1、章末综合测评(二)点、直线、平面之间的位置关系(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是()A相交B异面C平行D异面或相交【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交，但不可能平行【答案】D2下列说法不正确的是()A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】A、B、C显然正确易知
2、过一条直线有无数个平面与已知平面垂直选D.【答案】D3如图1，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定()图1A在直线DB上B在直线AB上C在直线CB上D都不对【解析】EF与GH相交，设EFGHM，MEF，MGH.又EF面ABD，GH面BCD，M面ABD，M面BCD，又面ABD面BCDBD，MBD，故选A.【答案】A4设a、b为两条直线，、为两个平面，则正确的命题是() 【导学号：09960089】A若a、b与所成的角相等，则abB若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，b，则ab【解析】A中，a、b可以平行、相交或异面；B中，a、b可以平行或异面；C中，、可以平行或相交【答案】
3、D5如图2，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图2A45B60C90D120【解析】如图，连接A1B、BC1、A1C1，则A1BBC1A1C1，且EFA1B、GHBC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60.【答案】B6设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l【解析】选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得，故选项C错误；选项D，l与的位置不
4、确定，故选项D错误故选B.【答案】B7如图3所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()图3AACBBDCA1DDA1D1【解析】CE平面ACC1A1，而BDAC，BDAA1，BD平面ACC1A1，BDCE.【答案】B8正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为()A30B45C60D90【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为2，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan (设为所求平面角)，所以二面角为
5、60，选C.【答案】C9将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则AMD的大小是()A45B30C60D90【解析】如图，设正方形边长为a，作AOBD，则AMa，又ADa，DM，AD2DM2AM2，AMD90.【答案】D10在矩形ABCD中，若AB3，BC4，PA平面AC，且PA1，则点P到对角线BD的距离为()A. B.C. D.【解析】如图，过点A作AEBD于点E，连接PE.PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，BD平面PAE，BDPE.AE，PA1，PE.【答案】B11已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的
6、中心，则PA与平面ABC所成角的大小为() 【导学号：09960090】A75B60C45D30【解析】如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为ABC的中心，由题意知：PO平面ABC，连接OA，则PAO即为PA与平面ABC所成的角在正三角形ABC中，ABBCAC，则S()2，VABCA1B1C1SPO，PO.又AO1，tan PAO，PAO60.【答案】B12正方体ABCDA1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是()A点H是A1BD的垂心BAH平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成的角为45【解析】因为AH平面A1BD，BD
7、平面A1BD，所以BDAH.又BDAA1，且AHAA1A.所以BD平面AA1H.又A1H平面AA1H.所以A1HBD，同理可证BHA1D，所以点H是A1BD的垂心，A正确因为平面A1BD平面CB1D1，所以AH平面CB1D1，B正确易证AC1平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合故C正确因为AA1BB1，所以A1AH为直线AH和BB1所成的角因为AA1H45，所以A1AH45，故D错误【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13设平面平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面，之间，AS8，BS
8、6，CS12，则SD_.【解析】由面面平行的性质得ACBD，解得SD9.【答案】914如图4，四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：_时，SC平面EBD.图4【解析】当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.四边形ABCD是平行四边形，点O是AC的中点又E是SA的中点，OE是SAC的中位线OESC.SC平面EBD，OE平面EBD，SC平面EBD.【答案】E是SA的中点15如图5所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN等于_. 【导学号：97602018】图5
9、【解析】B1C1平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，B1C1MN，又B1MN为直角，B1MMN，而B1MB1C1B1.MN平面MB1C1，又MC1平面MB1C1，MNMC1，C1MN90.【答案】9016已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则棱AB与PD所在直线垂直；平面PBC与平面ABCD垂直；PCD的面积大于PAB的面积；直线AE与直线BF是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)【解析】由条件可得AB平面PAD，ABPD，故正确；若平面PBC平面ABCD，由PBBC，得PB平面ABCD，从而PAPB，这是不可能的，
10、故错；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD，PDPA知正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE与BF共面，错【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图6所示，已知ABC中，ACB90，SA平面ABC，ADSC，求证：AD平面SBC.图6【证明】ACB90，BCAC.又SA平面ABC，SABC，SAACA，BC平面SAC，BCAD.又SCAD，SCBCC，AD平面SBC.18(本小题满分12分)如图7，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AC9，BC12，AB15，AA
11、112，点D是AB的中点图7(1)求证：ACB1C；(2)求证：AC1平面CDB1.【证明】(1)C1C平面ABC，C1CAC.AC9，BC12，AB15，AC2BC2AB2，ACBC.又BCC1CC，AC平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，ACB1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，O，D分别为BC1，AB的中点，ODAC1.又OD平面CDB1，AC1平面CDB1.AC1平面CDB1.19(本小题满分12分)某几何体的三视图如图8所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，证明：PD平面AGC；证明：面
12、PBD平面AGC.图8【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OGPD.连接PO，由三视图知，PO平面ABCD，所以AOPO.又AOBO，所以AO平面PBD.因为AO平面AGC，所以平面PBD平面AGC.20(本小题满分12分)如图9，在正三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点图9求证：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.【证明】(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F1，
13、C1FBFF，平面AB1F1平面C1BF.(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，B1F1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.21(本小题满分12分)如图10，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.图10(1)求证：DC平面PAC.(2)求证：平面PAB平面PAC.(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由【证明】(1)因为PC平面ABCD，所以PCDC.又因为DCAC，且PCACC，所以DC平
14、面PAC.(2)因为ABDC，DCAC，所以ABAC.因为PC平面ABCD，所以PCAB.又因为PCACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EFPA.又因为PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.22(本小题满分12分)如图11，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置图11(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积【解】(1)证明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.由此得EFHD，故EFHD，所以ACHD.(2)由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4.所以OH1，DHDH3.于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由得EF.五边形ABCFE的面积S683.所以五棱锥DABCFE的体积V2.
