1、1理解复数的有关概念，以及复数相等的充要条件2会进行复数的代数形式的四则运算3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义21()12000(0).0z=a+bi abiabba+bibaa+bi ba R复数的代数形式：，其中，为实部，为虚部复数的分类：实数 复数；虚数 纯虚数 虚数非纯虚数3_.4_.5()()_a+bi=c+dia+biz=a+bi abZ abR复数相等的充要条件：复数的模：复数的代数形式的几何意义复数，可用复平面内的点，以及表示，且三者之间为一一对应关系规定：相等的向量表示同一个复数 226_0.abcda+bic+dia+bic+diabiabi cdicd
2、icdcd R复数的代数形式的四则运算：若、，则：；其中、不同时为1212127_8()ZZzzZ ZO复平面内两点间的距离：复平面内两点、对应的复数分别为、，则，其中 为原点复数的加、减法的几何意义：复数的加、减运算满足向量加、减法的平行四边形法则 或三角形法则 2222222121()()()bc|acabbdZ abacbd iacbdbcadacbdadiicdcdOZOZzz；以原点为起点，点，为终点的向量；【指；要点南】1.如果用 C、R 和 I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中 C 为全集，则下列关系正确的是()ACRIBRI0CCRCIDRI【解析】由复数的分类可知应选
3、D.2.已知向量OA 对应的复数为 32i，OB 对应的复数为4i，则AB对应的复数为()A1iB73iC7iD1i【解析】由复数运算的几何意义，ABOB OA(4i)(32i)7i，故选 C.易错点：向量的运算出错 3.已知 i 是虚数单位，m 和 n 都是实数，且m(1i)1ni，则(mnimni)2013()A0B2C0 或 3D3【解析】由 m(1i)1ni 得 mn1，所以(mnimni)2013(1i1i)2013i2013i，故选 A.4.(2011江西卷)若(xi)iy2i，x，yR，则复数xyi 为()A2i B2iC12i D12i【解析】由题意 xii2y2i1xiy2i
4、，由复数相等得，x2，y1，故 xyi2i，故选 B.5.(2011安徽卷)设 i 是虚数单位，复数1ai2i 为纯虚数，则实数 a 为()A2B2C12 D.12【解析】因为1ai2i 1ai2i2i2i 2i2aiai252a12ai52a5 12a5i 为纯虚数，所以2a5 0 且12a50，所以 a2.易错点：纯虚数中一定要注意 b0.一 复数的概念及运算【例 1】已知复数 zlg(m22m2)(m23m2)i，当实数 m 为何值时，(1)z 为纯虚数；(2)z 为实数；(3)z 对应的点在复平面的第二象限【分析】依据复数分类的条件和代数形式的几何意义求解【解析】(1)当 m3 时，z
5、 为纯虚数z为纯虚数lgm22m20m23m20m3或m1m2且m1m3.(2)当 m2 或 m1 时，为实数z为实数m23m20m22m20m2或m1m1 3m2 或 m1.(3)当 m(1,3)时，z 对应的点在复平面的第二象限由lgm22m20，得m22m30，解得1m3m1，即1m3.【点评】复数为何属性的数的问题通常可转化为其实部、虚部应满足的条件，复数对应的点位于复平面的什么位置也取决于实部和虚部的取值复数的加减法的几何意义也可按向量加减法理解求解计算：(1)1i1i21i；(2)2 3i12 3i(21i)2.素材1【解析】(1)原式i(2i)2i22.(2)原式i12 3i12
6、 3i(21i)2i1ii(i)0.二 复数的代数运算及复数相等的充要条件【例 2】(1)(2011新课标卷)复数 5i12i()A2iB12iC2iD12i(2)(2011上海卷)已知复数 z1 满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，z1z2 是实数，求 z2.【解析】(1)5i12i5i12i12i12i5i10i214i2 5i1052i，故选 C.(2)因为(z12)(1i)1iz12i设 z2a2i，aR，则 z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i，因为 z1z2R，所以 z242i.【点评】(1)复数代数形式的运算类似于多项式的四则运算，令有
7、虚数 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，在代数运算时，记住以下结论：()(1i)22i；()1i1ii；()1i1ii；()baii(abi)等简化运算(2)两复数 abicdi(a、b、c、dR)acbd.(3)复数运算常采用待定系数法和分母实数化方法，应灵活应用z 的共轭复数为 z，若 z z4，z z8，求 zz 的值素材2【解析】设 zxyi(x、yR)，则 zxyi，所以 z z2x4，所以 x2，又 z zx2y28，所以 y2，所以 z22i，所以 zz z2z z 22i28或22i28，即 zz i 或i.三 复数加法运算的几何意义及应用【例 3】若复数 z
8、 满足|z2|z2|8，求|z2|的最大值和最小值【解析】在复平面内满足|z2|z2|8 的复数 z 对应的点的轨迹是以点(2,0)和(2,0)为焦点，8 为长轴长的椭圆|z2|表示椭圆上的点到焦点(2,0)的距离椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和最小值因此，当 z4 时，|z2|有最大值 6；当 z4 时，|z2|有最小值 2.【点评】此题若令 zxyi，问题的条件和结论都是较复杂的式子，不好处理从复数的加、减法的几何意义去理解，则是一道简单的几何问题 若复数 z 满足|z22i|1，求|z22i|的最小值素材3【解析】方法 1：一般地，满足|zz0|r 的复数 z对应的点的轨迹
9、是以 z0对应的点为圆心，r为半径的圆因为圆|z22i|1 的圆心为 C(2,2)，半径 r1，而|z22i|表示圆上的点到定点 A(2,2)的距离，故其最小值为|CA|r413.方法 2：因为|z22i|z22i4|z22i|4|3，故|z22i|min3.方法 3：设 zxyi(x，yR)，因此有|x2(y2)i|1，即(x2)2(y2)21.又|z22i|x22y22 x221x22 18x，而|x2|1y221，即3x1，所以当 x1 时，|z22i|取得最小值 3.备选例题在复数集 C 内解一元二次方程 x24x50.【解析】由于 b24ac162040，所以 x4 4i22i.【点评】实数集扩充为复数集后，解决了实系数一元二次方程在实数集中无解的问题，即在复数集中，实系数的一元二次方程总有解当 0 时，实系数的一元二次方程有成对共轭虚数根1设z=a+bi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法 2实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数3复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果
