1、第八章圆锥曲线方程综合能力测试本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()AB4C4D.答案：A命题意图：主要考查双曲线的标准形式及相关的概念，考查学生转化及计算的能力解析：双曲线方程化为标准形式：y21则有：a21，b2，2a2,2b2，222，m.总结评述：双曲线作为圆锥曲线的一种，其几何性质常作为高考命题的热点问题，但难度一般不大，掌握其实轴、虚轴、焦距之间的
2、关系和准线、渐近线方程是解决双曲线问题的突破口2下列双曲线中，以yx为渐近线的是()A.1 B.1C.y21 Dx21答案：A解析：由yx得0，因此以0为渐近线的双曲线为m(m0)当m4时，方程为1，故选A.3抛物线y24x，经过点P(3，m)，则点P到抛物线焦点的距离等于()A. B4 C. D3答案：B解析：y24x的准线方程为x1，则点P到它的距离为314，故选B.4(2009石家庄市高中毕业班复习教学质量检测)从抛物线y24x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|5，则MPF的面积为()A5 B. C20 D10答案：D解析：由题意，设P(，y0)，则|PF|
3、PM|15，所以y04，SMPF|PM|y0|10.5(2009郑州二模)设向量i、j为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a(x1)iyj，b(x1)iyj，且|a|b|1，则满足上述条件的点P(x，y)的轨迹方程是()A.1(y0) B.1(x0)C.1(y0) D.1(x0)答案：B解析：a(x1)iyj，b(x1)iyj，|a|b|1，满足上述条件的点P(x，y)的轨迹是以(1,0)和(1,0)为焦点的双曲线的右支，方程是1(x0)，故选B.6(2009全国，8)双曲线1的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r()A. B2 C3 D6答案：A解析：双曲线的渐近线方
4、程为yx，即xy0，圆心(3,0)到直线的距离d，r.故选A.7经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A、B两点设O为坐标原点，则等于()A3 B C或3 D答案：B解析：由y21，得a22，b21，c2a2b21，焦点为(1,0)直线l不妨过右焦点，倾斜角为45，直线l的方程为yx1.代入y21得x22(x1)220，即3x24x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x20，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)11，x1x2y1y20.8(2009浙江，9)过双曲线1(a0，b0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分
5、别为B、C.若，则双曲线的离心率是 ()A. B. C. D.答案：C解析：直线l：yxa与渐近线l1：bxay0交于B(，)，l与渐近线l2：bxay0交于C(，)，A(a,0)，(，)，(，)，b2a，c2a24a2，e25，e，故选C.9(2009广州调研)已知抛物线C的方程为x2y，过点A(0，1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A(，1)(1，) B(，)(，)C(，2)(2，) D(，)(，)答案：D解析：如图，设过A的直线方程为ykx1，与抛物线方程联立得x2kx0，k220，k2，求得过A的抛物线的切线与y3的交点为(，3)，则当过点A(0，
6、1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是(，)(，)，故选D.10(2010辽宁育才中学模拟)已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 B2 C2 D4答案：C解析：设椭圆长轴长为2a(且a2)，则椭圆方程为1.由，得(4a212)y28(a24)y(16a2)(a24)0.直线与椭圆只有一个交点，0，即192(a24)216(a23)(16a2)(a24)0.解得a0(舍去)，a2(舍去)，a.长轴长2a2.11已知点F1(，0)、F2(，0)，动点P满足|PF2|PF1|2，当点P的纵坐标是时，点P到
7、坐标原点的距离是()A. B. C. D2答案：A解析：由已知得a1，c，b1，点P的轨迹为双曲线x2y21，将y代入，得x2，|OP|.故选A.12已知点P是抛物线y24x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x2y100的距离为d2，则d1d2的最小值是()A5B4C.D.答案：C解析：如下图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x2y100的垂线，此时d1d2最小，F(1,0)，则d1d2，选C.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)13(2009宁夏、海南，13)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点
8、为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为_答案：yx解析：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，1，抛物线方程为y24x.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y24，y4x1，y4x2，得yy4(x1x2)，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，1，直线l的斜率为1，且过点(2,2)，直线方程为y2x2，即yx.14若抛物线y22px的焦点与双曲线y21的右焦点重合，则实数p_.答案：p4解析：抛物线的焦点F为(，0)，双曲线y21的右焦点F2(2,0)，由已知得2，p4.15下图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m
9、，水面宽4m.水位下降1m后，水面宽为_答案：2m解析：如图建立直角坐标系，将A(2，2)代入x2my，得m2x22y，代入B(x0，3)得x0故水面宽为2m.16(2010黄冈高三2月份调研)已知抛物线y22px(p0)，过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，则我们知道为定值，请写出关于椭圆的类似的结论：_，当椭圆方程为1时，_.答案：过椭圆的焦点F的动直线交椭圆于A、B两点，则为定值解析：已知椭圆1(ab0)，过焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，则为定值当椭圆方程为1时，.总结评述：可以先猜测在抛物线中成立的命题在椭圆里面也成立再计算在这个具体的椭圆里面，所求的定值对于解析中关于椭圆的
10、一个恒等式：“”是一个经常用到的式子，在以后的学习过程中希望大家多总结三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17(本小题满分10分)已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，其右焦点到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)直线yx1与椭圆交于P、N两点，求|PN|.解析：(1)由题意设椭圆方程为1(ab0)b1，又设右焦点F为(c,0)，则3，解得c，a.椭圆方程为y21.(2)设直线与椭圆的交点为P(x1，y1)、N(x2，y2)，则解方程组得解直线与椭圆的交点为P(0,1)，N(，0)|PN|2.18(本小题满分12分)已知抛物线
11、y22x，定点A的坐标为(，0)(1)求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)设B(a,0)，求抛物线上的点到点B的距离的最小值d.解析：(1)设P(x，y)为抛物线上任一点，|PA|22y222x2，x0，)，x0时，|PA|min，此时P(0,0)(2)|PB|2(xa)2y2(xa)22xx(a1)22a1(x0)当a10，即a1时，在xa1时，|PB|2a1；当a10，即a1时，在x0时，|PB|a2，故d19(本小题满分12分)已知双曲线1的离心率e1，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|
12、的等比中项？解析：设在左支上存在P点，使|PF1|2|PF2|d，由双曲线的第二定义知e，即|PF2|e|PF1|再由双曲线的第一定义，得|PF2|PF1|2a.由，解得|PF1|，|PF2|，|PF1|PF2|F1F2|，2c. 利用e，由得e22e10，解得1e1.e1，1e1与已知e1矛盾在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项20(2009武汉市高三年级2月调研考试)(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：xy0与椭圆交于A、B两点，|AB|2，且AOB.(1)求椭圆的方程；(2)若M、N是椭圆上的两点，且满足0，求|MN
13、|的最小值解析：(1)依题意，设直线l：xy与椭圆：1交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AOB，知x1x2y1y20，而x1(1y1)，x2(1y2)，代入上式得到：4y1y23(y1y2)30由|AB|2知：2|y1y2|2，即|y1y2|1，不妨设y1y2，则y2y11，将式代入式求得：或，A(，)，B(，)或A(，0)，B(0,1)，又A(，)，B(，)不合题意，舍去A(，0)，B(0,1)，故所求椭圆的方程为y21.(2)由题意知M、N是椭圆y21上的两点，且OMON，故设M(r1cos，r1sin)，N(r2sin，r2cos)，于是r(sin2)1，r(cos2)1，又(r
14、r)()24，从而|MN|24，即|MN|，故所求|MN|的最小值为.21(2009石家庄市高中毕业班复习数学质量检测)(本小题满分12分)已知椭圆1(a)的离心率为，双曲线C与该椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点(0，)为圆心，1为半径的圆相切(1)求双曲线C的方程；(2)设直线ymx1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过点M(2,0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围解析：(1)设双曲线C的焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，c0.由已知，得a2，c，设双曲线C的渐近线方程为ykx，依题意，1，解得k1.双曲线C的两条渐近线方程为yx.故双曲线C的实半轴长与虚半
15、轴长相等，设为a1，则2ac22，得a1.双曲线C的方程为x2y21.(2)由得(1m2)x22mx20，直线与双曲线C的左支交于A、B两点，解得1m.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2m(x1x2)2，由中点坐标公式得AB的中点为(，)，直线l的方程为x(2m2m2)y2，令x0，得(2m2m2)b2，m(1，)，b的值存在，2m2m20，b而2(m)2(2，0)(0,1)，故b的取值范围是(，2)(2，)22(2010唐山市高三摸底考试)(本小题满分12分)已知直线kxy10与双曲线y21相交于两个不同的点A、B.(1)求k的取值范围；(2)若x轴上的点M(3,0)到A、B两点的距离相等，求k的值解析：(1)由得(12k2)x24kx40.解得：1k1且k.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2设P为AB中点，则P(，1)，即P(，)，M(3,0)到A、B两点的距离相等，MPAB，KMPKAB1，即k1，解得k，或k1(舍去)k.
