1、命题角度5.3：直线与抛物线位置关系1.已知圆, 在抛物线上,圆过原点且与的准线相切.() 求的方程；() 点,点（与不重合）在直线上运动,过点作的两条切线,切点分别为, .求证： （其中为坐标原点）.【答案】（I）;() 见解析.【解析】试题分析：（I）原点在圆上，抛物线准线与圆相切，可得三者之间的关系，进而求出的方程；() 设， ， ，利用导数求得两切线方程，利用根与系数关系可证，即证两角相等解法二：因为圆的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，圆必过抛物线的焦点， 又圆过原点，所以， 又圆的半径为3，所以，又， 又，得，所以所以抛物线方程 解法三：因为圆与抛物线准线相切，所
2、以， 且圆过又圆过原点，故，可得， 解得，所以抛物线方程 () 解法一：设， ， ， 方程为，所以， 5分求得抛物线在点处的切线的斜率，所以切线方程为： ，即，化简得， 又因过点，故可得， ， 即，同理可得， 所以为方程的两根，所以， ，因为，所以， 化简 所以 解法二：依题意设点，设过点的切线为，所以，所以，所以，即，不妨设切线的斜率为，点， ，所以， ，又，所以，所以， 所以， ，即点，同理点，因为，所以，同理， 所以 ， 所以2.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设，是轨迹上的两点，且，记，求的最小值【答案】(1) ；(2) .试题解析: (1)设
3、，的中点，连，则：，.又,，整理得.(2)设，不失一般性，令，则，,解得直线的方程为：，,即，令得，即直线恒过定点，当时，轴，直线也经过点.由可得, .当且仅当，即时，.3. 过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .（1） 证明: 为定值;（2） 记的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.【解析】试题分析：()对 求导，得到直线的斜率为 ，进一步得到直线的方程为. 将点点代入直线方程，整理得. 同理, . 又, 所以为定值. ()由题意可得)直线的垂直平分线方程为. 同理直线的垂直平分线方程
4、为. 由解得点. 又 抛物线的焦点为 则由， 可得 所以以为直径的圆恒过点 同理, . 所以是方程的两个根.所以. 又, 所以为定值. 法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, 由消去得,由, 化简得. 所以. 由,得,所以.所以直线的斜率为,直线的斜率为. 所以, 即. 又, 所以为定值. 由解得, ,所以点. 抛物线的焦点为 则由于， 所以所以以为直径的圆恒过点 另法: 以为直径的圆的方程为 把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.所以以为直径的圆恒过点 法2：设点的坐标为，则的外接圆方程为，由于点在该圆上，则，.两式相减得, 由()知,代入上式得, 当时, 得, 假设以为直径的圆恒过点,则
5、即,得, 由解得, 所以点. 当时, 则,点.所以以为直径的圆恒过点点睛：本题考查抛物线的基本性质以及直线与抛物线的位置关系，属中档题.解释要注意灵活应用韦达定理以及向量有关知识4.已知过抛物线焦点且倾斜角的直线与抛物线交于点 的面积为（I）求抛物线的方程；（II）设是直线上的一个动点，过作抛物线的切线，切点分别为直线与直线轴的交点分别为点是以为圆心为半径的圆上任意两点，求最大时点的坐标【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）抛物线焦点为，写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后可得，其中，可再求出原点到直线的距离，由求得，也可由求得；试题解析：（I）依题意， ，所以直线的方程为；由得，
6、所以，到的距离，抛物线方程为（II）设，由得，则切线方程为即，同理，切线方程为，把代入可得故直线的方程为即由得，当与圆相切时角最大，此时，等号当时成立当时，所求的角最大综上，当最大时点的坐标为点睛：在解析几何中由于的边过定点，因此其面积可表示为，因此可易求，同样在解解析几何问题时如善于发现平面几何的性质可以帮助解题，第（II）小题中如能发现则知是圆的切线，因此取最大值时， 中一条与重合，另一条也是圆的切线，从而易得解另解：（I）依题意， ，所以直线的方程为；由得，抛物线方程为（II）设，由得，则切线方程为即，同理，切线方程为，把代入可得故直线的方程为即由得，注意到，当且仅当即时等号成立5.已知
7、抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.（1）若当点的横坐标为，且为等腰三角形，求的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）可直接依据等腰三角形的几何特征建立方程求解；（2）先依据题条件建立直线的截距式方程，借助直线与抛物线的方程之间的关系，运用坐标之间的联系建立目标函数，通过求函数的值域使得问题获解： 解：(1) 由题知，则的中点坐标为，则，解得，故的方程为.(2) 依题可设直线的方程为，则，由消去，得， ，设的坐标为，
8、则，由题知，所以，即，显然，所以，即证，由题知为等腰直角三角形，所以，即，也即，所以，即，又因为，所以，令，易知在上是减函数，所以.点睛：设置本题的目的旨在考查抛物线的标准方程与几何性质及直线与抛物线的位置关系等知识的综合运用。解答本题的第一问时，直接依据等腰三角形的几何特征建立方程，通过求解方程使得问题获解；求解第二问时，先依据题条件建立直线的截距式方程为，借助直线与抛物线的方程之间的关系，运用坐标之间的联系建立目标函数，通过求函数的值域使得问题获解。6.如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1： 的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2： 相切于点Q（）当直线MQ的方程为时，求抛物线C1的方
9、程；（）当正数p变化时，记S1 ，S2分别为FMQ，FOQ的面积，求的最小值【答案】（1）x2y（2）【解析】试题分析：（1）依据题设条件，借助导数的几何意义求出切点坐标及其斜率，建立方程组求解；（2）运用直线与圆相切的建立等量关系，通过解方程组求得点Q的坐标，进而求出S1 ，S2，建立目标函数，然后运用基本不等式求解：解：（）设点，由得， ，求导，而直线的斜率为1，所以且，解得所以抛物线标准方程为（）因为点M处的切线方程为： ，即，根据切线又与圆相切，得，即，化简得，由方程组，解得Q（，），所以|PQ|=|xP-xQ|=，点F（0，）到切线PQ的距离是d=，所以=，=，而由知，4p2=，得|
10、x0|2，所以=+32+3，当且仅当时取“=”号，即，此时，p=，所以的最小值为7.已知圆： 和抛物线： ， 为坐标原点（1）已知直线和圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程；（2）过抛物线上一点作两直线和圆相切，且分别交抛物线于两点，若直线的斜率为，求点的坐标【答案】（1）;（2）或试题解析：（1）解：设， ， ，由和圆相切，得由消去，并整理得， 由，得，即，或（舍）当时， ，故直线的方程为（2）设， ， ，则设，由直线和圆相切，得，即设，同理可得： 故是方程的两根，故由得，故同理，则，即，解或当时， ；当时， 故或8.已知抛物线上的点到点距离的最小值为. （1）求抛物线的方程；（2
11、）若，圆，过作圆的两条切线分别交轴两点，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）当且仅当时，取最小值8.【解析】试题分析：（1）利用两点间距离公式求最值即可；（2）由题意可知， ，所以直线的方程为，由直线与圆相切，得圆心到直线距离等于半径， ，整理得，同理得，得为方程的两根，利用根与系数关系求解即可. (2) 由题意可知， ，所以直线的方程为，即， ，整理得：，同理： ， 为方程的两根， ， ，当且仅当时，取最小值.9.已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上一点的横坐标为1，且到焦点的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）设是抛物线上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，
12、证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义求解即可；（2）设点，设直线的方程分别为与抛物线联立求交点，用坐标表示斜率，斜率表示正切研究即可.试题解析：（1）由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以.故抛物线的标准方程为. （2）设点，由题意得 (否则,不满足)，且，设直线的方程分别为，联立解得；联立，解得.则由两点式得直线的方程为.化简得.因为，且得,可得.将代人，化简得 ，即,令,得.所以直线恒过定点.10.平面直角坐标系中，动圆与圆外切，且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设过定点（为非零常数）
13、的动直线与曲线交于两点，问：在曲线上是否存在点（与两点相异），当直线的斜率存在时，直线的斜率之和为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用两圆位置关系建立方程求解；（2）依据题设条件借助直线的斜率公式及直线与抛物线的位置关系进行分析求解：（2）假设在曲线上存在点满足题设条件，不妨设，则，（*）显然动直线的斜率非零，故可设其方程为，联立，整理得，且，代入（*）式得，显然，于是（*），欲使（*）式对任意成立，显然，否则由可知，从而可得，这与为非零常数矛盾，于是，当时，不存在满足条件的，即不存在满足题设条件的点；当时， ，将此代入抛物线的方程可求得满足条件的点坐标为或下面说明此时直线的斜率必定存在，显然，且，直线的斜率必定存在，综上所述，存在点（与两点相异），其坐标为，或，使得直线的斜率之和为定值- 19 -
