1、基础诊断考点突破课堂总结第8讲 函数与方程基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.函数的零点与方程根的联系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断，B级要求；2.二分法求相应方程的近似解，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与有交点函数yf(x)有f(x)0 x轴零点基础诊断考点突破课堂总结(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数yf(x)在区间内有
2、零点，即存在c(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)0的根.f(a)f(b)0)的图象与零点的关系012零点个数无交点(x1,0)(x1,0)，(x2,0)与x轴的交点二次函数yax2bxc(a0)的图象0基础诊断考点突破课堂总结3.二分法(1)定义：对于在区间a，b上连续不断且的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法f(a)f(b)0 一分为二零点基础诊断考点突破课堂总结(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；
3、计算f(c)；()若f(c)0，则c就是函数的零点；()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()基础诊断考点突破课堂总
4、结2(2014北京卷改编)已知函数 f(x)6xlog2x.在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是_(填序号)(0,1)；(1,2)；(2,4)；(4，)解析 由题意知，函数 f(x)在(0，)上为减函数，又 f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)64log24322120，由零点存在性定理，可知函数 f(x)在区间(2,4)上必存在零点答案 基础诊断考点突破课堂总结3(2014湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断，由下表知方程f(x)g(x)有实数解的区间是_.解析 记h(x)f(x)g(x)，依题意，注意到h(0)0，h(1)0，因此函
5、数h(x)的零点属于(0,1)，即方程f(x)g(x)有实数解的区间是(0,1)答案(0,1)x10123f(x)0.6773.0115.4325.9807.651g(x)0.5303.4514.8905.2416.892基础诊断考点突破课堂总结4下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是_(填序号)答案 基础诊断考点突破课堂总结5(2014福建卷)函数 f(x)x22，x0，2x6ln x，x0 的零点个数是_解析 当x0时，由x220得x(正根舍去)；当x0时，f(x)2x6ln x在(0，)上为增函数，且f(2)ln 220，f(3)ln 30，所以f(x)在(0，)
6、上有且只有一个零点，综上可知f(x)的零点个数为2.答案 2基础诊断考点突破课堂总结考点一 函数零点的判断与求解 【例1】(1)(2014苏、锡、常、镇模拟)设f(x)exx4，则函数f(x)在区间(1,2)内的零点有_个(2)(2014湖北卷改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)f(x)exx4，f(x)ex10，函数 f(x)在 R上单调递增，f(1)e14e30，f(2)e224e220，f(1)f(2)0.故 f(x)在区间(1,2)内有唯一零点(2)当 x0 时，f(x)x23x
7、，令 g(x)x23xx30，得 x13，x21.当 x0 时，x0，f(x)(x)23(x)，f(x)x23x，f(x)x23x.令 g(x)x23xx30，得 x32 7，x42 70(舍)，函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合是2 7，1,3答案(1)1(2)2 7，1,3基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)的根，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x
8、)g(x)的根基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2015莱芜一模)已知函数 f(x)2x1，x1，1log2x，x1，则函数 f(x)的零点为_解析 当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1log2x0，解得 x12，又因为 x1，所以此时方程无解综上，函数 f(x)的零点只有 0.答案 0 基础诊断考点突破课堂总结考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值 【例 2】已知函数 f(x)x22exm1，g(x)xe2x(x0)(1)若 yg(x)m 有零点，求 m 的取值范围；(2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根解(1)法
9、一 g(x)xe2x2 e22e，等号成立的条件是 xe，故 g(x)的值域是2e，)，因而只需 m2e，则 yg(x)m就有零点基础诊断考点突破课堂总结法二 作出 g(x)xe2x(x0)的大致图象如图 1.可知若使 yg(x)m 有零点，则只需 m2e.图 1基础诊断考点突破课堂总结(2)若 g(x)f(x)0 有两个相异实根，即 yg(x)与 yf(x)的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出 g(x)xe2x(x0)与 f(x)x22exm1 的大致图象如图 2.图 2基础诊断考点突破课堂总结f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2
10、.故当m1e22e，即me22e1时，yg(x)与yf(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根 m的取值范围是(e22e1，)基础诊断考点突破课堂总结规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是_(2)(2014太原模拟)已知函数 f(x)|2x1|，x2，3x1，x2，若方程
11、f(x)a0 有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)因为函数 f(x)2x2xa 在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即 a(a3)0.所以 0a3.基础诊断考点突破课堂总结(2)画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1.答案(1)(0,3)(2)(0,1)基础诊断考点突破课堂总结考点三 与二次函数有关的零点问题【例3】是否存在这样的实数a，使函数
12、f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解 令 f(x)0，则(3a2)24(a1)9a216a89a892890 恒成立，即 f(x)0 有两个不相等的实数根，若实数 a 满足条件，则只需 f(1)f(3)0 即可基础诊断考点突破课堂总结若实数 a 满足条件，则只需 f(1)f(3)0 即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a15或 a1.检验：(1)当 f(1)0 时，a1，所以 f(x)x2x.令 f(x)0，即 x2x0，得 x0 或 x1.方程在1,3上有两个实数根，不合
13、题意，故 a1.基础诊断考点突破课堂总结(2)当 f(3)0 时，a15，此时 f(x)x2135 x65.令 f(x)0，即 x2135 x650，解得 x25或 x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故 a15.综上所述，a 的取值范围是，15(1，)基础诊断考点突破课堂总结规律方法 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组基础诊断考点突破课堂总结【训练3】已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解 法一 设方程x2(a21)
14、x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.基础诊断考点突破课堂总结法二 函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，2a1.故实数a的取值范围是(2,1)基础诊断考点突破课堂总结思想方法1判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题基础诊断考点突破课堂总结易错防范1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象
