1、2.2.4平面与平面平行的性质目标 1.理解并能证明两个平面平行的性质定理；2.能利用性质定理解决有关的平行问题重点 平面与平面平行的性质定理及应用难点 线线平行、线面平行、面面平行关系的转化知识点平面与平面平行的性质填一填答一答1两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？提示：一定平行于另一个平面因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行2如果，a，那么如何在平面内作出与a平行的直线？提示：利用面面平行的性质定理，可在平面内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面，确定平面和的交线b，则ab.3若
2、，a，b，下列几种说法中正确的是(B)ab；a与内无数条直线平行；a与内的任何一条直线都不垂直；a.ABC D类型一证明两条直线平行 例1如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形ABCD所确定的一个平面外，且AA、BB、CC、DD互相平行求证：四边形ABCD是平行四边形证明在ABCD中，ABCD，因为AB平面CDDC，CD平面CDDC，所以AB平面CDDC.同理AA平面CDDC.又AAABA，所以平面ABBA平面CDDC.因为平面ABCD平面ABBAAB，平面ABCD平面CDDCCD，所以ABCD.同理ADBC.所以四边形ABCD是平行四边形面面平行的性质定理是由面面平行
3、证明线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.变式训练1如右图，已知，点P是平面，外的一点(不在与之间)直线PB，PD分别与，相交于点A，B和C，D.(1)求证：ACBD；(2)已知PA4 cm，AB5 cm，PC3 cm，求PD的长解：(1)证明：PBPDP，直线PB和PD确定一个平面，则AC，BD.又，ACBD.(2)由(1)得ACBD，.CD.PDPCCD cm.类型二证明线面平行 例2如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面，分别交于B，A点和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点求证：
4、MN平面.分析利用三角形的中位线及面面平行的性质证明证明如图，过点A作AECD交于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.AECD，AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC平面DE，平面AEDC平面AC，ACDE.又P，N分别为AE，CD的中点，PNDE.PN，DE，PN.又M，P分别为AB，AE的中点，MPBE，且MP，BE，MP.平面MPN平面.又MN平面MPN，MN.证明直线与平面平行，除了定义法，判定定理法以外，还可以用两平面平行的性质，也就是说为了证明直线与平面平行，也可以先证明两平面平行，再由两平面平行的性质得到线面平行.变式训练2如图，在三棱柱ABCABC中，M，
5、N分别为BB，AC的中点求证：MN平面ABC.证明：取BC的中点P，连接MP，NP，则MPBC，NPAB.因为ABAB，所以NPAB.又因为AB平面ABC，NP平面ABC，所以NP平面ABC.同理，MP平面ABC.又因为NPMPP，所以平面MNP平面ABC.因为MN平面MNP，所以MN平面ABC.类型三平行关系的综合应用 例3已知：如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点(1)当等于何值时，BC1平面AB1D1；(2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值 分析由(1)的条件可知，应由线线平行判定线面平行；由(2)的条件可知，应用面面平行的性质定理推导线线平行解
6、(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时1，连接A1B，设交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1.所以BC1平面AB1D1，所以当1时，BC1平面AB1D1.(2)因为平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1OD1，所以若平面BC1D平面AB1D1，则BC1OD1.所以1.又因为平面A1ACC1平面BC1DDC1，平面A1ACC1平面AB1D1AD1，所以AD1DC1.又因为A1C1A
7、C，所以四边形ADC1D1为平行四边形，所以ADD1C1.所以A1D1DC.所以.又因为1，所以1，即1.(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.变式训练3如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点(1)求证：PQ平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF平面BB1D1D.解：(1)证明：如图所示连接AC，CD
8、1，P，Q分别是AD1，AC的中点，PQCD1.又PQ平面DCC1D1，CD1平面DCC1D1，PQ平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQD1Ca.(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1B1D1，EE1BB1，平面EE1F平面BB1D1D.又EF平面EE1F，所以EF平面BB1D1D.1已知a，b表示直线，、表示平面，下列推理正确的是(D)Aa，babBa，abb且bCa，b，a，bD，a，bab2若平面平面，直线a，点B，则在内过点B的所有直线中(D)A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行C存在无数多条直线与a平行D存在唯一一条直线与a平行3平面平面，平面平
9、面，且a，b，c，d，则交线a，b，c，d的位置关系是(A)A互相平行 B交于一点C相互异面 D不能确定解析：根据面面平行的性质定理知：ab，ac，bd，cd，所以abcd，故选A.4已知平面平面，P是，外一点，过点P的直线m与，分别交于点A，C，过点P的直线n与，分别交于点B，D，且PA6，AC9，PD8，则BD的长为24或.解析：当点P在，的同一侧时，BD，当点P在，之间时，BD24.5已知AB，CD是夹在两个平行平面，之间的线段，A，B，C，D四点共面，M，N分别为AB，CD的中点，求证：MN平面.证明：平面ABDC与，的交线为AC，BD.因为，所以ACBD.又M，N分别为AB，CD的中
10、点，所以MNBD，所以MNAC.又AC平面，MN平面，所以MN平面.本课须掌握的两大问题1对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个：；a；b.三个条件缺一不可(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义2线与面、面与面平行性质定理的综合应用(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下：
