1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)基础初探教材整理1平面向量的正交分解及坐标表示阅读教材P94P95内容，完成下列问题.1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得axiy
2、j，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量的坐标表示.显然，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若(2，1)，则点A的坐标为(2，1).()(2)若点A的坐标为(2，1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，1).()(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的.()【解析】(1)正确.对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同.(2)错误.以A为终点的向量有无数个，它们不一定全相等.(3)正确.由平面向量坐标的概念可知.【答案】(1)(2)(3)教材整
3、理2平面向量的坐标运算阅读教材P96“思考”以下至P97例4以上内容，完成下列问题.1.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.3.若a(x，y)，R，则a(x，y)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.向量坐标的几何意义：图2313在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则(x，y)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1).如图2313所示.1.已知a(2,
4、1)，b(3，2)，则3a2b的坐标是()A.(0，7)B.(0,7)C.(1,3) D.(12，1)【解析】3a2b3(2,1)2(3，2)(6,3)(6，4)(0,7).【答案】B2.已知A(3,1)，B(2，1)，则的坐标是()A.(2，1) B.(2,1)C.(1,2) D.(1，2)【解析】(3,1)(2，1)(1,2).【答案】C小组合作型平面向量的坐标表示(1)已知(1,3)，且点A(2,5)，则点B的坐标为()A.(1,8) B.(1,8)C.(3,2) D.(3,2)(2)如图2314，在正方形ABCD中，O为中心，且(1，1)，则_；_；_.图2314图2315(3)如图2
5、315，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角，求点B和点D的坐标和与的坐标.【精彩点拨】【自主解答】(1)设B的坐标为(x，y)，(x，y)(2,5)(x2，y5)(1,3)，所以解得所以点B的坐标为(1,8).(2)如题干图，(1，1)(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，1)，所以(1，1)，同理(1,1).【答案】(1)B(2)(1，1)(1,1)(1,1)(3)由题意知B, D分别是30，120角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义，得x1cos 30，y1sin 30，所以B.x2cos 120，y2si
6、n 120，所以D.所以，.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.再练一题1.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，的坐标. 【导学号：00680048】【解】如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60，2sin 60)，C(1，)，D，(2,0)，(1，)，(12，0)(1，)，.平面向量的
7、坐标运算(1)设(2,3)，(m，n)，(1,4)，则等于()A.(1m,7n)B.(1m，7n)C.(1m,7n)D.(1m ，7n)(2)已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B.C. D.(8,1)(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，4)，(0,6)，(8,10)，求2，的坐标.【精彩点拨】(1)可利用向量加法的三角形法则将分解为来求解.(2)可借助来求坐标.(3)可利用(xBxA，yByA)来求解.【自主解答】(1)(1,4)(m，n)(2,3)(1m，7n).(2)A()(8,1)，.【答案】(1)B(2)A(3)(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2
8、,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(18,18)，(8,4)(10,14)(8,4)(5,7)(3，3).再练一题2.已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.【解】(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7).(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1).(3)ab(1,2)(2,1).探究共研型向量坐标运算的综合应用探究1已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及t.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？【提示】t(1,2)t(3,3)(13t,23t).若点P在x轴上，则
9、23t0，t.若点P在y轴上，则13t0，t.若点P在第二象限，则t.探究2对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.【提示】(1,2)，(33t,33t).若四边形OABP为平行四边形，则，该方程组无解.故四边形不能成为平行四边形.已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10).若AAA(R)，试求为何值时，(1)点P在一、三象限角平分线上；(2)点P在第三象限内. 【导学号：70512032】【精彩点拨】解答本题可先用表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.【自主解答】设点P的坐标为(x，y)，则A(x，y)(2,3)(x2，y
10、3)，AA(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17).AAA，则(1)若P在一、三象限角平分线上，则5547，时，点P在一、三象限角平分线上.(2)若P在第三象限内，则1.当1时，点P在第三象限内.1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.再练一题3.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2316所示，若cab(，R)，则_.
11、图2316【解析】以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3).由cab，即(1，3)(1,1)(6,2)，得61，23，故2，则4.【答案】41.已知(4,8)，(7，2)，则3()A.(9,18)B.(9，18)C.(33，30) D.(33,30)【解析】33()3(7，2)(4,8)(33，30).【答案】C2.若a(2,1)，b(1,0)，则3a2b的坐标是()A.(5,3) B.(4,3)C.(8,3) D.(0，1)【解析】3a2b3(2,1)2(1,0)(8,3)
12、.【答案】C3.若向量(1,2)，(3,4)，则等于()A.(4,6) B.(4，6)C.(2，2) D.(2,2)【解析】由(1,2)(3,4)(4,6).故选A.【答案】A4.已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_. 【导学号：00680049】【解析】(3，4)，则与同方向的单位向量为(3，4).【答案】5.已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，3，2，求的坐标.【解】因为A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，所以(23,44)(1,8)，(33，14)(6,3)，所以3(3,24)，2(12,6).设M(x，y)，则(x3，y4)，即解得所以M(0,20)，同理可得N(9,2)，所以(90,220)(9，18).
