1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第4节 指数与指数函数 第二章 函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.通过对有理数指数幂a(a0，且a1；m，n为整数，且n0)、实数指数幂ax(a0，且a1；xR)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点1.根式与有理数指数幂的运算，提升数学运算素养2.指数函数的图象及应用，达成直观想象和逻辑推理素养3.指数函数的性质及应用，发展逻辑推理和数学运算素养幂的运算性质、指数函数的图象和性质是高
2、考命题的热点，往往与其他函数相结合考查，如：图象的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题1根式(1)概念：式子n a叫做 根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数(2)性质：(n a)n a(a 使n a有意义)；当 n 为奇数时，n an a，当 n 为偶数时，n an|a|a，a0，a，a0，m，nN*，且 n1)；正数的负分数指数幂的意义是 amn 1n am(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂 没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras ars；(ar)s ars；(ab)
3、r arbr，其中 a0，b0，r，sQ.3指数函数及其性质(1)概念：函数 yax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中指数 x是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数(2)指数函数的图象与性质a10a0 时，y1；当 x0 时，0y1 当 x1；当 x0 时，0y350，即 ab1，又 c3201，cba.答案：cba5若函数 y(a21)x 在(，)上为减函数，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意知 0a211，即 1a22，得 2a1 或 1a 2.答案：(2，1)1，2考点一 根式与有理数指数幂的运算(自主练透)题组集训1下列等式能够成立的是()2求值与化简 指数幂运算的一般原则(1
4、)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数考点二 指数函数的图象及应用(师生共研)典例(1)函数 f(x)1e|x|的图象大致是()解析 A(1)将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有 A 满足上述两个性质，故选 A.(2)2019长春市模拟若存在正数 x 使 2x(
5、xa)0，体现在图象上就是 y 轴的右侧将不等式 2x(xa)1 变形为 xa12x题干给出的不等式 2x(xa)1 不易求解，可转化为两个基本初等函数构成不等式 xa12x画出 y12x 的图象2x(xa)1 成立考虑利用初等函数的图象解决，即转化为直线 yxa 在(0，)上，有一部分在曲线 y12x的下方画出直线 yxa的图象，满足在 y轴的右侧，有一部分在曲线 y12x 的下方求 a 的取值范围观察图象，写出满足的条件，即可求得结果根据在同一平面直角坐标系内直线 yxa 与 y12x 的图象，列出有关 a的不等式，求得结果解析 D 第一步 将不等式 2x(xa)1 变形为两个基本初等函数
6、构成的不等式不等式 2x(xa)1 可变形为 xa12x.第二步 画出函数 y12x 与 yxa 的图象在同一平面直角坐标系内作出直线 yxa 与 y12x 的图象由题意，在(0，)上，直线有一部分在曲线的下方第三步 观察图象，列出有关 a 满足的条件观察可知，有a1.(3)(2019衡水市模拟)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_.解析 曲线|y|2x1 与直线 yb 的图象如图所示，由图象可得：如果|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1,1答案 1,1互动探究1若将本例(3)中“|y|2x1”改为“y|2x1|”，且与直线 yb
7、 有两个公共点，则 b 的取值范围是_解析：曲线 y|2x1|与直线 yb 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y|2x1|与直线 yb 有两个公共点，则 b 的取值范围是(0,1)答案：(0,1)2若将本例(3)改为：函数 y|2x1|在(，k上单调递减，则 k 的取值范围是_解析：因为函数 y|2x1|的单调递减区间为(，0，所以 k0，即 k 的取值范围为(，0答案：(，03若将本例(3)改为：直线 y2a 与函数 y|ax1|(a0 且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_解析：y|ax1|的图象是由 yax 先向下平移 1 个单位，再将 x轴下方的图象沿 x 轴翻折过来
8、得到的当 a1 时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当 0a1 时，要使两个图象有两个交点，则 02a1，得到 0a12，如图(2)综上，a 的取值范围是0，12.答案：0，12指数函数图象可解决的两类热点问题及思路(1)求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解(2)求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解易错警示：应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质，要注意画出图
9、象的准确性，否则数形结合得到的可能为错误结论跟踪训练1函数 yax1a(a0，且 a1)的图象可能是()解析：D 法一：当 0a0，且 a1)的图象必过点(1,0)，所以选 D.2方程 2x2x 的解的个数是_解析：方程的解可看作函数 y2x 和 y2x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案：1考点三 指数函数的性质及应用(多维探究)命题角度 1 比较指数式的大小1(2019全国卷)已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc BacbCcabDbca解析：B alog0.22 log120，b20.2201
10、，0c0.20.30.201，bca.选 B.命题角度 2 简单的指数方程或不等式的应用2设函数 f(x)12x7，x0，x，x0，若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是()A(，3)B(1，)C(3,1)D(，3)(1，)解析：C 当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为12a71，即12a8，即12a123，因为 0121，所以 a3，此时3a0；当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 a1，所以 0a1.故 a 的取值范围是(3,1)，故选 C.命题角度 3 探究指数型函数的性质3已知函数 f(x).(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值
11、；(3)若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值思路导引(1)遵循“同增异减”法则求 f(x)的单调区间；(2)由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值1，由此可求出 a 的值；(3)要使 f(x)的值域为(0，)，应使 g(x)ax24x3 的值域为 R，由此可求出 a 的值解：(1)当 a1 时，f(x)，令 g(x)x24x3，由于 g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y13t 在 R 上单调递减，所以 f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令 g(x)ax24x3，f(
12、x)13g(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值1，因此必有a0，3a4a1，解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.(3)由指数函数的性质知，要使 y13g(x)的值域为(0，)，应使 g(x)ax24x3 的值域为 R，因此只能 a0.(因为若 a0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R)故 a 的值为 0.指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法(2)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论
