1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系第六章 立体几何最新考纲核心素养考情聚焦1.理解空间直线、平面位置关系的定义2.了解可以作为推理依据的公理和定理3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1.平面的基本性质及应用，增强逻辑推理和数学抽象的素养2.空间两直线的位置关系，达成直观想象和逻辑推理的素养3.异面直线所成的角，提升直观想象、数学抽象和数学运算的素养2020年高考预计以几何体为载体，考查与点、线、面的位置关系等有关命题真假的判断、求异面直线所成的角是高考考查的重点判断空间线面的位置关系可以用相关定理进行判断也可以构造长方体模
2、型来判断，还可以直接举反例来判断。题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型1平面的基本性质图形文字语言符号语言公理 1如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线在此平面内AlBlABl公理 2过不在 同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C 三点不共线有且只有一个平面，使 A，B，C公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条 过该点的公共直线若 P 且 P，则 a，且 Pa2.空间两条直线的位置关系位置关系的分类共面直线 相交 直线：同一平面内，有且只有 一个 公共点；平行 直线：同一平面内，没有 公共点.异面直线：不同在 任何 一
3、个平面内，没有 公共点3平行公理平行于同一条直线的两条直线互相 平行.4等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补.5异面直线所成的角(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线aa，bb，把 a与 b所成的 锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(2)范围：0，2.6空间直线、平面的位置关系图形语言符号语言公共点相交aA 1 个平行a 0 个直线与平面在平面内a 无数 个平行 0 个平面与平面相交l 无数 个1.公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推
4、论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面2异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分()(2)两个平面，有一个公共点 A，就说，相交于 A 点，记作 A.()(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(5)已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 不可能是平行直线()(6)没有公共点的两条直线是异面直线()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小
5、题查验1已知 l，m，n 为不同的直线，为不同的平面，则下列判断正确的是()A若 m，n，则 mnB若 m，n，则 mnC若 l，m，m，则 mlD若 m，n，lm，ln，则 l解析：C A 中，m，n 可能的位置关系为平行、相交、异面，故 A 错误；B 中，m 与 n 也有可能平行，B 错误；C 中，根据线面平行的性质可知 C 正确；D 中，若 m n，根据线面垂直的判定可知 D错误，故选 C.2(人教 A 版教材习题改编)空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形C菱形D正方形解析：B 顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间四
6、边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两邻边互相垂直，故顺次连接四边中点的四边形一定是矩形3如图正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点则这四个点不共面的一个图是()解析：D A、B、C 图中四点一定共面，D 中四点不共面4已知直线 a，b，c，有下面四个命题：若 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面；若 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交；若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等；若 ab，bc，则 ac.其中真命题的序号是 _.解析：a，c 可能相交、平行或异面；a，c 可能相交、平行或异面；正确；a，c 可能相交、平行或异面答案：5如图是正四面体的平面展
7、开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 _.解析：还原成正四面体知 G H 与 EF 为异面直线，BD 与 M N 为异面直线，G H 与 M N 成 60角，D EM N.答案：考点一 平面的基本性质及应用(多维探究)命题角度 1 证明点、线共面 1如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BCAD 且 BC12AD，BEAF且 BE12AF，G，H 分别为 FA，
8、FD 的中点(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由题设知，因为 G、H 分别为 FA、FD 的中点，所以 GHAD 且 GH12AD，又 BCAD 且 BC12AD，故 GHBC 且 GHBC，所以四边形 BCHG 是平行四边形(2)C，D，F，E 四点共面理由如下：由 BEAF 且 BE12AF，G 是 FA 的中点知 BEGF 且 BEGF，所以四边形 EFGB 是平行四边形，所以 EFBG.由(1)知 BGCH，所以 EFCH，故 EC，FH 共面又点 D 在直线 FH 上，所以 C，D，F，E 四点共面点、线共面的常用
9、判定方法(1)纳入平面法：要证明“点共面”或“线共面”，可先由部分点或直线确定一个平面，再证其余点或直线也在这个平面内(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合(3)反证法提醒：在选择已知条件确定平面时，要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明跟踪训练如图，ABCDA1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是()AA，M，O 三点共线 BA，M，O，A1 不共面CA，M，C，O 不共面DB，B1，O，M 共面解析：A 连接 A1C1，AC，则 A1C1AC，所以 A1，C1，C，
10、A四点共面，所以 A1C平面 ACC1A1.因为 MA1C，所以 M平面 ACC1A1，又 M平面 AB1D1，所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上，同理 O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1 的交线上，所以 A，M，O 三点共线故选 A.命题角度 2 证明三线共点 2如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点，求证：(1)E，C，D1，F 四点共面(2)CE，D1F，DA 交于一点证明：(1)如图，连接 CD1，EF，A1B，因为 E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点，所以 EFA1B 且 EF12A1B.又因为 A
11、1D1BC，且 A1D1BC，所以四边形 A1BCD1 是平行四边形所以 A1BCD1，所以 EFCD1，即 EF 与 CD1 确定一个平面.且 E，F，C，D1，即 E，C，D1，F 四点共面(2)由(1)可知，EFCD1，且 EF12CD1，所以四边形 CD1FE 是梯形所以 CE 与 D1F 必相交设交点为 P，如图，则 PCE平面ABCD，且 PD1F平面 A1ADD1.又因为平面 ABCD平面 A1ADD1AD，所以 PAD，所以 CE，D1F，DA 交于一点证明三点共线的两种方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，则这三点都在交线上，即三点共线(2)选择其
12、中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线跟踪训练如图，空间四边形 ABCD 中，E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上，且满足 AEEBCFFB21，CGGD31，过 E、F、G 的平面交 AD 于点 H.(1)求 AHHD；(2)求证：EH、FG、BD 三线共点解：(1)AEEBCFFB2，EFAC，EF平面 ACD，而 EF平面 EFGH，平面 EFGH平面 ACDGH，EFGH，ACGH.AHHDCGGD3，AHHD31.(2)证明：EFGH，且EFAC13，GHAC14，EFGH，四边形 EFGH 为梯形令 EHFGP，则 PEH，而 EH平面 ABD，又 P
13、FG，FG平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，PBD，EH、FG、BD 三线共点命题角度 3 证明三点共线 3如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线证明：(1)E，F 分别为 AB，AD 的中点，EFBD.在BCD 中，BGGCDHHC12，GHBD.EFGH.E，F，G，H 四点共面(2)EGFHP，PEG，EG平面 ABC，P平面 ABC.同理 P平面 ADC.P 为平面 ABC 与平面 ADC
14、 的公共点又平面 ABC平面 ADCAC，PAC，P，A，C 三点共线证明三线共点的思路先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线跟踪训练如图，在四边形 ABCD 中，已知 ABCD，直线 AB，BC，AD，DC 分别与平面 相交于点 E，G，H，F，求证：E，F，G，H 四点必定共线证明：因为 ABCD，所以 AB，CD 确定一个平面.又因为 ABE，AB，所以 E，E，即 E 为平面 与 的一个公共点同理可证 F，G，H 均为平面 与 的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只
15、有一条通过公共点的公共直线，所以 E，F，G，H 四点必定共线考点二 空间两直线的位置关系(自主练透)直观想象空间中线线位置关系中的核心素养平面几何和立体几何在线与线的位置关系中是不同的，借助确定的空间几何体模型，利用直观想象来研究和判定线与线的位置关系显得尤为重要题组集训1如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为 BC，BB1 的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的是()A直线 AA1 B直线 A1B1C直线 A1D1D直线 B1C1解析：D 只有直线 B 1C 1与直线 EF 在同一平面内，且两者是相交的，直线 A A 1，A 1B 1，A 1D 1与直线 EF
16、都是异面直线2(2019全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则()ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线解析：B 本题为立体几何中等问题，考查垂直关系，线面、线线位置关系BDE 中，N 为 BD 中点，M 为 DE 中点，MNEB，MNEB 四点共面BM，EN 共面相交，选项 C，D 为错作EOCD 于 O，连接 ON，过 M 作 MFOD 于 F.连 BF，平面 CDE平面 AB
17、CD.EOCD，EO平面 CDE，EO平面 ABCD，MF平面 ABCD，MFB 与 EON 均为直角三角形设正方形边长为 2，易知 EO 3，ON1，EN2，MF32，BF2294 52，BM34254 7.BMEN，故选 B.3如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 MAB1，NBC1，且 AMBN 2，有以下四个结论：AA1MN；A1C1MN；MN平面 A1B1C1D1；MN 与A1C1 是异面直线其中正确结论的序号是 _.(注：把你认为正确命题的序号都填上)解析：过 N 作 NPBB1 于点 P，连接 MP，可证 AA1平面 MNP，AA1MN，正确过 M、N 分别作
18、 MRA1B1、NSB1C1 于点 R、S，则当 M 不是 AB1 的中点、N 不是 BC1 的中点时，直线 A1C1 与直线 RS 相交；当 M、N 分别是 AB1、BC1 的中点时，A1C1RS，A1C1与 MN 可以异面，也可以平行，故错误由正确知，AA1平面 MNP，而 AA1平面 A1B1C1D1，平面 MNP平面 A1B1C1D1，故对综上所述，其中正确命题的序号是.答案：空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂
19、直的性质来解决提醒：(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交；(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线考点三 异面直线所成的角(子母变式)母题 如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为()A.15 B.25C.35D.45解析 D 连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角连接 A1C1，由AB1，则 AA12，A1C1 2，A1BBC1 5，故 cosA1BC15522 5
20、 545.子题 1 将本例条件“AA12AB2”改为“AB1，若平面ABCD 内有且仅有一点到顶点 A1 的距离为 1”，则异面直线 A1B 与AD1 所成角的余弦值为 _.解析：由平面 ABCD 内仅有一点到 A1 的距离为 1，则 AA11.此时正四棱柱变为正方体 ABCDA1B1C1D1，由图知 A1B 与 AD1 所成角为A1BC1，连接 A1C1.则A1BC1 为等边三边形，A1BC160，cosA1BC112，故异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为12.答案：12子题 2 将本例条件“AA12AB2”改为“AB1，若异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 910”
21、，则AA1AB 的值为 _.解析：设AA1AB t，则 AA1tAB.AB1，AA1t，由题意知A1BC1 为所求，又 A1C1 2，A1B t21BC1，cos A1BC1 t21t2122 t21 t21 910，t3，即AA1AB 3.答案：3子题 3 在本例条件下，若点 P 在平面 A1B1C1D1 内且不在对角线 B1D1 上，过点 P 在平面 A1B1C1D1 内作一直线 m，使 m 与直线 BD成 角，且 0，2.这样的直线可作 _ 条解析：在平面 A1B1C1D1 内作 m，使 m 与 B1D1 相交成 角BDB1D1，直线 m 与 BD 也成 角，即 m 为所求且 m 与 B
22、D 是异面直线，当 2时，m 只有一条，当 2时，这样的直线有两条答案：两异面直线所成角的求解技巧求异面直线所成的角采用”平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行其求解一般步骤为：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角；(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；(4)取舍：因为异面直线所成角 的取值范围是0，2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角跟踪训
23、练1(2018全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为()A.22 B.32 C.52 D.72解析：C 在正方体 A BC D A 1B 1C 1D 1中，C D A B，所以异面直线 A E 与 C D 所成角为EA B.设正方体边长为 2a，则由 E 为棱 C C 1的中点，可得 C Ea，所以 BE5a，则 tan EA BBEA B5a2a 52.故选 C.2已知三棱锥 ABCD 中，ABCD，且直线 AB 与 CD 所成的角为 60，点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，则直线 AB 和 MN 所成的角为 _.解析：如图，在三棱锥 ABCD 中，取 AC 的中点 P，连接 PM，PN，则 PMAB，且 PM12AB.PNCD，且 PN12CD，所以MPN 为 AB 与 CD 所成的角(或其补角)则MPN60或MPN120.若MPN60，因为 PMAB，所以PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或其补角)又因为 ABCD，所以 PMPN，则PMN 是等边三角形，所以PMN60，即 AB 与 MN 所成的角为 60.若MPN120，则易知PMN 是等腰三角形所以PMN30，即 AB 与 MN 所成的角为 30.综上直线 AB 和 MN 所成的角为 60或 30.答案：60或 30
