1、高考资源网（） 您身边的高考专家第4节直线、平面平行的判定与性质考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a，b，aba定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a，a，bab2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的
2、定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a，b，abP，a，b性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面，aa如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，bab常用结论与微点提醒1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若，则.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab.2.三种平行关系的转化线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指
3、导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a，P，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内
4、的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修2P61A组T1(2)改编)下列说法中，与“直线a平面”等价的是()A.直线a上有无数个点不在平面内B.直线a与平面内的所有直线平行C.直线a与平面内无数条直线不相交D.直线a与平面内的任意一条直线都不相交解析因为a平面，所以直线a与平面无交点，因此a和平面内的任意一条直线都不相交，故选D.答案D3.(新教材必修第二册P142T2改编)平面平面的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a，aB.存在一条直线a，a，aC.存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD.存在两条异面直线a，b，a
5、，b，a，b解析若l，al，a，a，a，a，故排除A；若l，a，al，则a，故排除B；若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C；故选D.答案D4.(2020洛阳尖子生联考)设l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且l，m，下列结论正确的是()A.若，则l B.若lm，则C.若，则l D.若lm，则解析对于A，l，只有加上l垂直于与的交线，才有l，所以A错误；对于B，若lm，l，m，则与可能平行，也可能相交但不垂直，所以B错误；对于C，若，l，由面面平行的性质可知，l，所以C正确；对于D，若lm，l，m，则与可能平行，也可能相交，所以D错误.答案C5.(2019成都月考)若平面平面，直线
6、a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一与a平行的直线解析当直线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.答案A6.(2019衡水中学开学考试)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_.解析平面ABFE平面DCGH，又平面EFGH平面ABFEEF，平面EFGH平面DCGHHG，EFHG.同理EHFG，四边形EFGH是平行四边形.答案平行四边形考点一与线、面平行相关命题的判定【例1】 (1)(2019长沙模拟)设a，b，c表示不同直线，表示不
7、同平面，给出下列命题：若ac，bc，则ab；若ab，b，则a；若a，b，则ab.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2020江西红色七校联考)设m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若mn，n，则mB.若m，n，则mnC.若，m，则mD.若m，n，m，n，则解析(1)对于，根据线线平行的传递性可知是真命题；对于，由ab，b，可以推出a或a，故是假命题；对于，根据a，b，可以推出a与b平行、相交或异面，故是假命题.故选B.(2)若mn，n，则m或m，所以选项A不正确；若m，n，则mn或m与n异面，所以选项B不正确；若m，n，m，n，则或
8、与相交，所以选项D不正确.故选C.答案(1)B(2)C规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【训练1】 (1)(2019全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一平面(2)在正方体ABCDA1B1C1D
9、1中，下列结论正确的是_(填序号).AD1BC1；平面AB1D1平面BDC1；AD1DC1；AD1平面BDC1.解析(1)若，则内有无数条直线与平行，当无数条直线互相平行时，与可能相交；若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交；若，垂直于同一个平面，则与可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是的充要条件.(2)如图，因为AB綉C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形.故AD1BC1，从而正确；易证BDB1D1，AB1DC1，又AB1B1D1B1，BDDC1D，
10、故平面AB1D1平面BDC1，从而正确；由图易知AD1与DC1异面，故错误；因为AD1BC1，AD1平面BDC1，BC1平面BDC1，所以AD1平面BDC1，故正确.答案(1)B(2)考点二直线与平面平行的判定与性质多维探究角度1直线与平面平行的判定【例21】 (2020沈阳一模)将正方形BCED沿对角线CD折叠，使平面ECD平面BCD.若AB平面BCD，AB2，BC2.(1)求证：AB平面ECD；(2)求三棱锥EACD的体积.(1)证明取CD的中点M，连接EM，BM.因为CEED，所以EMCD.因为平面ECD平面BCD，且平面ECD平面BCDCD，EM平面ECD，所以EM平面BCD.因为AB
11、平面BCD，所以ABEM.又EM平面ECD，AB平面ECD，所以AB平面ECD.(2)解因为原四边形BCED为正方形，M为CD的中点，所以BMCD.又因为平面ECD平面BCD，且平面ECD平面BCDCD，BM平面BCD，所以BM平面ECD.因为ECD为等腰三角形，BC2，所以SECD222.由题意，易得BM，所以VBECDBMSECD2.由(1)可知，点A到平面ECD的距离等于点B到平面ECD的距离，所以VEACDVAECDVBECD.角度2直线与平面平行性质定理的应用【例22】 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1
12、D交于FG.证明：FG平面AA1B1B.证明在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，BB1平面BB1D，CC1平面BB1D，所以CC1平面BB1D.又CC1平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1FG.因为BB1CC1，所以BB1FG.而BB1平面AA1B1B，FG平面AA1B1B，所以FG平面AA1B1B.规律方法1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”
13、；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【训练2】 (2019太原一模)如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是BC，DE的中点，ABE是等边三角形，平面ABE平面BCE，BECE，BECE2.(1)求证：CN平面AEM；(2)求三棱锥NAEM的体积.(1)证明如图，设AE的中点为F，连接MF，NF.又N是DE的中点，FNAD，FNAD.四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC.M是BC的中点，FNMC，FNMCBC，四边形MCNF是平行四边形，CNMF.又MF平面AEM，CN平面AEM，CN平面AEM.(2)解如图，过点A作AOBE，O为垂足，连接AC.平面AB
14、E平面BCE，平面ABE平面BCEBE，AO平面BCE.ABE是等边三角形，EB2，AO.BECE，BECE2，M为BC的中点，SMCE221.由(1)得CN平面AEM，V三棱锥NAEMV三棱锥CAEMV三棱锥ACEMSMCEAO1.考点三面面平行的判定与性质典例迁移【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.(
15、2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，A1G綉EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【迁移1】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD，D为BC的中点，A1BDM
16、.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1，又由三棱柱的性质及D，D1分别为BC，B1C1的中点知，D1C1綉BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，因此平面A1BD1平面AC1D.【迁移2】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D平面AB1D1”，试求的值.解连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC
17、1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，所以BC1D1O，则1.又由题设，1，即1.规律方法1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.【训练3】 已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，AD2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点.求证：平面BEF平面AD1C1.证明取AD的中点G，连接BG，F
18、G.因为E，F分别为CC1，DD1的中点，所以C1D1綉CD綉EF，因为C1D1平面AD1C1，EF平面AD1C1，所以EF平面AD1C1.因为ADBC，AD2BC，所以GD綉BC，即四边形BCDG是平行四边形，所以BG綉CD，所以BG綉EF，即四边形EFGB是平行四边形，所以BEFG.因为F，G分别是DD1，AD的中点，所以FGAD1，所以BEAD1.因为AD1平面AD1C1，BE平面AD1C1，所以BE平面AD1C1.又BE平面BEF，FE平面BEF，BEEFE，所以平面BEF平面AD1C1.A级基础巩固一、选择题1.已知，表示两个不同的平面，直线m是内一条直线，则“”是“m”的()A.充
19、分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由，m，可得m；反过来，由m，m，不能推出.综上，“”是“m”的充分不必要条件.答案A2.(2020湘中名校联考)已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若m，n，则mnB.若m，m，则C.若，则D.若m，n，则mn解析A中，两直线可能平行、相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.答案D3.(2019蚌埠二模)已知平面，两两垂直，直线a，b，c满足a，b，c，则直线a，b，c的位置关系不可能是()A.两两平行 B.
20、两两垂直C.两两相交 D.两两异面解析假设a，b，c三条直线两两平行，如图所示，设l，ab，a，b，a.又知a，l，al，又知，l，l，又知ab，al，a，又知c，ac，所以假设不成立.故三条直线a，b，c不可能两两平行，因此选A.答案A4.(2020衡水模拟)已知m，n为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是()A.mn，m，n B.mn，m，nC.mn，m，n D.mn，m，n解析对于A，两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，这两个平面可能平行，也可能相交，因此A中条件不是的充分条件；对于B，因为mn，m，所以n，结合n，知，因此B中条件是的充分条件；对于C，由
21、mn，m知n，或n，或n与相交，结合n，知，可能平行，也可能相交，所以C中条件不是的充分条件；对于D，由mn，m知n，或n，结合n，知，所以D中条件不是的充分条件.综上可知，选B.答案B5.(2019长春模拟)若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面平行的棱有()A.0条 B.1条C.2条 D.1条或2条解析如图所示，平面即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EFGH.EF平面BCD，GH平面BCD，EF平面BCD.又EF平面ACD，平面BCD平面ACDCD，EFCD.又EF平面EFGH，CD平面EFGH.CD平面EFGH，同理，AB平面EFGH，所以与平面(平面EFG
22、H)平行的棱有2条.答案C二、填空题6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则EF_.解析根据题意，因为EF平面AB1C，EF平面ACD，平面ACD平面AB1CAC，所以EFAC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点.因为在RtDEF中，DEDF1，故EF.答案7.设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.，n；m，n；n，m.可以填入的条件有_(填序号).解析由面面平行的性质定理可知，正确；当m，n时，n和m可能平行或异面，错误；当n，m时，
23、n和m在同一平面内，且没有公共点，所以mn，正确.答案或8.(2019郑州调研)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若m，n，mn，则.其中是真命题的是_(填上正确命题的序号).解析mn或m，n异面，故错误；易知正确；m或m，故错误；或与相交，故错误.答案三、解答题9.(2020武汉模拟)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB平面ABCD，E是棱PA的中点.(1)求证：PC平面BDE；(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比.(1)证明在平行四边形ABCD中，连接AC，设AC，BD的
24、交点为O，则O是AC的中点.又E是PA的中点，连接EO，则EO是PAC的中位线，所以PCEO，又EO平面EBD，PC平面EBD，所以PC平面EBD.(2)解设三棱锥EABD的体积为V1，高为h，四棱锥PABCD的体积为V，则三棱锥EABD的体积V1SABDh，因为E是PA的中点，所以四棱锥PABCD的高为2h，所以四棱锥PABCD的体积VS四边形ABCD2h4SABDh4V1，所以(VV1)V131，所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为31或13.10.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG
25、.证明(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又MN平面MNG，BD平面MNG，所以BD平面MNG，又DE，BD平面BDE，DEBDD，所以平面BDE平面MNG.B级能力提升11.(2019福州质检)已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是()A.若c平面，则aB.若c平面，则
26、a，bC.存在平面，使得c，a，bD.存在平面，使得c，a，b解析对于A，满足c平面，且c与异面直线a，b均垂直，则a可能在内，也可能与斜交，故A错误；对于B，满足c平面时，直线a与直线b可能其中一条在平面内，故B错误；对于C，若b，则内一定存在一条直线b，使得bb，又知a，且a与b为两条异面直线，所以a与b一定相交，又知cb，bb，所以cb，又知ca，a与b相交，所以c，故C正确；对于D，如果a，b，则ab，这与条件中a，b是两条异面直线相矛盾，故D错误，因此选C.答案C12.(2019吉安一模)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线
27、BD的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为()A. B. C. D.解析如图1，分别取B1C1，C1D1的中点E，F，连接EF，BE，DF，B1D1，ME，易知EFB1D1BD，ABME，ABEM，所以四边形ABEM为平行四边形，则AMBE，又BD和BE为平面BDFE内的两条相交直线.图1图2所以平面AMN平面BDFE，即平面BDFE为平面，BD，EFB1D1，得四边形BDFE为等腰梯形，DFBE，在等腰梯形BDFE如图2中，过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，其高FG，故所得截面的面积为.答案B13.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD
28、1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_时，有平面D1BQ平面PAO.解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QBPA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1BPO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，PO平面PAO，PA平面PAO，所以D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，所以平面D1BQ平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ平面PAO.答案Q为CC1的中点14.(2020重庆调研)已知空间几何体ABCDE中，BCD与CDE均是边长为2的等边三角形，ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD.(1)
29、试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥EABC的体积.解(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，AHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AH平面ABC，AH平面BCD，同理可证EN平面BCD，ENAH，EN平面ABC，AH平面ABC，EN平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，MNBC，MN平面ABC，BC平面ABC，MN平面ABC.又MNENN，MN平面EMN，EN平面EM
30、N，平面EMN平面ABC，又EF平面EMN，EF平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NGDH，由(1)可知EN平面ABC，点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又BCD是边长为2的等边三角形，DHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，DH平面BCD，DH平面ABC，NG平面ABC，易知DH，NG，又SABCBCAH22，VEABCSABCNG.C级创新猜想15.(开放题)如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况).解析连接HN，FH，FN，则FHD1D，HNBD，FHHNH，D1DBDD，平面FNH平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FNH，MN平面B1BDD1.答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)- 21 - 版权所有高考资源网
