1、第九章 平面解析几何第二讲圆的方程及直线、圆的位置关系练好题考点自测1.2021安徽省四校联考直线2xsin +y=0被圆x2+y2-2y+2=0截得的最大弦长为()A.2 B.2 C.3 D.22.2020北京,5分已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.73.2020全国卷,5分若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+C.y=x+1 D.y=x+4.2021吉林省高三联考已知圆C:x2+y2=r2(r0),设p:r;q:圆C上至少有3个点到直线x+y-2=0的距离为,则p是q的()A.充
2、分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.2018全国卷,5分直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6 B.4,8C.,3D.2,36.2020全国卷,5分已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|AB|最小时,直线AB的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=07.2016全国卷,5分已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,
3、B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=.8.2019北京,5分设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为.9.2019浙江,6分已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.拓展变式1.2017全国卷,12分已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上.(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.2.2020武汉部分重点中学5月联考已知圆C1:(x-1)2+(y-3
4、)2=9和C2:x2+(y-2)2=1,若M,N分别是圆C1,C2上的点,P是抛物线x2=4y的准线上的一点,则|PM|+|PN|的最小值是.3.原创题已知直线l:x+2y-3=0与圆C:x2+y2+x-6y+m=0,若直线l与圆C无公共点,则m的取值范围是()A.(1,8)B.(8,)C.(1,37)D.(8,+)4.2021广西模拟在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上任意一点P作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当|PQ|最小时,k=.5.2017全国卷,12分在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0
5、,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由.(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.6.(1)2020武汉武昌实验中学考前模拟过点D(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则弦AB所在直线的方程为()A.2y-1=0 B.2y+1=0C.x+2y-1=0 D.x-2y+1=0(2)2020河北冀州中学模拟已知圆C:x2+y2-2x-4y+3=0.若圆C的一条切线在x轴和y轴上的截距相等,则此切线的方程为;从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则|PM|的最小值为
6、.7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书,其中阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,即已知动点M与两定点A,B的距离之比为(0,1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A(-,0),B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为()A.B.C.D.答 案第二讲圆的方程及直线、圆的位置关系1.D根据题意,圆x2+y2-2y+2=0,即x2+(y-)2=3,其圆心为(0,),半径r=,圆心到直线2xsin +y=0的距离d=1,当圆心到直线的距离最小时,直线2xsin +y=0被圆x2+y2-2y
7、+2=0截得的弦长最大,而d=的最小值为1,则直线2xsin +y=0被圆x2+y2-2y+2=0截得的最大弦长为2=2,故选D.2.A设该圆的圆心为(a,b),则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,该圆过点(3,4),(3-a)2+(4-b)2=1,此式子表示点(a,b)在以(3,4)为圆心,1为半径的圆上,则点(a,b)到原点的最小值为-1=4,故选A.3.D易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,则=,设直线l与曲线y=的切点坐标为(x0,)(x00),则y=k,=kx0+b,由可得b=,将b=,k=代入得x0=1或x0=-(舍去),所以k=b=,故直线l的方程为y=x
8、+.4.C圆C的圆心为(0,0),其到直线x+y-2=0的距离为1.当0r时,圆上没有点到直线的距离为;当r=时,圆上有1个点到直线的距离为;当r时,圆上有4个点到直线的距离为;要使圆C上至少有3个点到直线x+y-2=0的距离为,则r,所以p是q的充要条件,故选C.5.A圆心(2,0)到直线的距离d=2,所以点P到直线的距离d1,3.根据直线的方程可知A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以ABP的面积S=|AB|d1=d1.因为d1,3,所以S2,6,即ABP面积的取值范围是2,6.6.D由M:x2+y2-2x-2y-2=0,得M:(x-1)2+(y-1)
9、2=4,所以圆心M(1,1).图D 9-2-1如图D 9-2-1,连接AM,BM,易知PMAB,所以四边形PAMB的面积为|PM|AB|,欲使|PM|AB|最小,只需四边形PAMB的面积最小,即只需PAM的面积最小.因为|AM|=2,所以只需|PA|最小.因为|PA|=,所以只需直线2x+y+2=0上的动点P到M的距离最小,其最小值为=,此时PMl,易求出直线PM的方程为x-2y+1=0.由得所以P(-1,0).因为PAM=PBM=90,所以A,B在以PM为直径的圆上.所以此圆的方程为x2+(y-)2=()2,即x2+y2-y-1=0,由-得,直线AB的方程为2x+y+1=0,故选D.7.4设
10、圆心到直线l:mx+y+3m-=0的距离为d,则弦长|AB|=2=2,解得d=3,即=3,解得m=-,则直线l:x-y+6=0,数形结合可得|CD|=4.8.(x-1)2+y2=4因为抛物线的标准方程为y2=4x,所以焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1.因为所求的圆以F为圆心,且与准线l相切,故圆的半径r=2,所以圆的方程为(x-1)2+y2=4.9.-2 解法一设过点A(-2,-1)且与直线2x-y+3=0垂直的直线l的方程为x+2y+t=0,所以-2-2+t=0,所以t=4,所以l的方程为x+2y+4=0.将(0,m)代入,解得m=-2,则r=.解法二因为直线2x-y+3=0与以点(
11、0,m)为圆心的圆相切,且切点为A(-2,-1),所以2=-1,所以m=-2,r=.1.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2=4.则=x1x2+y1y2=0,所以OAOB.又圆M是以线段AB为直径的圆,故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1
12、+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为(,-),圆M的半径为,圆M的方程为(x-)2+(y+)2=.2.5-4依题意知,抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,则圆C1关于直线y=-1的对称圆的圆心为C3(1,-5),半径为3.圆C2的圆心为(0,2),半径为1,连接C2C3,由图象可知(图略),当P,C2,C3三点共线时,|PM|+|PN|取得
13、最小值,其最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径之和,即(|PM|+|PN|)min=|C2C3|-3-1=-4=5-4.3.B将圆C的方程配方,得(x+)2+(y-3)2= ,则有0,解得m,解得m8.所以m的取值范围是(8,).故选B.4.2 由题意知,|C1C2|=22,所以圆C1与圆C2外离,示意图如图D 9-2-2所示.因为PQ为圆C2的切线,所以PQC2Q,由勾股定理,得|PQ|=,要使|PQ|最小,则需|PC2|最小.显然当点P为C1C2与圆C1的交点时,|PC2|最小,此时|PC2|=|C1C2|-1,所以当|C1C2|最小时,|PC2|最小.易知当k=2时,|C1C2
14、|取最小值,即|PQ|最小.图D 9-2-25.(1)不能出现ACBC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x2+mx-2=0的两根,所以x1x2=-2,又点C的坐标为(0,1),则=(-x1,1)(-x2,1)=x1x2+1=-2+1=-10,所以不能出现ACBC的情况.(2)解法一由题意知,过A,B,C三点的圆的圆心必在线段AB的垂直平分线上.设圆心E(x0,y0),则x0=,由(1)可得x1+x2=-m,所以x0=-.由|EA|=|EC|,得(-x1)2+=()2+(y0-1)2,化简得y0=-,所以圆E的方程为(x+)2+(y+)2=(-)2+(-1)2
15、.令x=0,得y1=1,y2=-2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为1-(-2)=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解法二设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D,由x1x2=-2可知原点O在圆内,则由相交弦定理可得|OC|OD|=|OA|OB|=|x1|x2|=2.又|OC|=1,所以|OD|=2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|+|OD|=3,为定值.6.(1)B解法一(常规解法)由圆C:(x-1)2+y2=1的方程可知其圆心为C(1,0),半径为1.连接CD,以线段CD为直径的圆的方程为(x-1)(x-1)+(y+2)(y-0)=0,
16、整理得(x-1)2+(y+1)2=1.将两圆的方程相减,可得公共弦AB所在直线的方程为2y+1=0.故选B.解法二(结论解法)由与圆的切线有关的结论(详见主书P192【思维拓展】(2)得弦AB所在直线的方程为(1-1)(x-1)+(-2)y=1,即2y+1=0.故选B.(2)(-2)x-y=0或(+2)x+y=0或x+y-1=0或x+y-5=0圆C的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=2,当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y=kx(k0),由直线与圆相切,得=,解得k=-2.所以切线方程为y=(-2+)x或y=(-2-)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为x+y-a=
17、0,由直线与圆相切,得=,解得a=1或a=5.所以切线方程为x+y-1=0或x+y-5=0.综上所述,所求的切线方程为(-2+)x-y=0或(2+)x+y=0或x+y-1=0或x+y-5=0.由|PM|=|PO|,得+-2=+,整理得2x1+4y1-3=0,即点P在直线l:2x+4y-3=0上.又|PM|=,所以要使|PM|取得最小值,只需|CP|取得最小值,记圆心C(1,2)到直线l:2x+4y-3=0的距离为d,可知d|CP|,当且仅当d=|CP|时,|CP|取得最小值.因为d=,所以|PM|min=.7.C当点M在x轴上时,点M的坐标为(-1,0)或(1,0).若点M的坐标为(-1,0),则2|MA|+|MB|=2+=1+;若点M的坐标为(1,0),则2|MA|+|MB|=2+=4.当点M不在x轴上时,取点K(-2,0),连接OM,MK,因为|OM|=1,|OA|=,|OK|=2,所以=2.因为MOK=AOM,所以MOKAOM,则=2,所以|MK|=2|MA|,则2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|.易知|MB|+|MK|BK|,可知|MB|+|MK|的最小值为|BK|.因为B(1,1),K(-2,0),所以(2|MA|+|MB|)min=|BK|=.综上,易知2|MA|+|MB|的最小值为.故选C.
