1、四川省棠湖中学2020届高三数学下学期第二次月考试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,选B.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应
2、先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.已知复数满足，则（ ）A. B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由复数除法求出，然后再求模【详解】由题意，故选：C【点睛】本题考查求复数模，考查复数的除法运算属于基础题本题还可以由模的性质求解：由得，3.已知命题，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题，则为“”故选D考点：命题的否定4.等差数列的前项和为，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据成等差数列列方程组，解方程求得的值.【详解】由于是等差数列，故成等差数列，所以，即，解得.故
3、选B.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和的性质，考查方程的思想，属于基础题.5.在中，D为边BC上的一点，且，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】D为边BC上的一点，且，D是四等分点，结合，最后得到答案【详解】D为边BC上的一点，且，D是四等分点，故选：B【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角函数的诱导公式求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得，即，又由.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公
4、式和余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.“，”为真命题的充分必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得出答案.【详解】“，”为真命题，对任意的恒成立，由于函数在区间上单调递增，则，.故选：A.【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.8.通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量，且.则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若，有，）A. 0.
5、0456B. 0.6826C. 0.9987D. 0.9772【答案】D【解析】【分析】根据正态分布符合,可求得旅客人数在内的概率.结合正态分布的对称性,即可求得旅客人数不超过3100的概率.【详解】每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量,且根据原则可知则由正态分布的对称性可知则故选:D【点睛】本题考查了正态分布的应用,原则求概率问题,属于基础题.9.已知定义在上的奇函数满足，且当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先推导出函数的周期为，可得出，然后利用函数的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.【详解】函数是上的奇函数，且，所以，函数的周期为，则.故选：C.【点睛】本题
6、考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题.10.三棱锥四个顶点均在同一球面上，正面，则该球体积（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意把三棱锥扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，然后求出球的体积.【详解】由题意画出几何体的图形如图，把三棱锥扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，是正三角形，故选：D【点睛】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与
7、双曲线的一条渐近线垂直于点，且，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用与双曲线的一条渐近线垂直于点可求出的坐标，再利用求出的坐标（用表示），将的坐标代入双曲线的方程后可求离心率.【详解】双曲线的渐近线为，取一条渐近线为，则直线，由得 ，故.因为，故，从而，所以 ，将的坐标代入双曲线的方程可以得到：，化简可得，所以，故选D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组12.若且，则恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D
8、. 【答案】D【解析】【分析】利用均值不等式得到，再解不等式得到答案.【详解】.当，时等号成立，故.，解得.故选：.【点睛】本题考查了均值不等式求最值，解不等式，意在考查学生的计算能力.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量，满足约束条件，则的最大值是_.【答案】9【解析】【分析】做出可行域，根据可行域的图像特征，即可求出线性目标函数的最大值.【详解】做出可行域如下图所示：当目标函数过点时，取最大值为.故答案为:9【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.14.已知二项式的展开式中各项系
9、数和为256，则展开式中的常数项为_. （用数字作答）【答案】28【解析】各项系数和为256，令得,即该二次展开式中的第项为=令=0，得，此时常数项为=28故答案为28.15.已知函数，对任意，且，都有，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式可知函数为偶函数.由不等式可知函数在为单调递增函数.即可根据函数单调性求得导函数,令导函数大于0.即可分离参数,构造函数,并利用导函数求得最值,进而求得的取值范围.【详解】函数,由解析式可知函数为偶函数由不等式可知函数在为单调递增函数所以当时,所以即令则令,解得 当时, ,则在时单调递减当时, ,则在时单调递增所以当时,取得最小值,即
10、所以同理可求得当时,综上可知,的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查了函数单调性与偶函数的综合应用,导数与单调性的关系,分离参数法与构造函数法求参数的取值范围,属于中档题.16.为椭圆上异于顶点的任意一点，过作直线、分别与圆相切于、两点，则直线与两坐标轴围成的三角形面积最小值为_.【答案】【解析】【分析】设为椭圆上的点，则，由基本不等式可得，再求出以OP为直径的圆的方程，和已知圆的方程作差求出两圆公共弦的方程，求出直线与坐标轴的交点，结合三角形面积公式即可得结果.【详解】设为椭圆上的点，则，即，当且仅当时等号成立，以OP为直径的圆的方程为，整理得：又圆-得，直线的方程为，取，得；取，得，直线与
11、两坐标轴围成的三角形面积，即三角形面积的最小值为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求法，两圆相交公共弦所在的直线方程，关键是求出过点与圆相切的两切线切点的直线AB的方程，是中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在平面四边形中，已知，（1）若，求的面积；（2）若，求的长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，求得,进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解，再在中，利用正弦定理和余弦定理，即可
12、求解.【详解】（1）中， 即 ,解得.所以.（2）因为,所以 ，, .在中，, . 所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度（单位：cm）经统计，高度均在区间20，50内，将其按20，25），25，30），30，35）
13、，35，40），40，45），45，50分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm的树苗为优质树苗（1）已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下22列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？（2）用样本估计总体的方式，从这批树苗中随机抽取4棵，期中优质树苗的棵数记为X，求X的分布列和数学期望甲地区乙地区合计优质树苗5非优质树苗25合计附：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.0250.0100.0050.001k05.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把
14、握认为优质树苗与地区有关；（2）分布列见解析，EX1【解析】【分析】(1)补全列联表再求解k2对比表中的数据判断即可.(2)易得从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为,再利用二项分布求解即可.【详解】（1）由题意知5a+0.042+0.07,解得a0.01样本中优质树苗的个数为100（0.04+0.01）525,所填表格为：甲地区乙地区合计优质树苗520 25非优质树苗 5025 75 合计55 45100k216.510.828,所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关（2）容量为100的样本中有25颗优质树苗,故可以认为从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为,所以XB（4,）,P（
15、Xk）,k0,1,2,3,4,所以X 的分布列为： X01 234 P EXnp41【点睛】本题主要考查了独立性检验与二项分布的问题.属于中等题型.19.如图，直三棱柱中，分别为、的中点.（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明（2）【解析】【分析】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线向量和平面法向量平行证明线面垂直；（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取中点，连接、，易证平面，再证明,可得平面（2）设，利用与平面所成的角为得到的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值
16、，得到二面角的余弦值.解法3：（1）同解法2（2）设，利用三棱锥等体积转化，得到到面的距离，利用与平面所成的角为得到与的关系，解出，在两个平面分别找出垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.【详解】解法1：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系设，则， ，因为，所以，面，面，于是平面（2）设平面的法向量，则，又，故，取，得因为与平面所成的角为，所以， ，解得，由（1）知平面的法向量， ，所以二面角的余弦值为解法2：（1）取中点，连接、, ， 平面，平面 ，而平面,平面, 平面为中点， ， ，四边形为平行四边形， 平面（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角
17、坐标系设，则，设平面的法向量，则，又，故，取，得因为与平面所成的角为，所以， ，解得，由（1）知平面的法向量，所以二面角的余弦值为解法3：（1）同解法2（2）设，则，,，到平面距离，设到面距离为，由得，即因为与平面所成的角为，所以，而在直角三角形中，所以，解得因为平面，平面,所以，平面，平面所以，所以平面，平面,平面所以为二面角的平面角，而,可得四边形是正方形，所以，所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明，利用几何关系构造方程求出边的大小，利用空间向量证明线面垂直，求二面角的大小，属于中档题.20.设是曲线上两点，两点的横坐标之和为4，直线的斜率为2.（1）求曲线的方程；（2）设是
18、曲线上一点，曲线在点处的切线与直线平行，且，试求三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意设出直线方程,并设.联立直线与抛物线方程,用韦达定理求得,即可得曲线的方程;（2）将曲线C的方程变形,求得导函数.根据题意可求得切点M的坐标.联立直线与抛物线,结合韦达定理可得.结合直线方程可表示出.利用平面向量数量积定义,表示出.根据即可得.所以可得直线方程.结合弦长公式即可求得,利用点到直线距离公式可得点到直线的距离,进而求得三角形的面积.【详解】（1）设直线方程为：则,则所以即曲线C的方程为；（2）设,曲线,变形可得,则曲线在点处的切线与直线平行可得：,所以,化简可得则,即直
19、线方程为：弦长,高为点到直线的距离,所以【点睛】本题考查了抛物线方程的几何性质,直线与抛物线的综合应用,平面向量数量积的定义,点到直线距离公式的应用,综合性较强,属于难题.21.已知函数（1）若，证明：（2）若函数在处有极大值，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，讨论单调性得最值，即可证明；（2）分析极大值点左右两侧导数值的符号，分类讨论即可得解.【详解】（1）若，由得，由由得，所以在单调递减，在单调递增，所以恒成立；（2），函数在处有极大值，即，在处左正右负，且在处连续，必存在，必有，记，若恒成立，则在定义域单调递增，不合题意，舍去；若，在上单调递增
20、，即，不合题意，舍去；当单调递增，必存在，使得当时，此时在单调递减，必有，即函数在递增，在递减，即函数在处有极大值，综上所述：【点睛】此题考查利用导函数证明不等式，通过导函数讨论单调性分析函数极值最值问题，涉及分类讨论，第二问若能利用极大值点二阶导性质分析，只需解一个不等式即可得解，可以减少计算量，但是需要再去证明.22.在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，.（1）当时，求直线与曲线的普通方程；（2）若，其中，求直线的倾斜角.【答案】(1) ；(2) 或【解析】【分析】（1）直接化曲线C的参数方程为普通方程，将代入l的参数方程，再化为普通方程. （2）将l的参数方程
21、代入C的普通方程，利用此时t的几何意义及根与系数的关系得|MA|MB|，,然后求得tan即可【详解】（1）当时直线的普通方程为：；曲线的普通方程为；（2）将直线代入得所以直线倾斜角为或【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时t的几何意义的应用，是中档题23.已知函数，.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.（2）设实数为（1）中的最大值，若实数、满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得出，利用绝对值三角不等式可得出，解出即可；（2）由题意得出，然后利用柯西不等式可求出的最小值.【详解】（1）因为对恒成立，则，由绝对值三角不等式可得，即，解得.故实数的取值范围是；（2）由题意，故，由柯西不等式知，所以，当且仅当时等号成立从而，最小值为，当且仅当，时等号成立.【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立问题，同时也考查了利用柯西不等式求最值，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
