1、第4讲导数的热点问题(2016课标全国乙)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1x20,则当x(,1)时,f(x)0,所以f(x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增.又f(1)e,f(2)a,取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0,故f(x)存在两个零点.设a0,因此f(x)在(1,)上单调递增.又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.若a1,故当x(1,ln(2a)时,f(x)0,因此f(x)在(1,ln(2a)上单调递减,在(ln(2a),)上单调递增.又当x1时,f(x)0,所以f
2、(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,).(2)证明不妨设x1x2,由(1)知,x1(,1),x2(1,),2x2(,1),f(x)在(,1)上单调递减,所以x1x2f(2x2),即f(2x2)1时,g(x)1时,g(x)0,从而g(x2)f(2x2)0,故x1x20(0xg(0)0,x(0,1),即当x(0,1)时,f(x)2.(3)解由(2)知,当k2时,f(x)k对x(0,1)恒成立.当k2时,令h(x)f(x)k,则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x 时,h(x)0,因此h(x)在区间上单调递减.故当0x 时,h(x)h(0)0,即f(x)2时,f(x)k并非对x(0,
3、1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性:若f(x)在a,b上是增函数,则xa,b,则f(a)f(x)f(b),对x1,x2a,b,且x1x2,则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则对xD,则f(x)M(或f(x)m).(3)证明f(x)g(x),可构造函数F(x)f(x)g(x),证明F(x)0).(1)当x0时,求证:f(x)1a;(2)在区间(1,e)上f(x)x恒成立,求实数a的取值范围.(1)证明设(x)f(x)1aaln xa(x0),则(x).令(x)0,则x1
4、,当0x1时,(x)1时,(x)0,所以(x)在(1,)上单调递增,故(x)在x1处取到极小值也是最小值,故(x)(1)0,即f(x)1a.(2)解由f(x)x得aln x1x,即a.令g(x)(1xe),则g(x).令h(x)ln x(1x0,故h(x)在区间(1,e)上单调递增,所以h(x)h(1)0.因为h(x)0,所以g(x)0,即g(x)在区间(1,e)上单调递增,则g(x)g(e)e1,即0),则f(x)(x0),当x(0,e)时,f(x)0,f(x)在(e,)上单调递增,当xe时,f(x)取得极小值f(e)ln e2,f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0),令
5、g(x)0,得mx3x(x0).设(x)x3x(x0),则(x)x21(x1)(x1),当x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,)时,(x)时,函数g(x)无零点;当m时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m时,函数g(x)无零点;当m或m0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m时,函数g(x)有两个零点.思维升华(1)函数yf(x)k的零点问题,可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题.(2)研究函数yf(x)的值域,不仅要看最值,而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.跟踪演练2已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时,求f(x)的图象在x1
6、处的切线方程;(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点,求实数m的取值范围.解(1)当a2时,f(x)2ln xx22x,f(x)2x2,切点坐标为(1,1),切线的斜率kf(1)2,则切线方程为y12(x1),即2xy10.(2)g(x)2ln xx2m,则g(x)2x.因为x,所以当g(x)0时,x1.当x0;当1xe时,g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2,g(e)m2e2,g(e)g4e20,则g(e)g,所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得10,又由h0可得r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,5)时,V
7、(r)0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r5处取得最大值,此时h8.即当r5,h8时,该蓄水池的体积最大.思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模:分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x).(2)求导:求函数的导数f(x),解方程f(x)0.(3)求最值:比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)作答:回归实际问题作答.跟踪演练3(2016江苏省苏北三市高三模拟)经市场调查,某商品每吨的价格为x(1x0);月需求量为y2万吨,y2x2x1. 当该商品的需
8、求量大于供给量时,销售量等于供给量;当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求量,该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1)若a,问商品的价格为多少时,该商品的月销售额最大?(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格,若该商品的均衡价格不低于每吨6百元,求实数a 的取值范围.解(1) 若a,由y2y1,得x2x1x()2.解得40x6.因为1x14,所以1x6.设该商品的月销售额为g(x),则g(x)当1x6时,g(x)(x)xg(6).当6x0,得x0,所以f(x)在区间(1,14)上是增函数,若该商品的均衡价格不低于6百元,即函数f(x)在区间6,14)上有零点,所以即解得00
9、.当2a10,即a时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增;当02a11,即a1,即a0时,函数f(x)在(1,2a1)上单调递减,在(0,1),(2a1,)上单调递增.(3)根据(2)知,当a时,函数f(x)在1,2上单调递减.若x1x2,则不等式|f(x1)f(x2)|对任意正实数恒成立,此时(0,).若x1x2,不妨设1x1f(x2),原不等式即f(x1)f(x2),即f(x1)f(x2)对任意的a,x1,x21,2恒成立,设g(x)f(x),则对任意的a,x1,x21,2,不等式g(x1)g(x2)恒成立,即函数g(x)在1,2上为增函数,故g(x)0对任意的a,x
10、1,2恒成立.g(x)x(2a2)0,即x3(2a2)x2(2a1)x0,即(2x2x2)ax32x2x0对任意的a恒成立.由于x1,2,2x2x20,故只要(2x2x2)x32x2x0,即x37x26x0对任意的x1,2恒成立.令h(x)x37x26x,x1,2,则h(x)3x214x60恒成立,故函数h(x)在区间1,2上是减函数,所以h(x)minh(2)8,只要80即可,即8,故实数的取值范围是8,).A组专题通关1.函数f(x)的定义域为R,f(1)3,对任意xR,f(x)3x6的解集为_.答案(,1)解析设g(x)f(x)(3x6),则g(x)f(x)30的解集是x|x0,b0,e
11、是自然对数的底数,若ea2aeb3b,则a与b的大小关系为_.答案ab解析由ea2aeb3b,有ea3aeb3b,令函数f(x)ex3x,则f(x)在(0,)上单调递增,因为f(a)f(b),所以ab.3.若不等式2xln xx2ax3恒成立,则实数a的取值范围为_.答案(,4解析条件可转化为a2ln xx(x0)恒成立.设f(x)2ln xx,则f(x)(x0).当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以f(x)minf(1)4.所以a4.4.如果函数f(x)ax2bxcln x(a,b,c为常数,a0)在区间(0,1)和(2,)上均单调递增,在(1,2)上单调递减,则函数f(
12、x)的零点个数为_.答案1解析由题意可得f(x)2axb,则解得所以f(x)a(x26x4ln x),则极大值f(1)5a0,极小值f(2)a(4ln 28)0,结合函数图象(图略)可得该函数只有一个零点.5.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27 dm3,且用料最省,则圆柱的底面半径为_ dm.答案3解析设圆柱的底面半径为R dm,母线长为l dm,则VR2l27,所以l,要使用料最省,只需使圆柱形水桶的表面积最小.S表R22RlR22,所以S表2R.令S表0,得R3,则当R3时,S表最小.6.关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是_.答案(4,0)解析由题意
13、知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可,又f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0,得x10,x22,当x0;当0x2时,f(x)2时,f(x)0,所以当x0时,f(x)取得极大值,即f(x)极大值f(0)a;当x2时,f(x)取得极小值,即f(x)极小值f(2)4a,所以解得4ax1f(x2)x2f(x1),则称函数f(x)为“H函数”.给出下列函数:yx3x1;y3x2(sin xcos x);yex1;f(x)以上函数是“H函数”的所有序号为_.答案解析因为x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1),即(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立,所以
14、函数f(x)在R上是增函数.由y3x210得x0恒成立,所以为“H函数”;由yex0恒成立,所以为“H函数”;由于为偶函数,所以不可能在R上是增函数,所以不是“H函数”.综上可知,是“H函数”的有.8.已知函数f(x)x3x23x,直线l:9x2yc0,若当x2,2时,函数yf(x)的图象恒在直线l下方,则c的取值范围是_.答案(,6)解析根据题意知x3x23xx3x2x,设g(x)x3x2x,则g(x)x22x,则g(x)0恒成立,所以g(x)在2,2上单调递增,所以g(x)maxg(2)3,则c6.9.已知函数f(x)ln x(aR),(1)当a时,如果函数g(x)f(x)k仅有一个零点,
15、求实数k的取值范围;(2)当a2时,试比较f(x)与1的大小.解(1)当a时,f(x)ln x,定义域是(0,).f(x).令f(x)0,得x或x2.因为当0x2时,f(x)0,当x2时,f(x)0,所以h(x)在(0,)上是增函数.当x1时,h(x)h(1)0,即f(x)1;当0x1时,h(x)h(1)0,即f(x)1;当x1时,h(x)h(1)0,即f(x)1.B组能力提高10.定义在上的函数f(x),f(x)是它的导函数,且恒有f(x)f; f(1)f; ff.答案解析f(x)0,0,函数在上单调递增,从而,即f0),则tln ta,则AB.设g(t)1(t0),则g(t)(t0),令g
16、(t)0,得t1.当t(0,1)时,g(t)0,所以g(t)ming(1),所以AB,所以AB的最小值为.12.已知函数f(x)aln(x1)x2在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且pq,不等式1恒成立,则实数a的取值范围为_.答案15,)解析,表示点(p1,f(p1)与点(q1,f(q1)连线的斜率,因为p,q(0,1),所以1p12,1q11在(1,2)内恒成立.由定义域可知x1,所以f(x)2x1,即12x,所以a(12x)(x1)在(1,2)内恒成立.设y(12x)(x1),则y2x23x12(x)2,当1x2时,函数y2(x)2的最大值为15,所以a15,即a的取值范围为15,)
17、.13.已知函数g(x)2aln xx22x,aR.(1)若函数g(x)在定义域上为单调增函数,求a的取值范围;(2)设A,B是函数g(x)图象上的不同的两点,P(x0,y0)为线段AB的中点.当a0时,g(x)在点Q(x0,g(x0)处的切线与直线AB是否平行?说明理由;当a0时,是否存在这样的A,B,使得g(x)在点Q(x0,g(x0)处的切线与直线AB平行?说明理由.解(1)函数g(x)的定义域为(0,),g (x)2x2,若函数g(x)在定义域上单调递增,则由g (x)0对x(0,)恒成立,即x2xa0对x(0,)恒成立,ax2x对x(0,)恒成立,记h(x)x2x,x(0,),易得h
18、(x)max,a. (2)当a0时,g(x)x22x,g (x)2x2,g (x0)2x02,kABx1x222x02.函数在Q(x0,g(x0)点处的切线与直线AB平行. 当a0时,若存在A(x1,g(x1),B(x2,g(x2)(0x1x2) ,使得g(x)在点Q(x0,g(x0)处的切线与直线AB平行,则有g(x0),即2x02.又x0,x1x22x1x22. 即ln.(*) 设t,则(* )式整理得ln t, 问题转化成该方程在(0,1)上是否有解. 设函数h(t)ln t,则h (t)0,函数h(t)在(0,)上单调递增,当t(0,1)时,h(t)h(1)0,方程ln t在(0,1)上无解,不存在这样的A,B,使得g(x)在点Q(x0,g(x0)处的切线与直线AB平行.