1、1 北京市中关村中学 2021 届高三 3 月月考数学试题 一、选择题;(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)1.已知集合|lg3,|240,Ax yxBxxx则 AB=().|23A xx .|23B xx .|34C xx .|34D xx 2.下列函数中,既是奇函数又是减函数的是()3.A yx .2 xB y 1.C yx .|D yx x 3.已知复数(2)zii(i 是虚数单位),则 z 的虚部为().2A .2B .1C .1D 4.在61(2)xx的展开式中常数项是().160A .20B .20C .160D 5.已知平面向量(3,1),4,ab且2,aba则 ab
2、 ().5A .4B .3C .2D 6.从点 P(m,3)向圆22222xy引切线，则切线长的最小值()A.26B.5 C.2 6 D.23 7.数列 na的前 n 项和记为nS,则“数列nS为等差数列是数列 na为常数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 8.设抛物线 C:220 xpy p的焦点为 F,点 P 在 C 上,17|4PF,若以线段PF 为直径的圆过点(1,0),则 C 的方程为()A.2x=y 或2x=8y B.2x=2y 或 2x=8yC.2x=y 或2x=16y D.2x=2y 或2x=16y2 9.已知函数 123
3、sincos,0,f xxx f xf x且函数 fx 在 12,x x上具有单调性，则12|xx的最小值为().6A .3B 2.3C 4.3D 10.关于函数 21xfxxaxe,有以下三个结论:函数恒有两个零点,且两个零点之积为-1;函数的极值点不可能是-1;函数必有最小值.其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.二、填空题:(共 5 小题,每小题 5 分，共 25 分)11.某单位有青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 3 倍，老、中、青职工共有 440 人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 64 人，则该样本中的老年职工人数为
4、_.12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是_.13.已知函数 32,01ln3,0kxxf xxxkxx，若 fx 恰有 4 个零点,则实数 k 的取值范围为_.3 14.定义域为*|,112x xNx的函数 fx 满足|1|11,2,11f xf xx且 1f,4f,12f成等比数列,若 1f=1,12f=4,则满足条件的不同函数的个数为_.15.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=2,E 为 AB 边的中点,将 ADE 沿 DE 翻折,得到四棱锥 A1-DEBC.设线段 A1C 的中点为 M,在翻折过程中,有下列三个命题:总有 BM/平面 A1DE;存在某个位置,使 D
5、E 与 A1C 所成的角为 90;三棱锥 C-A1DE 的体积的最大值为 423 .其中正确的命题是_.(写出所有正确命题的序号)4 三、解答题:(共 6 小题,共 85 分).16.(本题 13 分)在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD 平面 ABCD.底面 ABCD 为梯形,AB/CD，AB AD，且 AB=1,PA=AD=DC=2,PD=2 2.(I)求证:AB PD;()求二面角 P-BC-D 的余弦值;5 17.(本题 13 分)已知 ABC 中，cosc0.bA(I)ABC 中是否必有一个角为钝角，说明理由；(II)若 ABC 同时满足下列四个条件中的三个：2sin2A;3si
6、n2C;a=2;c=2.请证明使得 ABC 存在的这三个条件仅有一组,写出这组条件并求出 b 的值.6 18.(本题 13 分)某企业发明了一种新产品，其质量指标值为70,100m m，其质量指标等级如下表：为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了 1000 件，将其质量指标值m 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(I)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取 2 件产品，求抽出的产品中至少有1 件不是废品的概率；(II)若从质量指标值85m 的样本中利用分层抽样的方法抽取 7 件产品，然后从这 7 件产品中任取 3 件产品，求90,95m的件
7、数 X 的分布列及数学期望；(III)若每件产品的质量指标值 m 与利润 y（单位：元）的关系如下表：14t 质量指标值m 70,75 75,80 80,85 85,90 90,100 利润y（元）6t 8t 4t 2t 53te 试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定 t 为何值时，每件产品的平均利润达到最大？（参考数值：ln 20.7,ln51.6）7 19.(本题 15 分)已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为21，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆交于 A、B 两点，当直线 l 与 x 轴垂直时，3|AB(I)求椭圆 C 的标准方程；(II)当直线 l 与
8、x 轴不垂直时，在 x 轴上是否存在一点 P（异于点 F），使 x 轴上任意点到直线 PA、PB 的距离均相等？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.8 20.(本题 15 分)已知函数 321ln2f xxxaxaxaR.(I)当0a 时，求 fx 的最值；(II)若 312f xaxx恒成立，求实数 a 的取值范围；(III)若函数 f xg xx存在两个极值点1212,x xxx求12g()()xg x的取值范围.9 21.(本题 15 分)已知集合12|,0,1,1,2,2,nniSX Xx xxxinn对于 12,S,nnAa aa12,S,nnBb bb定义 A 与 B
9、的差为 1122A B,;nnabababA 与 B 之间的距离为 1122,.nnd A Bababab(I)若(0,1),AB试写出所有可能的,A B；(II),nA B CS证明(,),d AC BCd A B；,B,d Ad A Cd B C 三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.(III)设,nPSP中有 m(2,m 且为奇数)个元素，即 P 中所有两元素间距离的平均值为pd，证明：1.2pn mdm 10 答案 一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.B 10.A二、填空题 11.28 12.13 1341,0e 14.176 15 三、解答
10、题 16.（1）证明：因为平面 ABCD 平面 PAD，平面 ABCD平面 PAD=AD,AB 平面 ABCD,AB AD,所以 AB 平面 PAD,又因为 PD平面 PAD，所以 AB PD.（2）66 17.（1）因为 cos0bAc，由正弦定理可得sincossin0BAC，在 ABC中，CAB，sinsinsincoscossinCABABAB，11 所以不等式整理为sincoscossinsincosABABBA，即sincos0AB，因为0,A，sin0A，所以cos0B，所以 B 为钝角.（2）（i）若满足，则正弦定理得 sinsinacAC，即 22sin22C，所以1sin2
11、C，又 ac，所以 AC，在三角形中，2sin2A 所以4A或 34，而由（I）可得4A，所以可得6C，712B，所以222cos31bacacB.（ii）若满足，由（I）B 为钝角，,A C 为锐角，及2sin2A，3sin2C，可得4A，3C，所以512B不符合 B 为钝角，故不同时成立.（iii）若满足，由 B 为钝角，3sin2C，所以3C，而 ac，所以AC，这时3B，B 不符合为钝角的情况，所以这种情况不成立.综上所述：只有满足时31b .18.（1）设事件 A 的概率为 P A，则由频率分布直方图可得：12 1 件产品为废品的概率为0.040.0250.3P 则 33310.30
12、.973P AC.（2）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于 85 的产品中，85,90m的频率为0.08 50.4；90,95m的频率为0.04 50.2；95,100m的频率为0.02 50.1.所以分层抽样抽取的 7 件产品中，85,90m的有 4 件，90,95m的有 2 件，95,100m的有 1 件，从这 7 件产品中任取 3 件产品，质量指标值90,95m的件数 X 的所有可能取值为 0,1,2 3537207CP XC;215237417C CP XC;125237127C CP XC X 0 1 2 P 27 47 17 24160127777E X （3）由频率分布直
13、方图可得该产品的质量指标值 m 与利润 y 的关系如下表：14t 质量指标值m70,7575,8080,8585,9090,100利润 y（元）4t9t4t2t53teP0.05 0.1 0.15 0.4 0.3 故每件产品的利润0.30.80.60.80.514tyttttet,则2.50.5 tye，令0y，则ln 5t,1,ln5,0,ty 函数递增，ln5,4,0,ty函数递减；ln5t 时，函数 y 取得最大值，为ln52.5 ln50.51.5e,所以生产该产品能够盈利，当ln51.6t 时，每件产品的利润取得最大值 1.513 元.19.（1）由题意得：22222132cbaac
14、ab，解得：1,3,2cba，所以圆锥的标准方程13422 yx.（2）若直线l 的斜率不为零，可设直线l：)0(1mmyx，),(),(1111yxByxA假设存在点 P，设点)0,(0 xP，由题设20100,1xxxxx且，设 直 线PBPA,的 斜 率 分 别 为21,kk，则02220111,xxykxxyk，因 为),(),(1111yxByxA1 myx上故111 myx，111 myx，而 x 轴上任意一点到直线PBPA,的距离均相等等价于 PF 平分APB，即021 kk，0)()(1(202012102102201121xxxxyyxymyxxyxxykk 联立113422
15、myxyx消去x得096)43(22myym439,436221221myymmyy)()(4(362402012021xxxxmmxmkk 即)(04062400舍或mxmxm 直线l 的斜率为零时，)0,4(P也符合题意，故存在点)0,4(P而 x 轴上任意一点到14 直线PBPA,的距离均相等 20.（1）由题意 ln,1lnfxxx fxx，易知10,xe时，0fx，fx 递减，1,xe时，0fx，fx 递增.fx 有极小值1111lnfeeee ，也是最小值，无最大值.（2）312f xaxx，2lnxxaxx ，ln1xax.设 ln1xxx，则 2ln xxx，令 0 x，则1x
16、 ，0,1,0,xxx 单调递增，1,0,xxx单调递减 max11x 1a （3）由题意 22111ln,2axaxg xxaxax gxaxaxx，g x 在两个极值点12,x x，则12,x x 是方程210axax 的两个不等正根，2124010aax xa 121214,1,axxx xa 221211122211lnln22h ag xg xxaxaxxaxax 15 2121212121112ln2ln122x xaxxx xa xxaaaa1ln12 aa 显然是 1ln12h aaa 关于 a 的减函数，43ln 4h ah 12g xg x的取值范围是,3ln 4 .21.
17、)0,1(),1,1()1,1(),0,1()0,0(),1,0(),1,0(),0,0()1(BABABABA（2）令),(21naaaA，),(21nbbbB，),(21ncccC 对ni3,2,1 当0ic时有|iiiiiibacbca 当1ic时有|)1(1|iiiiiiiibabacbca 所以),(|),(2211BAdbababaCBCAdnn（3）),(),(),(,CBdCAdBAdSCBAn三个数中一定有偶数，理由如下：因为)()()(0)()()(iiiiiiiiiiiiaccbbaaccbba且|iiiiiiaccbba奇偶性相同，所以|iiiiiiaccbba为偶数 故),(),(),(CBdCAdBAd三个数不可能都是奇数，即),(),(),(CBdCAdBAd三个数中一定有偶数
