnfmmmm，无极大值（2）由题设可得12()()f xf xm，所以1212(1)(1)xxem xem x，且由（1）可知1lnxm，2lnxm，2em 由11(1)xem x，可知110 x
15、，所以120111xx 由1212(1)(1)xxem xem x，得1122lnln(1)lnln(1)xmxxmx，作差得22111ln1xxxx 设211(1)xt x（1t ），由22111ln1xxxx，得1ln(1)(1)ttx，所以1ln11txt ，即1ln11txt，所以2ln11ttxt，124xx lnln211ttttt(1)ln21ttt4ln201tt设4()ln21h ttt（1t ），分则22(1)()0(1)th tt t所以()h t 在(1,)单调递增，()(1)0220h th分所以124xx22解：（1）点 P 的直角坐标为333,22；1 分由s32
16、co得2co3ssin2 分将222xy，cosx，siny 代入，可得曲线C 的直角坐标方程为2211223xy4 分（2）直线:l3cos2 sin2的直角坐标方程为0322xy，6 分设点Q 的直角坐标为cos,si123n2，则cossin1,232M，7 分那么 M 到直线l 的距离：2233cossin12225sin2cos2sin222 52 521d，所以 M 到直线:cos2 sin2 3l 的距离的最小值为0 10 分23解：（1）1 2,1()123,1221,2x xf xxxxxx 2 分()4f x，1 241xx 或 2142xx ，32x 或52x，4 分 不等式的解集为35,22；5 分（2）证明：由（1）知min()3f x，3m，1113234mabc，7 分1113(234)(234)234abcabcabc2324433324234abaccbbacabc23244332229324234abaccbbacabc，2343abc，当且仅当 2341abc，即12a，13b，14c 时取等号，2343abc 10 分
