1、1理解向量的有关概念，平面向量基本定理以及平面向量的坐标概念 2掌握向量的几何表示、实数与向量的积的概念及运算，掌握平面向量的坐标运算 3理解平面向量共线的充要条件，会判断向量是否共线、垂直 1.向量的有关概念既有又有的量叫做向量.的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的.的向量叫做单位向量.方向的向量叫做平行向量(或共线向量).且的向量叫做相等向量.且的向量叫做相反向量.2.向量的表示方法用小写字母表示，用有向线段表示，用坐标表示.3.向量的运算加法、减法运算法则：平行四边形法则、三角形法则.实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|=
2、;(2)当0时,a的方向与a的方向；当|AB|，又因为|AD|BC|，所以四边形 ABCD 是等腰梯形 5.下列命题中正确的是 .若 ab0，则 0；若 ab0，则 ab；若 ab，则 a 在 b 上的投影为|a|；若 ab，则 ab(ab)2.【解析】根据平面向量基本定理，必须在 a，b 不共线的情况下，若 ab0，则 0；命题显然错误；若 ab，则 a 在 b 上的投影为|a|或|a|，两向量平行时分两向量所成的角为 0和 180两种情况；abab0，(ab)20.一 平面向量的基本概念【例 1】判断下列各题是否正确：(1)向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；(2
3、)四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是ABDC；(3)已知，R，则()a 与 a 共线；(4)已知 A、B、C 是不共线的三点，O 是ABC 内的一点，若OA OB OC 0，则 O 是ABC 的重心【解析】(1)若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确 长度相等的向量如图所示，以 OB、OC 为相邻的两边作平行四边形BOCD，则OD OB OC，所以OD OA，在平行四边形 BOCD 中，设 BC 与 OD 相交于 E，BEEC，则OE ED.所以 AE 是ABC 的边 BC 的中线，且|OA|2|OE|.所以 O 是ABC 的重心，故正确 【点评】(1)AB|AB|表示与AB同方
4、向的单位向量(2)向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用 已知下列命题：若 kR，且 kb0，则 k0 或 b0；若 ab0，则 a0 或 b0；若不平行的两个非零向量 a，b，满足|a|b|，则(ab)(ab)0；若a 与 b 平行，则 ab|a|b|，其中真命题的个数是 2.素材1【解析】是正确的；仅得 ab，故不正确；(ab)(ab)a2b2|a|2|b|20，是正确的；两向量平行 时 分 两 向 量 的 夹 角 为 0 和 180 两 种 情 况，ab|a|b|cos|a|b|，故是错误的二 向量的线性运算【例 2】如图所示，在ABC 中，D、E 分别
5、是 AB、AC 边的中点，M、N 分别是 DE、BC 的中点，已知BCa，BD b，试用 a、b 分别表示DE、CE和MN.【点评】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些基本定理，活用闭合向量和为零向量；因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知量转化为与已知向量有直接关系的向量求解 已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，P 为一动点，及OP OA tAB.(1)t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形
6、 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由素材2【解析】(1)设 P(x，y)，则(x，y)(3t1,3t2)，t23时，P 在 x 轴上；t13时，P 在 y 轴上当 P 在第二象限时，由3t10，解得23t13.(2)若四边形 OABP 为平行四边形，则OP AB(3,3)，又OP OA tAB，即(3,3)(3t1,3t2)，所以3t23t1，矛盾所以四边形 OABP 不能构成平行四边形 三共线向量基本定理及应用【例 3】(1)设两个非零向量 a 与 b 不共线，若ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，求证：A、B、D 三点共线 (2)(2011北京
7、卷)已知向量 a(3，1)，b(0，1)，c(k，3)，若 a2b 与 c 共线，则 k_.【解析】(1)因为ABab，BC2a8b，CD 3(ab)，所以BD BCCD 2a8b3(ab)5(ab)5AB，所以AB，BD 共线，又因为它们有公共点 B，所以 A、B、D 三点共线(2)因为 a2b(3，3)，c(k，3)，又因为 a2b 与c 共线，方法 1：所以 3 33k0k1.方法 2：所以 a2bc 3k3 3 k1 3.【点评】(1)当 b0 时，abab(R)；或者 a(x1，y1)，b(x2，y2)，若 abx1y2x2y10.(2)证明三点共线问题，可用向量共线解决：当两向量共
8、线且有公共点时，才能得出三点共线 已知 a(1,0)，b(2,1)，(1)求|a3b|；(2)当 k 为何实数时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？素材3【解析】(1)因为 a(1,0)，b(2,1)，所以 a3b(7,3)，则|a3b|7232 58.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，因为 kab 与 a3b 平行，所以 3(k2)70，即得 k13，此时 kab(k2，1)(73，1)，a3b(7,3)，则 a3b3(kab)，即此时向量 a3b 与 kab 方向相反 备选例题已知向量 a、b 不共线，ckab(kR)，dab，如果 cd，那么()Ak1 且 c
9、 与 d 同向Bk1 且 c 与 d 反向Ck1 且 c 与 d 同向Dk1 且 c 与 d 反向【解析】取 a(1,0)，b(0,1)若 k1，则 cab(1,1)，dab(1，1)，显然，a 与 b 不平行，排除 A、B.若 k1，则 cab(1,1)，dab(1,1)，即 cd 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D.1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理,平面向量实数对(x,y),任何一个平面向量都有惟一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定惟一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系.即向量(x,y)OA点A(x,y).向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.一一对应一一对应一一对应2.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法.3.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标.本讲易忽略点有二:一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标;二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.
