1、第4讲导数的热点问题(2016课标全国乙)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x20，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点.设a0，因此f(x)在(1，)上单调递增.又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点.若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0，因此f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增.又当x1时，f(x)0，所以f
2、(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，).(2)证明不妨设x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)上单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0，从而g(x2)f(2x2)0，故x1x20(0xg(0)0，x(0,1)，即当x(0,1)时，f(x)2.(3)解由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0,1)恒成立.当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x 时，h(x)0，因此h(x)在区间上单调递减.故当0x 时，h(x)h(0)0，即f(x)2时，f(x)k并非对x(0,
3、1)恒成立.综上可知，k的最大值为2.思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)，对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，则f(x)M(或f(x)m).(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0).(1)当x0时，求证：f(x)1a；(2)在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的取值范围.(1)证明设(x)f(x)1aaln xa(x0)，则(x).令(x)0，则x1
4、，当0x1时，(x)1时，(x)0，所以(x)在(1，)上单调递增，故(x)在x1处取到极小值也是最小值，故(x)(1)0，即f(x)1a.(2)解由f(x)x得aln x1x，即a.令g(x)(1xe)，则g(x).令h(x)ln x(1x0，故h(x)在区间(1，e)上单调递增，所以h(x)h(1)0.因为h(x)0，所以g(x)0，即g(x)在区间(1，e)上单调递增，则g(x)g(e)e1，即0)，则f(x)(x0)，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令
5、g(x)0，得mx3x(x0).设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点.思维升华(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题.(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.跟踪演练2已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时，求f(x)的图象在x1
6、处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围.解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得10，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V
7、(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x).(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)作答：回归实际问题作答.跟踪演练3(2016江苏省苏北三市高三模拟)经市场调查，某商品每吨的价格为x(1x0)；月需求量为y2万吨，y2x2x1. 当该商品的需
8、求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1)若a，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a 的取值范围.解(1) 若a，由y2y1，得x2x1x()2.解得40x6.因为1x14，所以1x6.设该商品的月销售额为g(x)，则g(x)当1x6时，g(x)(x)xg(6).当6x0，得x0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间6,14)上有零点，所以即解得00
9、.当2a10，即a时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当02a11，即a1，即a0时，函数f(x)在(1,2a1)上单调递减，在(0,1)，(2a1，)上单调递增.(3)根据(2)知，当a时，函数f(x)在1,2上单调递减.若x1x2，则不等式|f(x1)f(x2)|对任意正实数恒成立，此时(0，).若x1x2，不妨设1x1f(x2)，原不等式即f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)对任意的a，x1，x21,2恒成立，设g(x)f(x)，则对任意的a，x1，x21,2，不等式g(x1)g(x2)恒成立，即函数g(x)在1,2上为增函数，故g(x)0对任意的a，x
10、1,2恒成立.g(x)x(2a2)0，即x3(2a2)x2(2a1)x0，即(2x2x2)ax32x2x0对任意的a恒成立.由于x1,2，2x2x20，故只要(2x2x2)x32x2x0，即x37x26x0对任意的x1,2恒成立.令h(x)x37x26x，x1,2，则h(x)3x214x60恒成立，故函数h(x)在区间1,2上是减函数，所以h(x)minh(2)8，只要80即可，即8，故实数的取值范围是8，).A组专题通关1.函数f(x)的定义域为R，f(1)3，对任意xR，f(x)3x6的解集为_.答案(，1)解析设g(x)f(x)(3x6)，则g(x)f(x)30的解集是x|x0，b0，e
11、是自然对数的底数，若ea2aeb3b，则a与b的大小关系为_.答案ab解析由ea2aeb3b，有ea3aeb3b，令函数f(x)ex3x，则f(x)在(0，)上单调递增，因为f(a)f(b)，所以ab.3.若不等式2xln xx2ax3恒成立，则实数a的取值范围为_.答案(，4解析条件可转化为a2ln xx(x0)恒成立.设f(x)2ln xx，则f(x)(x0).当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)minf(1)4.所以a4.4.如果函数f(x)ax2bxcln x(a，b，c为常数，a0)在区间(0,1)和(2，)上均单调递增，在(1,2)上单调递减，则函数f(
12、x)的零点个数为_.答案1解析由题意可得f(x)2axb，则解得所以f(x)a(x26x4ln x)，则极大值f(1)5a0，极小值f(2)a(4ln 28)0，结合函数图象(图略)可得该函数只有一个零点.5.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27 dm3，且用料最省，则圆柱的底面半径为_ dm.答案3解析设圆柱的底面半径为R dm，母线长为l dm，则VR2l27，所以l，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小.S表R22RlR22，所以S表2R.令S表0，得R3，则当R3时，S表最小.6.关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_.答案(4,0)解析由题意
13、知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22，当x0；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4ax1f(x2)x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”.给出下列函数：yx3x1；y3x2(sin xcos x)；yex1；f(x)以上函数是“H函数”的所有序号为_.答案解析因为x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，即(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，所以
14、函数f(x)在R上是增函数.由y3x210得x0恒成立，所以为“H函数”；由yex0恒成立，所以为“H函数”；由于为偶函数，所以不可能在R上是增函数，所以不是“H函数”.综上可知，是“H函数”的有.8.已知函数f(x)x3x23x，直线l：9x2yc0，若当x2,2时，函数yf(x)的图象恒在直线l下方，则c的取值范围是_.答案(，6)解析根据题意知x3x23xx3x2x，设g(x)x3x2x，则g(x)x22x，则g(x)0恒成立，所以g(x)在2,2上单调递增，所以g(x)maxg(2)3，则c6.9.已知函数f(x)ln x(aR)，(1)当a时，如果函数g(x)f(x)k仅有一个零点，
15、求实数k的取值范围；(2)当a2时，试比较f(x)与1的大小.解(1)当a时，f(x)ln x，定义域是(0，).f(x).令f(x)0，得x或x2.因为当0x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，所以h(x)在(0，)上是增函数.当x1时，h(x)h(1)0，即f(x)1；当0x1时，h(x)h(1)0，即f(x)1；当x1时，h(x)h(1)0，即f(x)1.B组能力提高10.定义在上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有f(x)f； f(1)f； ff.答案解析f(x)0，0，函数在上单调递增，从而，即f0)，则tln ta，则AB.设g(t)1(t0)，则g(t)(t0)，令g
16、(t)0，得t1.当t(0,1)时，g(t)0，所以g(t)ming(1)，所以AB，所以AB的最小值为.12.已知函数f(x)aln(x1)x2在区间(0,1)内任取两个实数p，q，且pq，不等式1恒成立，则实数a的取值范围为_.答案15，)解析，表示点(p1，f(p1)与点(q1，f(q1)连线的斜率，因为p，q(0,1)，所以1p12,1q11在(1,2)内恒成立.由定义域可知x1，所以f(x)2x1，即12x，所以a(12x)(x1)在(1,2)内恒成立.设y(12x)(x1)，则y2x23x12(x)2，当1x2时，函数y2(x)2的最大值为15，所以a15，即a的取值范围为15，)
17、.13.已知函数g(x)2aln xx22x，aR.(1)若函数g(x)在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；(2)设A，B是函数g(x)图象上的不同的两点，P(x0，y0)为线段AB的中点.当a0时，g(x)在点Q(x0，g(x0)处的切线与直线AB是否平行？说明理由；当a0时，是否存在这样的A，B，使得g(x)在点Q(x0，g(x0)处的切线与直线AB平行？说明理由.解(1)函数g(x)的定义域为(0，)，g (x)2x2，若函数g(x)在定义域上单调递增，则由g (x)0对x(0，)恒成立，即x2xa0对x(0，)恒成立，ax2x对x(0，)恒成立，记h(x)x2x，x(0，)，易得h
18、(x)max，a. (2)当a0时，g(x)x22x，g (x)2x2，g (x0)2x02，kABx1x222x02.函数在Q(x0，g(x0)点处的切线与直线AB平行. 当a0时，若存在A(x1，g(x1)，B(x2，g(x2)(0x1x2) ，使得g(x)在点Q(x0，g(x0)处的切线与直线AB平行，则有g(x0)，即2x02.又x0，x1x22x1x22. 即ln.(*) 设t，则(* )式整理得ln t， 问题转化成该方程在(0,1)上是否有解. 设函数h(t)ln t，则h (t)0，函数h(t)在(0，)上单调递增，当t(0,1)时，h(t)h(1)0，方程ln t在(0,1)上无解，不存在这样的A，B，使得g(x)在点Q(x0，g(x0)处的切线与直线AB平行.