1、4.1 数学归纳法教学目标:1.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题;2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力,经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。教学重点:数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。教学难点:数学归纳法中递推思想的理解。教学过程:一、创设情境,引出课题(1)不完全归纳法:今天早上,我曾疑惑,怎么一中(永昌一中)只招男生吗?因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学,第二个进校园的也是男同学,第三个进校园的还是男同学。于是得出结论:学校里全部都是男同学,同学们说我的结论对吗?(这显然是一个错误的结论,说明不完全归纳的结论
2、是不可靠的,进而引出第二个问题)(2)完全归纳法:一个火柴盒,里面共有五根火柴,抽出一根是红色的,抽出第二根也是红色的,请问怎样验证五根火柴都是红色的呢?(将火柴盒打开,取出剩下的火柴,逐一进行验证。)注:对于以上二例的结果是非常明显的,教学中主要用以上二题引出数学归纳法。结论:不完全归纳法结论不可靠; 完全归纳法结论可靠。问题:以上问题都是与正整数有关的问题,从上例可以看出,要想正确的解决一个与此有关的问题,就可靠性而言,应该选用第几种方法?(完全归纳法)情境一:(播放多米诺骨牌视频)问:怎样才能让多米诺骨牌全部倒下?二、讲授新课:探究一:让所有的多米诺骨牌全部倒下,必须具备什么条件?条件一
3、:第一张骨牌倒下;条件二:任意相邻的两张骨牌,前一张倒下一定导致后一张倒下。探究二:同学们在看完多米诺骨牌视频后,是否对怎样证明有些启发? 得出结论:证明的两个步骤:(1)证明当时,命题成立;(2)假设当时命题成立,证明当时命题也成立。一般地,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当取第一个值时命题成立;(2)(归纳递推)假设时命题成立,证明当时,命题也成立。只要完成以上两个步骤,就可以判定命题对从开始的所有正整数都成立。上述方法叫做数学归纳法。三、应用举例:例1用数学归纳法证明:证明:(1)当时,左边,右边,等式成立;(2)假设当(k1,kN*)时,那么:,则当
4、时也成立。根据(1)和(2),可知等式对任何都成立。注:对例1,首先说明在利用数学归纳法证题时,当时的证明必须利用的归纳假设, 例2:用数学归纳法证明求证:能被6 整除.证明:. 当时,13+51=6能被6整除,命题正确;. 假设时命题正确,即能被6整除,当时,两个连续的整数的乘积是偶数,能被6整除,能被6整除,即当时命题也正确,由知命题时都正确.即:当时,等式成立。根据(1)和(2),可知等式对任何都成立。注:上例可让学生独立完成,教师板书写现完整过程,以突出数学归纳法证题的一般步骤。例3:平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆将平面分成f(n)=n
5、2n+2个部分.分析要点:n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆C,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆C与k个圆有2k个交点,这2k个交点将圆C分成2k段弧,每段弧将它所在的平面部分一分为二,故共增加了2k个平面部分.因此,f(k+1)=f(k)+2k=k2k+2+2k=(k+1)2(k+1)+2.证明:(略)四、巩固练习:(1) 求证: (nN*).(2) 用数学归纳法证明: ()能被264整除; ()能被整除(其中n,a为正整数)(3) 是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.(4)教材50 1、2、5题 五、课堂小结:两个步骤与一个结论,“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”;从n=k到n=k+1时,变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.六、布置作业:教材50 4、5、6题.