1、1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【思考辨析
2、】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x(0，)的最小值等于4.()(3)“x0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()1(教材改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82答案C解析x0，y0，即xy()281，当且仅当xy9时，(xy)max81.2若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是()A. B.1C.2 Da2b28答案D解析4ab2(当且仅当ab时，等号成立)，即2，ab4，选项A，C不成立；
3、1，选项B不成立；a2b2(ab)22ab162ab8，选项D成立3若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1 B1C3 D4答案C解析当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，选C.4(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_答案25 m2解析设矩形的一边为x m，则另一边为(202x)(10x)m，yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.5(教材改编)已知x，yR，且x4y1，则xy的最大值为_答案解析1x4y24，xy()2，当且仅当
4、x4y，即时，(xy)max.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法求最值例1(1)已知x1)的最小值为_(3)函数y的最大值为_答案(1)1(2)22(3)解析(1)因为x0，则f(x)4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.(2)y(x1)222.当且仅当(x1)，即x1时，等号成立(3)令t0，则xt21，所以y.当t0，即x1时，y0；当t0，即x1时，y，因为t24(当且仅当t2时取等号)，所以y，即y的最大值为(当t2，即x5时y取得最大值)思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正
5、”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式命题点2常数代换或消元法求最值例2(1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_(2)(高考改编题)设ab2，b0，则取最小值时，a的值为_答案(1)5(2)2解析(1)方法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)()5.(当且仅当，即x1，y时，等号成立)，3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy得x，x0，y0，y，3x4y4y4y4(y)25，当且仅当y时等号成立，(3x4y
6、)min5.(2)ab2，21，当且仅当时等号成立又ab2，b0，当b2a，a2时，取得最小值思维升华条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(1)已知x，y(0，)，2x3()y，若(m0)的最小值为3，则m等于()A2 B2 C3 D4(2)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_答案(1)D(2)6解析(1)由2x3()y得xy3，(xy)()(1m)(1m2)，(当且仅当时取等号)(1m2)3，解得m4.故选D
7、.(2)由已知得x.方法一(消元法)x0，y0，y0，y0，9(x3y)xyx(3y)()2，当且仅当x3y时等号成立设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6.题型二基本不等式与学科知识的综合命题点1用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例3(1)(2015菏泽一模)已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是()A9 B8 C4 D2(2)已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6答案(1)A(2)B解析(1)圆x2y22y50化成标准方程
8、，得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1)因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)()5.因为b，c0，所以24.当且仅当时等号成立由此可得b2c，且bc1，即b，c时，取得最小值9.(2)由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44.命题点2求参数的值或取值范围例4已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18 D24答案B解析由得m(a3b)()6.又62612，m12，m的最大值为12.思维升华(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过
9、条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围(1)已知各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A. B. C. D.(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围_答案(1)A(2)，)解析(1)由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)因为4a1，所以qmn216，所以2mn224，所以mn6.所以(mn)()(5)(52).当且仅当时，等号成立，
10、故的最小值等于.(2)对任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a(x)3.设g(x)x，xN*，则g(2)6，g(3).g(2)g(3)，g(x)min.(x)3，a，故a的取值范围是，)题型三不等式的实际应用例5运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2)升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)设所用时间为t(h)，y2(2)14，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50
11、,100(或yx，x50,100)(2)yx26，当且仅当x，即x18，等号成立故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能
12、全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)当0x80时，L(x)1 000x0.05(x210x)250x240x250.当x80时，L(x)1 000x0.05(51x1 450)2501 200(x)L(x)(2)当0x0，y0，且1，则xy的最小值是_(2)函数y12x(x0)的最小值为_易错分析(1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件如：12，2，xy24，得(xy)min4.(2)没有注意到x0，y0，xy(xy)()332(当且仅当yx时取等号)，当x1，y2时，(xy)mi
13、n32.(2)x0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件3对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数yx(m0)的单调性失误与防范1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致A组专项基础训练 (时间：35分钟)1下列不等式一定成立的是()Alg(x2)lg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)答案C解析当x0时，x22xx，所以lg(x2)lg x(x0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当xk，kZ时，sin x的正负不
14、定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确2设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件，故选B.3已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5答案C解析依题意，得()(ab)5()(52)，当且仅当即a，b时取等号，即的最小值是.4(2014重庆)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74答
15、案D解析由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()77274，当且仅当时取等号故选D.5已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为()A8 B4 C2 D0答案A解析由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)()4448.6(2015陕西)设f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp BqrpCprq Dprq答案C解析0ab，又f(x)ln x在(0，)上为增函数，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln a
16、ln bln(ab)f()p.故prq.选C.7已知x0，y0，且4xyx2y4，则xy的最小值为()A. B2 C. D2答案D解析x0，y0，x2y2，4xy(x2y)4xy2，44xy2，即(2)(1)0，2，xy2.8设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最小值时，x2yz的最大值为()A0 B. C2 D.答案C解析由题意知：zx23xy4y2，则31，当且仅当x2y时取等号，此时zxy2y2.所以x2yz2y2y2y22y24y2(y1)222.9若当x3时，不等式ax恒成立，则a的取值范围是_答案(，23解析设f(x)x(x3)3，因为x3，所以x30，故f(x)2
17、323，当且仅当x3时等号成立，所以a的取值范围是(，2310若关于x的方程9x(4a)3x40有解，则实数a的取值范围是_答案(，8解析分离变量得(4a)3x4，得a8.11已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.B组专项能力提升(时间：20分钟)12一个篮球运动员投
18、篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为()A. B.C. D.答案D解析由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0bbc0，则2a210ac25c2的最小值是()A2 B4 C2 D5答案B解析2a210ac25c2(a5c)2a2abab(a5c)2aba(ab)0224，当且仅当a5c0，ab1，a(ab)1时，等号成立，如取a，b，c时满足条件14已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_答案4,12解析2xy6(x24y2)，而2xy，6(x24y2)，x24y24(
19、当且仅当x2y时取等号)又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号)综上可知4x24y212.15设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_答案4解析由题意知3a3b3，即3ab3，ab1，a0，b0，(ab)2224，当且仅当ab时，等号成立16经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值解(1)W(t)f(t)g(t)(4)(120|t20|)(2)当t1,20时，4014t4012441(t5时取最小值)当t(20,30时，因为W(t)5594t递减，所以t30时，W(t)有最小值W(30)443，所以t1,30时，W(t)的最小值为441万元
