1、2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质学 习 目 标核 心 素 养1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法(重点、难点)2能画出具体指数函数的图象,并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质(重点)1通过学习指数函数的图象,培养直观想象的数学素养2借助指数函数的定义域、值域的求法,提升逻辑推理素养.1指数函数的概念一般地,函数yax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.2指数函数的图象和性质,a的范围a10a1图象性质定义域R值域(0,)过定点(0,1),即当x0时,y1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数
2、yax与yax的图象关于y轴对称思考:(1)指数函数yax(a0且a1)的图象“升”“降”主要取决于什么?(2)指数函数值随自变量有怎样的变化规律?提示:(1)指数函数yax(a0且a1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a1时,图象具有上升趋势;当0a0且a1),则由f(3)8得a38,a2,f(x)2x,故选B.4函数yax(a0且a1)在R上是增函数,则a的取值范围是_(1,)结合指数函数的性质可知,若yax(a0且a1)在R上是增函数,则a1.指数函数的概念【例1】(1)下列函数中,是指数函数的个数是()y(8)x;y2x21;yax;y23x.A1B2C3D0(2)(教材改编题)
3、已知函数f(x)为指数函数,且f,则f(2)_.(1)D(2)(1)中底数80且a1时,才是指数函数;中3x前的系数是2,而不是1,所以不是指数函数,故选D.(2)设f(x)ax(a0且a1),由f得a,所以a3,又f(2)a2,所以f(2)32.1判断一个函数是否为指数函数,要牢牢抓住三点:(1)底数是大于0且不等于1的常数;(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上;(3)ax的系数必须为1.2求指数函数的解析式常用待定系数法1.已知函数f(x)(2a1)x是指数函数,则实数a的取值范围是_(1,)由题意可知解得a,且a1,所以实数a的取值范围是(1,)指数函数的图象的应用【例2】(1)函
4、数f(x)axb的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()Aa1,b1,b0C0a0D0a1,b0,且a1)的图象过定点_(1)D(2)(3,4)(1)由于f(x)的图象单调递减,所以0a1,又0f(0)1,所以0ab0,b0,且a1)的图象过定点(3,4)指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.2如图,曲线C1,C2,C3,C4是指数函数yax的图象,而a,则图象C1,C2,C3,C4对应的函数的
5、底数依次是_,_,_,_.根据指数函数底数变化引起图象变化的规律知,C2的底数C1的底数1C4的底数C3的底数,又1,故图象C1,C2,C3,C4对应的函数的底数依次是,.3已知f(x)2x的图象,指出下列函数的图象是由yf(x)的图象通过怎样的变化得到:(1)y2x1;(2)y2x1;(3)y2x1;(4)y2x;(5)y2|x|.解(1)y2x1的图象是由y2x的图象向左平移1个单位得到(2)y2x1的图象是由y2x的图象向右平移1个单位得到(3)y2x1的图象是由y2x的图象向上平移1个单位得到(4)y2x与y2x的图象关于y轴对称,作y2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y2x的图象(
6、5)y2|x|为偶函数,故其图象关于y轴对称,故先作出当x0时,y2x的图象,再作关于y轴的对称图形,即可得到y2|x|的图象指数函数的定义域、值域问题探究问题1函数y2x21的定义域与f(x)x21的定义域什么关系?提示:定义域相同2如何求y2x21的值域?提示:可先令tx21,则易求得t的取值范围为1,),又y2t在1,)上是单调递增函数,故2t2,所以y2x21的值域为2,)【例3】求下列函数的定义域和值域:(1)y;(2)y;(3)y4x2x12.思路点拨:解(1)要使函数式有意义,则13x0,即3x130,因为函数y3x在R上是增函数,所以x0,故函数y的定义域为(,0因为x0,所以
7、03x1,所以013x0,函数y的值域为(0,16(3)因为对于任意的xR,函数y4x2x12都有意义,所以函数y4x2x12的定义域为R.因为2x0,所以4x2x12(2x)222x2(2x1)21112,即函数y4x2x12的值域为(2,)1若本例(1)的函数换为“y”,求其定义域解由10得,x0,即函数的定义域为(,02若本例(3)的函数增加条件“0x2”,再求函数的值域解0x2,12x4,y4x2x12(2x)222x2(2x1)21.令2xt,则t1,4,且f(t)(t1)21,易知f(t)在1,4上单调递增,f(1)f(t)f(4),即5f(t)26,即函数y4x2x12的值域为5
8、,261函数yaf(x)的定义域与yf(x)的定义域相同2函数yaf(x)的值域的求解方法如下:(1)换元,令tf(x);(2)求tf(x)的定义域xD;(3)求tf(x)的值域tM;(4)利用yat的单调性求yat,tM的值域3形如yf(ax)的值域,要先求出uax的值域,再结合yf(u)确定出yf(ax)的值域1核心要点:(1)判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合yax(a0且a1)这一结构形式(2)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底
9、数按逆时针方向变大2数学思想:由于指数函数yax(a0且a1)的定义域为R,所以函数yaf(x)(a0且a1)与函数f(x)的定义域相同,求函数yaf(x)的值域,可先求tf(x)的值域,再根据函数yat的单调性确定yaf(x)的值域,体现了整体的思想1.思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)yx2是指数函数()(2)函数y2x不是指数函数()(3)指数函数的图象一定在x轴的上方()答案(1)(2)(3)2如图是指数函数yax,ybx,ycx,ydx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dcB作直线x1,与四个图象分别交于A,B,C,D四点,则A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),由图可知ba1dc,故选B.3函数y的定义域是_0,)由10得1,x0,函数y的定义域为0,)4设f(x)3x,g(x).(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象;(2)计算f(1)与g(1),f()与g(),f(m)与g(m)的值,从中你能得到什么结论?解(1)函数f(x),g(x)的图象如图所示:(2)f(1)313,g(1)3,f()3,g()3,f(m)3m,g(m)3m.从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称