1、2015-2016学年上海市复兴高中高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分1已知集合A=x|y=lgx，B=x|x22x30，则AB=2如果复数（1+i）（1+mi）是实数，则实数m=3方程log2（x1）=2log2（x+1）的解集为4已知圆锥的轴截面的母线与轴的夹角为，母线长为3，则过顶点的截面面积的最大值为5已知0yx，且tanxtany=2，则xy=6设等差数列an的前n项和为Sn，若S7=42，则a2+a3+a7=7圆C：（x2）2+y2=4，直线l1：y=x，l2：y=
2、kx1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则k的值为8设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，则该球的表面积为9已知f（x）=ln（x+a），若对任意的mR，均存在x00使得f（x0）=m，则实数a的取值范围是10若直线y=k（x+1）（k0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是11在极坐标系中，直线sin=3被圆=4sin截得的弦长为12一射手对靶射击，直到第一次中靶为止他每次射击中靶的概率是 0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目的数学期望E=13已知AB
3、C，若存在A1B1C1，满足，则称A1B1C1是ABC的一个“友好”三角形在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（请写出符合要求的条件的序号）A=90，B=60，C=30；A=75，B=60，C=45； A=75，B=75，C=3014如图，在ABC中，ACB=90，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15已知数列an中，若利用下面程序框图计算该数
4、列的第2016项，则判断框内的条件是（）An2014Bn2016Cn2015Dn201716在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2Ccos2C=，则下列各式正确的是（）Aa+b=2cBa+b2cCa+b2cDa+b2c17已知集合M=（x，y）|x2+y21，若实数，满足：对任意的（x，y）M，都有（x，y）M，则称（，）是集合M的“和谐实数对”则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（）A（，）|+=4B（，）|2+2=4C（，）|24=4D（，）|22=418已知正方体ABCDABCD，记过点A与三条直线AB，AD，AA所成角都相等的直线条数为m，过点A与三个平面AB
5、，AC，AD所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是（）Am=1，n=1Bm=4，n=1Cm=3，n=4Dm=4，n=4三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2（1）求四棱锥BAEFC的体积；（2）求BEF所在半平面与ABC所在半平面所成二面角的余弦值20如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护
6、区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m2a万元，其中a，r，m为常数，设POA=，总造价为y万元（1）把y表示成的函数y=f（），并求出定义域；（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？21已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A、B，坐标原点到直线AB的距离为，且（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M、N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP（图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l的方程22对于函数f（x），若在定义域内存在实数
7、x，满足f（x）=f（x），则称f（x）为“局部奇函数”（）已知二次函数f（x）=ax2+2x4a（aR），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（）若f（x）=2x+m是定义在区间1，1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（）若f（x）=4xm2x+1+m23为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围23已知等比数列an的首项a1=2015，数列an前n项和记为Sn，前n项积记为Tn（1）若，求等比数列an的公比q；（2）在（1）的条件下，判断|Tn|与|Tn+1|的大小；并求n为何值时，Tn取得最大值；（3）在（1）的条件下，证明：若数列an中的任意相邻三项按从小到大排
8、列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为d1，d2，dn，则数列dn为等比数列2015-2016学年上海市复兴高中高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分1已知集合A=x|y=lgx，B=x|x22x30，则AB=（0，3）【考点】交集及其运算【分析】分别求出集合A，B，从而求出其交集即可【解答】解：集合A=x|y=lgx=x|x0|，B=x|x22x30=x|1x3，则AB=（0，3），故答案为：（0，3）2如果复数（1+i）（
9、1+mi）是实数，则实数m=1【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义【分析】先化简复数，然后令其虚部为0【解答】解：（1+i）（1+mi）=m+1+（m+1）i该复数为实数，m+1=0，解得m=1，故答案为：13方程log2（x1）=2log2（x+1）的解集为【考点】对数的运算性质【分析】利用对数的性质及运算法则直接求解【解答】解：log2（x1）=2log2（x+1），log2（x1）=，解得x=方程log2（x1）=2log2（x+1）的解集为故答案为：4已知圆锥的轴截面的母线与轴的夹角为，母线长为3，则过顶点的截面面积的最大值为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】直
10、接利用截面面积公式，通过母线夹角的范围，求出过顶点的截面面积的最大值即可【解答】解：由题意S=，为圆锥母线与母线的夹角，l为圆锥母线长，由题意0，S=当且仅当时，面积取得最大值故答案为：5已知0yx，且tanxtany=2，则xy=【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（xy）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知xy的值【解答】解：由题意可得tanxtany=2，解得cosxcosy=，故cos（xy）=cosxcosy+sinxsiny=故xy=2k，kZ，又0yx，所以0xy所以xy=故答案为：6设等差数列an的前n项和为Sn，若
11、S7=42，则a2+a3+a7=18【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列通项公式和前n英和公式求出a1+3d=6，由此能求出a2+a3+a7的值【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，S7=42，=42，解得a1+a7=12，2a1+6d=2（a1+3d）=12，即a1+3d=6，a2+a3+a7=a1+d+a1+2d+a1+6d=3（a1+3d）=36=18故答案为：187圆C：（x2）2+y2=4，直线l1：y=x，l2：y=kx1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则k的值为【考点】直线与圆的位置关系【分析】由条件利用直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公
12、式，求得k的值【解答】解：圆C：（x2）2+y2=4的圆心为（2，0），半径为2，圆心到直线l1：y=x的距离为，l1被圆C所截得的弦的长度为2，圆心到l2的距离为，l2被圆C所截得的弦的长度为2，结合l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，可得2=22，求得k=，故答案为8设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，则该球的表面积为8【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积【解答】解：设三棱柱AB
13、CABC的上、下底面的中心分别为O、O，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO中点O1，OA=AB=1，OO1=AA=1O1A=因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4R2=8故答案为：89已知f（x）=ln（x+a），若对任意的mR，均存在x00使得f（x0）=m，则实数a的取值范围是4，+）【考点】对数函数的图象与性质【分析】令t=x+a，求出t的范围，于是函数y=lnt，根据对数函数的性质，求出a的范围即可【解答】解：令t=x+a，易知t4a，+）于是函数y=lnt，t4a，显然当4a0时便有t0恒成立，即a4，故答案为：4，+）10若直线y=k（x+1）（k0）与
14、抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是【考点】抛物线的简单性质【分析】直线y=k（x+1）（k0）恒过定点P（1，0），由此推导出|OA|=|BF|，由此能求出点A的坐标，从而能求出k的值【解答】解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=1直线y=k（x+1）（k0）恒过定点P（1，0），过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|BN|=2|AM|，则|BF|=2|AF|，点A为BP的中点连接OA，则|OA|=|BF|，|OA|=|AF|，点A的横坐标为，点A的坐标为（，），把（，）代入直线l：y=k（x+1）（k0
15、），解得k=故答案为：11在极坐标系中，直线sin=3被圆=4sin截得的弦长为【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程、再利用点到直线的距离公式、弦长公式即可得出【解答】解：直线sin=3即y=3=4sin化为2=4sin，x2+y2=4y，化为x2+（y2）2=4可得圆心C（0，2），半径r=2圆心到直线的距离d=1，直线sin=3被圆=4sin截得的弦长=2=2故答案为：212一射手对靶射击，直到第一次中靶为止他每次射击中靶的概率是 0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目的数学期望E=1.89【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】的可能取值是0，1，2，
16、结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率做出变量对应的概率，根据期望值公式做出期望【解答】解：由题意知的可能取值是0，1，2，P（=0）=0.10.1=0.01P（=1）=0.10.9=0.09P（=2）=0.9，E=10.09+20.9=1.89故答案为1.8913已知ABC，若存在A1B1C1，满足，则称A1B1C1是ABC的一个“友好”三角形在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（请写出符合要求的条件的序号）A=90，B=60，C=30；A=75，B=60，C=45； A=75，B=75，C=30【考点】正弦定理【分析】满足，则有A1=A，B1=B，C1=C逐一验证选项
17、即可【解答】解：满足，则有A1=A，B1=B，C1=C对于，cosA=cos90=0，显然不成立对于，可取满足题意对于，经验证不满足故答案为：14如图，在ABC中，ACB=90，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是1+【考点】两点间距离公式的应用【分析】RtAOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OBOD+BD=1+，即O、D、B三点共线时OB取得最大值【解答】解：作AC的中点D，连接OD、BD，OBOD+BD，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，BD=，OD=AD=AC=
18、1，点B到原点O的最大距离为1+故答案是：1+二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15已知数列an中，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）An2014Bn2016Cn2015Dn2017【考点】程序框图【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，A=，n=1+1=2，第2次循环，A=，n=
19、2+1=3，当执行第2016项时，n=2017，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出A的值所以，判断框内的条件应为：n2016故选：B16在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2Ccos2C=，则下列各式正确的是（）Aa+b=2cBa+b2cCa+b2cDa+b2c【考点】二倍角的余弦【分析】由已知及二倍角公式化简可得cos2C=，解得C=由余弦定理可得c2=b2+a2ab，可求c2ab，又c2+3ab=（b+a）2，推出 （b+a）24c2，即可解得2cb+a【解答】解：sin2Ccos2C=，cos2C=，解得：C=c2=b2+a22abcosC，即 c2=
20、b2+a2ab，c2ab=b2+a22ab=（ba）20，即c2ab，又c2=b2+a2+2ab3ab=（b+a）23ab，即 c2+3ab=（b+a）2，因为 c2ab，推出 （b+a）24c2，可得：2cb+a，故选：B17已知集合M=（x，y）|x2+y21，若实数，满足：对任意的（x，y）M，都有（x，y）M，则称（，）是集合M的“和谐实数对”则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（）A（，）|+=4B（，）|2+2=4C（，）|24=4D（，）|22=4【考点】曲线与方程【分析】由题意，2x2+2y22+21，问题转化为2+21与选项有交点，代入验证，可得结论【解答】解：由题意，2x2
21、+2y22+21，问题转化为2+21与选项有交点，代入验证，可得C符合故选：C18已知正方体ABCDABCD，记过点A与三条直线AB，AD，AA所成角都相等的直线条数为m，过点A与三个平面AB，AC，AD所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是（）Am=1，n=1Bm=4，n=1Cm=3，n=4Dm=4，n=4【考点】直线与平面所成的角【分析】由已知条件结合正方体的结构特征求解【解答】解：正方体ABCDABCD，过点A与三条直线AB，AD，AA所成角都相等的直线有：AC，过A作BD的平行线，过A作AC的平行线、过A作BD的平行线，共4条，故m=4；过点A与三个平面AB，AC，AD所成角
22、都相等的直线分两类：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等，有3条，合计4条，故n=4故选：D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2（1）求四棱锥BAEFC的体积；（2）求BEF所在半平面与ABC所在半平面所成二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）由已知条件可判出AB面AA1C1C，求出直角梯形AEFC的
23、面积，则四棱锥BAEFC的体积可求；（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC与平面BEF的法向量，利用平面法向量所成角的余弦值得BEF所在半平面与ABC所在半平面所成二面角的余弦值【解答】解：（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以A1A底面ABC，所以A1AAB，又ABAC，ACA1A=A，所以AB面AA1C1C，则AB为四棱锥BAEFC的高在直角梯形AEFC中，因为AE=2，AC=2，CF=4，所以所以VBAEFC=（2）以A为坐标原点，分别以AC，AB，AA1所在直线为x，y，z建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），F（
24、2，0，4），设平面BEF的法向量为，则，则，取z=1，得x=1，y=1所以平面ABC的一个法向量为，则所以BEF所在半平面与ABC所在半平面所成二面角的余弦值为20如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m2a万元，其中a，r，m为常数，设POA=，总造价为y万元（1）把y表示成的函数y=f（），并求出定义域；（2）当时，如何
25、确定A点的位置才能使得总造价最低？【考点】函数的定义域及其求法；基本不等式【分析】（1）由题意可得AB=rtan，可得，由正切函数的定义域可得可得函数的定义域为：；（2）由（1）可得，可化为y=，由基本不等式可得2m，由取等号的条件可得答案【解答】解：（1）BC与圆O相切于A，OABC，在OAB中，AB=rtan，同理，可得，可得函数的定义域为：（2）由（1）可得=，tan10，2m，当且仅当，即tan=时取等号，又，所以tan=，=60故当取60，即A点在O东偏南60的方向上，总造价最低 21已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A、B，坐标原点到直线AB的距离为，且（1）求椭圆C的方程；（2）过椭
26、圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M、N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP（图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）设出直线AB的方程为bx+ayab=0，利用坐标原点到直线AB的距离，以及，可得椭圆的方程（2）求出椭圆的左焦点，设直线，点M（x1，y1）、N（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用点P（x1+x2，y1+y2）在椭圆上，求出m，可得直线l的方程【解答】解：（1）设直线AB的方程为bx+ayab=0，坐标原点到直线AB的距离为，又，解得，故椭圆的方程为（2）由（1）可求得椭圆的左焦点为，易知
27、直线l的斜率不为0，故可设直线，点M（x1，y1）、N（x2，y2），因为四边形MONP为平行四边形，所以，联立，因为点P（x1+x2，y1+y2）在椭圆上，所以，那么直线l的方程为22对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（x）=f（x），则称f（x）为“局部奇函数”（）已知二次函数f（x）=ax2+2x4a（aR），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（）若f（x）=2x+m是定义在区间1，1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（）若f（x）=4xm2x+1+m23为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围【考点】函数奇偶性的性质【分析】利用局部奇函数的定义
28、，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可【解答】解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（x）=f（x）有解（）当f（x）=ax2+2x4a（aR），时，方程f（x）=f（x）即2a（x24）=0，有解x=2，所以f（x）为“局部奇函数” （）当f（x）=2x+m时，f（x）=f（x）可化为2x+2x+2m=0，因为f（x）的定义域为1，1，所以方程2x+2x+2m=0在1，1上有解令，则设g（t）=t+，则g（t）=1，当t（0，1）时，g（t）0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t（1，+）时，g（t）0，故g（t）在（1，+）上为增函数 所以t时，g（t）所以，即 （）当f（
29、x）=4xm2x+1+m23时，f（x）=f（x）可化为4x+4x2m（2x+2x）+2m26=0t=2x+2x2，则4x+4x=t22，从而t22mt+2m28=0在2，+）有解即可保证f（x）为“局部奇函数”令F（t）=t22mt+2m28，1 当F（2）0，t22mt+2m28=0在2，+）有解，由当F（2）0，即2m24m40，解得1； 2 当F（2）0时，t22mt+2m28=0在2，+）有解等价于解得 （说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为 23已知等比数列an的首项a1=2015，数列an前n项和记为Sn，前n项积记为Tn（1）若，求等比数列an的公比
30、q；（2）在（1）的条件下，判断|Tn|与|Tn+1|的大小；并求n为何值时，Tn取得最大值；（3）在（1）的条件下，证明：若数列an中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为d1，d2，dn，则数列dn为等比数列【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q；（2）求出|Tn+1|与|Tn|的商，讨论当n10时，当n11时，课比较大小；由T100，T110，T90，T120，即可得到n为何值时，Tn取得最大值；（3）由等比数列an的通项公式，讨论当k是奇数时，设an中的任意相邻三项按从小到大排
31、列为ak+1，ak+2，ak，当k是偶数时，设an中的任意相邻三项按从小到大排列为ak，ak+2，ak+1，计算化简即可得到它们成等差数列，求得公差，再由等比数列的定义，即可得证【解答】解：（1）等比数列an的首项a1=2015，公比为q，有，即，解得；（2）又，当n10时，|Tn+1|Tn|；当n11时，|Tn+1|Tn|当n=11时，|Tn|取得最大值，又T100，T110，T90，T120，Tn的最大值是T9和T12中的较大者，又，T12T9因此当n=12时，Tn最大（3）证明：，|an|随n增大而减小，an奇数项均正，偶数项均负，当k是奇数时，设an中的任意相邻三项按从小到大排列为ak+1，ak+2，ak，则，ak+1+ak=2ak+2，因此ak+1，ak+2，ak成等差数列，公差；当k是偶数时，设an中的任意相邻三项按从小到大排列为ak，ak+2，ak+1，则，ak+1+ak=2ak+2，因此ak，ak+2，ak+1成等差数列，公差，综上可知，an中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且，数列dn为首项为a1，公比为的等比数列2017年4月26日
