1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第4节 随机事件的概率第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布最新考纲核心素养考情聚焦1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别2.了解两个互斥事件的概率加法公式1.随机事件的关系，达成数学建模和逻辑推理的素养2.随机事件的频率与概率增强数据分析和逻辑推理的素养3.互斥事件与对立事件的概率，提升逻辑推理和数学运算的素养 预计2020年的高考考查：1.独立、互斥与古典概型相结合涉及基本概率计算2.随机事件与频率分布直方图、茎叶图等知识的结合命题形式多样，以选择题、填空题为主，又有解答题的一部分，一般难度不大，属中低档题型
2、考查学生的分析、推理能力1频率与概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A出现的比例 fn(A)nAn 为事件 A 出现的频率(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A发生的 频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率2事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含 事件 A(或称事件 A 包含于事件B)BA(或 AB)相等关系若 BA 且 AB，那么称事
3、件 A与事件 B 相等 AB 并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 并事件(或和事件)AB(或 AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当 事件 A 发生 且 事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)AB(或 AB)互斥事件若 AB 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥AB对立事件若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件ABP(AB)13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率 P(E)1.(3)不可能事件的概率 P
4、(F)0.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B).若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)1P(B).1.对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A)2概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)“明天会下雨”是随机事件()(2)“物 体 在 只 受 重 力 的
5、作 用 下 会 自 由 下 落”是 必 然 事件()(3)“方程 x22x80 有两个实根”是不可能事件()(4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(5)两个事件的和事件是指两个事件都得发生()(6)对立事件一定是 互斥事件，互斥事 件不一定 是对立事件()(7)事件 A，B 同时发生的概率一定比 A，B 中恰有一个发生的概率小()答案：(1)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)小题查验1在下列事件中，随机事件是()A物体在只受重力作用下会自由下落B若 x 是实数，则|x|0C若 ab，则 ab0D函数 yax(a0，且 a1)是 R 上的增函数解析：D 选项 A 中的事件为必然事
6、件；选项 B 中的事件为不可能事件；选项 C 中的事件为不可能事件；选项 D 中的事件当 a1时，发生；0a1 时，不发生，为随机事件2(2019南京市模拟)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0 与 1，另一张的正反面分别写着数字 2 与 3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是()A.16 B.13 C.12 D.38解析：C 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有 12,13,20,21,30,31，共 6 个，两位数为奇数的有 13,21,31，共 3 个，故所组成的两位数为奇数的概率为3612.故选 C.3(2019全国卷)西游记三国演义水浒传和红楼
7、梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5 B0.6 C0.7 D0.8解析：C 本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化归思想解题由题意得，阅读过西游记的学生人数为 90806070，则其与该校学生人数之比为 701000.7.故选 C.4(人教 A 版教材练习改编)一个人打靶时连续射击两次，
8、事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶解析：D 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥故选 D.5某人进行打靶练习，共射击 10 次，其中有 2 次中 10 环，有3 次中 9 环，有 4 次中 8 环，有 1 次未中靶假设此人射击 1 次，则其中靶的概率约为 _；中 10 环的概率约为 _.解析：中靶的频数为 9，试验次数为 10，所以中靶的频率为 9100.9，所以此人射击 1 次，中靶的概率约为 0.9.同理得中 10 环的概率约为 0.2.答案：0.9 0.2考
9、点一 随机事件的关系(自主练透)1(2019湖北十市联考)从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“都是红球”C“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：D A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系故选 D.2设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，结论乙：“概率满足 P(A)P(B)1”，则甲是乙的()A充分不必要条
10、件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A 若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 AB 为必然事件，再由概率的加法公式得 P(A)P(B)1.设掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至少出现一次正面”，事件 B：“3 次出现正面”，则 P(A)78，P(B)18，满足 P(A)P(B)1，但 A，B 不是对立事件3在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是 310，那么概率是 710的事件是()A至多有一张移动卡B恰有一张移动卡C都不是移动卡D至少有一张移动卡解析：A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两
11、张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件，故选 A.事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系提醒：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件考点二 随机事件的频率与概率(师生共研)典例(2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数
12、的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求 P(A)的估计值；(2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”，求 P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值解析(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2，由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为6050200 0.55，故 P(A)的估计值为 0.55
13、.(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4，由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为3030200 0.3，故P(B)的估计值为 0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a 1.5a 1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，
14、通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率跟踪训练(2019绍兴市模拟)如图所示，A 地到火车站共有两条路径 L1 和L2，现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)1020 2030 3040 40505060选择 L1 的频率612181212选择 L2 的频率0416164(1)试估计 40 分钟不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间
15、段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解：(1)由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站有 121216444 人用频率估计相应的概率为 0.44.(2)选择 L1 的有 60 人，选择 L2 的有 40 人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)1020203030404050 5060选择 L1 的频率0.10.20.30.20.2选择 L2 的频率00.10.40.40.1(3)A1，A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时，在 40 分钟内赶到火
16、车站；B1，B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时，在 50 分钟内赶到火车站由(2)得 P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)，甲应选择 L1；P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，P(B2)P(B1)，乙应选择 L2.考点三 互斥事件与对立事件的概率(师生共研)数学建模、数学运算随机事件概率求解中的核心素养求随机事件的概率，要求认真审题，准确辨析事件是互斥的还是对立的，然后建立恰当的数学模型，套用互斥事件、对立事件的概率公式进行求解典例(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货
17、成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；
18、(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y大于零的概率解析(1)需求量不超过 300 瓶，即最高气温不高于 25，从表中可知有 54 天，所求概率为 P549035.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300，若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100，所以，Y 的所有可能值为 900,300，100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，
19、由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为362574900.8，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”跟踪训练1(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4 C0.6 D0.7解析：B 由题意 P10.450.150.4.故选 B.2由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345 人以上概率0.10.160.30.30.10.04则至多有 2 人排队的概率为 _.解析：记“没有人排队”为事件 A，“1 人排队”为事件 B，“2人排队”为事件 C，则事件 A，B，C 彼此互斥记“至多 2 人排队”为事件 E，则 P(E)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.答案：0.56
