1、第3讲平面向量的数量积及应用考纲解读1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系(重点)2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点内容预测2020年高考将考查向量数量积的运算、模的最值、夹角的范围题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.1两个向量的夹角2平面向量的数量积3平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角，则(1)eaa
2、e|a|cos.(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos.(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到：(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a| ；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB| ；(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2
3、y1y20；(4)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则cos .1概念辨析(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量()(2)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)若abbc(b0)，则ac.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2小题热身(1)(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4 B3 C2 D0答案B解析因为a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213.所以选B.(2)(2017全国卷)已
4、知向量a(2,3)，b(3，m)，且ab，则m_.答案2解析a(2,3)，b(3，m)，且ab，ab0，即233m0，解得m2.(3)设向量a，b满足：|a|1，|b|2，a(ab)，则a与b的夹角是_答案60解析设a与b的夹角为，因为a(ab)，所以a(ab)0，故|a|2|a|b|cos0，解得cos，故a与b的夹角为60.(4)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_答案2解析因为ab|a|b|cos54cos12010，所以b在a方向上的投影为|b|cos2.题型 平面向量数量积的运算1已知两个单位向量a和b的夹角为60，则向量ab在向量a方向上的投
5、影为()A1 B1 C D.答案D解析由两个单位向量a和b的夹角为60，可得ab11，(ab)aa2ab1，向量ab在向量a方向上的投影为，故选D.2(2018天津高考)在如图的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为()A15 B9 C6 D0答案C解析连接MN，因为2，所以3，同理3，333，33()33()2321cos1203126.3已知菱形ABCD的两条对角线BD，AC的长度分别为6,10，点E，F分别是线段BC，CD的中点，则_.答案12解析依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，故A(5,0)，C(5,0)，E，B(0,3)，F，则，则12.计算向量数量积的
6、三种方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即ab|a|b|cos(是a与b的夹角)(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解如举例说明2.(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解如举例说明3. 1已知向量a(x,2)，b(2,1)，c(3，x)，若ab，则ac()A4 B8 C12 D20答案D解析因为ab，所以x220，解得x4，所以a(4,2)，所以ac(4,2)(3,4)432420.2(2019西安八校联考)已知点A(1,1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3,4
7、)，则向量在方向上的投影是()A3 B C3 D.答案A解析依题意得，(2，1)，(5,5)，(2，1)(5,5)15，|，因此向量在方向上的投影是3.3在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且满足BC3MC，DC4NC，若AB4，AD3，则()A B0 C. D7答案B解析以，为基底，(99)0，故选B.题型 平面向量数量积的性质1(2018华南师大附中一模)已知向量|3，|2，(mn)(2nm1)，若与的夹角为60，且，则实数的值为()A. B. C. D.答案A解析由题意得，(mn)(2nm)，32cos603.又因为，所以(mn)(2nm)()(mn)2(2m3n)(2
8、nm)29(mn)3(2m3n)4(2nm)0，整理得7m8n0，故.2(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.答案2解析由题意得，ab21cos601，所以|a2b|2a24ab4b244412，所以|a2b|2.3已知向量m(sin，1cos)(0)与向量n(2,0)的夹角为，则_.答案解析由已知条件得|m|，|n|2，mn2sin，于是由平面向量的夹角公式得cos，整理得2cos2cos10，解得cos或cos1(舍去)因为0，所以.条件探究1把举例说明1的条件改为“已知(2，0)，(0,2)，t，tR，当|最小时”，求t的值解由题意得，t()，
9、(1t)t(1t)(2，0)t(0,2)(22t,2t)，所以|212(1t)24t21623，所以当t时，|取最小值条件探究2把举例说明2的条件改为“平面向量a与b的夹角为45，a(1,1)，|b|2”，求|3ab|.解由题意得，|a|，ab2cos452.所以|3ab|29a26abb292622234.所以|3ab|.1求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cosa，b .如举例说明3.2求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公
10、式|a|.(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解如举例说明2.3解答向量垂直问题的两个策略(1)若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据向量数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可(2)根据两个向量垂直的充要条件ab0，列出相应的关系式如举例说明1. 1已知平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A2 B1 C1 D2答案D解析a(1,2)，b(4,2)，cmab(m4,
11、2m2)，|a|，|b|2，ac5m8，bc8m20.c与a的夹角等于c与b的夹角，解得m2.2(2018北京高考)设向量a(1,0)，b(1，m)，若a(mab)，则m_.答案1解析由已知，mab(m1，m)，又a(mab)，所以a(mab)1(m1)0(m)0，解得m1.3(2018青岛模拟)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为，且abc0，则|c|_.答案解析因为abc0，所以cab，所以c2a2b22ab2232223cos4967.所以|c|.题型 向量数量积的综合应用角度1向量在平面几何中的应用1已知，是非零向量，且满足(2)，(2)，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角
12、形C等边三角形 D等腰直角三角形答案C解析(2)(2)0，即20，(2)(2)0，即20，2，即|，则cosA，A60，ABC为等边三角形角度2向量在解析几何中的应用2已知0，|1，|2，0，则|的最大值为_答案解析由0可知，.故以B为坐标原点，分别以BA，BC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则由题意，可得B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)设D(x，y)，则(x1，y)，(x,2y)由0，可得(x1)(x)y(2y)0，整理得2(y1)2.所以点D在以E为圆心，半径r的圆上因为|表示B，D两点间的距离，而| .所以|的最大值为|r.角度3向量与三角函数的综合应用3(20
13、18石家庄模拟)已知A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，且mnsin2C.(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且()18，求边c的长解(1)由已知得mnsinAcosBcosAsinBsin(AB)，因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sinC，所以mnsinC.又mnsin2C，所以sin2CsinC，所以cosC.又0C，所以C.(2)由已知得2sinCsinAsinB，由正弦定理得2cab.因为()18，所以abcosC18，所以ab36.由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab
14、)23ab，所以c24c2336，所以c236，所以c6.1向量在平面几何中的应用用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用如举例说明1.2向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题如举例说明2.(2)工具作用：利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问
15、题时经常用到3向量与三角函数的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行求解如举例说明3. 1已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案D解析由已知得(2x，y)(3x，y)(2x)(3x)(y)(y)x2x6y2x2，所以y2x6，故点P的轨迹是抛物线2若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析()(2)0，即()()0，()0，()()0，即|2|20，|，三角形ABC为等腰三角
16、形3已知函数f(x)ab，其中a(2cosx，sin2x)，b(cosx,1)，xR.(1)求函数yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sinB)与n(2，sinC)共线，求边长b和c的值解(1)f(x)ab2cos2xsin2x1cos2xsin2x12cos，由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1.0A，2A，2A，即A.a，由余弦定理得a2b2c22bccosA(bc)23bc7.向量m(3，sinB)与n(2，sinC)共线，2sinB3sinC.由正弦定理得2b3c，由，可得b3，c2.
