1、 专题八 立体几何与空间向量 2013.3【真题感悟】1.（2012安徽） 设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且 则“”是“”的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 即不充分不必要条件2. （2012北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+123. （2012全国）已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2 B C D 14. （2012全国）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=6
2、0，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.5.（2011山东19）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，（）若是线段的中点，求证：平面；（）若，求二面角的大小【考点梳理】1.空间点、线、面的位置关系：（1）平面的基本性质：基本性质1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内基本性质2：经过_的三点，有且只有一个平面基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有_过这个点的公共直线基本性质4：平行于_的两条直线互相平行推论1：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面；推论3：经过一条直线和这条直线
3、外的一点，有且只有一个平面；等角定理及其推论：定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等；推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.2.空间中的平行与垂直：掌握两个三角形，如下图所示，必须掌握每一步推理用到的依据（判定定理、性质定理、推论或定义）。3.空间几何体：（1）多面体的结构特征：棱柱的上下底面_，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是_的多边形棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_的三角形棱台可由_于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形_（2）旋转体的结构特征：圆柱可以由矩形绕其_旋转得到圆锥可以由直
4、角三角形绕其_旋转得到圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到球可以由半圆或圆绕其_旋转得到球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是求球心角。对于几何体（如球与其他几何体）的切、接问题，要注意仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元
5、素之间的关系，如过球心及多面体中的特殊点或特殊线作截面)，达到空间问题平面化的目的：如球的内接长方体、正方体、正四棱柱等的关键是球的直径即棱柱的体对角线长（）（3）空间几何体的三视图：空间几何体的三视图是用_得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是_的，三视图包括_、_、_。在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的“长对正”，左视图和俯视图的“宽相等”（4）空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用_画法，基本步骤
6、是：在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy45(或135)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x轴、y轴已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度_，平行于y轴的线段，长度变为_在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴也垂直于xOy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度_注意：在斜二测画法的规则下，原图形面积与其直观图面积之间的关系为：。（5）柱、锥、台和球的侧面积和体积：侧面积体积圆柱S侧_ _V_ _圆锥S侧_ _V_r2圆台S侧_V(S上S
7、下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧_ _V_ _正棱锥S侧_ _V_ _正棱台S侧_ _V(S上S下)h球S球面_ _V_ _（6）要注意领会和掌握两种数学思想方法即割补法与等积法：割补法是割法与补法的总称补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体割与补是对立统一的，是一个问题的两个相反方面割补法无论是求解体积问题还是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体
8、积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值4.空间向量及其应用：（1）空间向量三个重要定理：共线向量定理：两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是_ _推论：如图所示，点P在l上的充要条件是：ta；其中a叫直线l的方向向量， tR，在l上取a，则可化为t或(1t)t.共面向量定理的向量表达式：c_，其中x，yR，a，b为不共线向量；推论的表达式为xy或对空间任意一点O，有xy或xyz，其中xyz_.空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那
9、么对空间任一向量p，存在个唯一的有序实数组x，y，z，使得p_，把a，b，c叫做空间的一个基底（2）用向量法证明空间中的平行关系：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)_；证明两条直线平行，要注意说明这两条直线不共线设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l_；证明线面平行要说明直线不在平面内。设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或l_；证明线面平行要说明直线不在平面内.设平面和的法向量分别为u1，u2，则_.（3）用向量法证明空间中的垂直关系：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2_.设直线l的方向向量
10、为v，平面的法向量为u，则l_.设平面和的法向量分别为u1和u2，则_.5.空间元素位置关系的度量：夹角与距离： （1）夹角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。异面直线所成的角：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线aa,bb,则a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角，其取值范围是：090.求解方法如下：解法一：平移法：根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角；解含有的三角形，求出角的大小.平移的具体途径有：中位线、补形法等。解法二：向量法：设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足c
11、os _.直线和平面所成的角：直线和平面所成的角有三种：(i) 斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0的角.直线和平面所成的角取值范围090， 斜线与平面所成的角的求解方法如下：解法一：几何法：作出斜线在基准平面上的射影，找到斜线与平面所成的角；解含的三角形，求出其大小.用此法必须严格遵守“一作二证三计算“的三步走环节，缺一不可。解法二：虚拟法：先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解。解法三：公式法：
12、三余弦公式，(即最小角定理，。注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等斜线在平面上射影为角的平分线.解法四：向量法：设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin _.二面角及二面角的平面角：一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角的取值范围是0180。二面角的平面角定义如下：以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，PCD是二
13、面角-AB-的平面角.平面角PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD，平面PCD.找(或作)二面角的平面角的主要方法有：(i)定义法：由棱上一点在两个半平面内分别引棱的垂线；(ii) 三垂线法：过一个半平面内一点，作另一个半平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接第一个平面内点与棱上的垂足证明即可； (iii)垂面法：用垂直于棱的平面去截两个半平面，所得的两条交线所成角即可；求二面角大小的常见方法：解法一：几何法：先找(或作)出二面角的平面角，再通过解三角形求得的值，用此法必须严格遵守“一作二证三计算“的三步走环节，缺一不可。解法二：面
14、积射影公式法：。解法三：利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小。异面直线上两点间距离公式：AB、CD都与棱AC垂直， ，设二面角的大小为，则。解法四：向量法：求二面角的大小1如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.2如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos _.（2）距离：空间距离常化归为点面距离，求点面距离常用的方法：定义法：找到(或作出)表示距离的线段，抓住线段(距离)所在三角形解之.转化法：将点到平面的距离转换(平行换点、按比例放缩)后再求. 等体积法：其步骤是：在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；求出此三
15、棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；由V=Sh，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.向量法：如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d_。【要点突破】题型一、空间点、线、面的位置关系：例1.(1) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是A平行 B相交 C异面垂直D异面不垂直（2）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,A
16、D=2AB=2BC=2,O为AD中点.（）求证：PO平面ABCD；（）求异面直线PB与CD所成角的大小；（）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.题型二、空间几何体：例2. （2011安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，都是正三角形。（）证明直线；（）求棱锥FOBED的体积.题型三、空间向量与立体几何例3.（1）（2012江西）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求
17、平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。（2）（2011福建）如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，.（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP.（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。【巩固提高】1. 平面平面，点A,C，B,D则直线AC/直线BD的充要条件是A. AB/CD B. AD/CB C. AB与CD相交 D.A、B、C、D四点共面2. 一个水平放置的正方形的边长是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四
18、边形, 这个四边形的面积是A. B. C. D. 3. 正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为AB C D4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A B C D 5. 已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为A B C D 6. 如图，已知AB平面ACD,DE/AB,ACD是正三角形，且AD=DE=2AB,若H是AD的中点，设,则几何体的体积为A B C D 7已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边
19、长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为 8. 如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点则多面体A-CDEF的体积为 9. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥P-ABC的体积为 。10. 如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。则点A到平面MBC的距离为 11. 如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 12. 如图，直三棱柱，点M，N分别为和的中点。 ()证明：平面； ()若二
20、面角为直二面角，求的值。13.如下图5所示，在四棱锥中，平面，是中点，是上的点，且，为中边上的高。(1)证明：平面；(2)若，求三棱锥的体积；(3)证明：平面14. 如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，分别是的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值15. 如图，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。（）求点C到平面 的距离;（）若,求二面角 的平面角的余弦值。16. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足。（1）证明：；（2）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角最大值的正切值（3）若平面与平面所成的二面角为，试
21、确定点的位置。 专题八 立体几何与空间向量参考答案【真题感悟】1.A 2.B 3.D.解：连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,所以利用等积法得，选D. 4. 。解：如图设设棱长为1，则，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以， ，设异面直线的夹角为，所以.5. 几何法：证明：（），可知延长交于点，而，则平面平面，即平面平面，于是三线共点，（也可利用等角定理通过证明三角形相似得证）若是线段的中点，而,则，四边形为平行四边形，则，又平面，所以平面；（）由平面，作，则平面，作，连
22、接，则，于是为二面角的平面角。若，设，则，为的中点，在中,则，即二面角的大小为。坐标法：（）证明：由四边形为平行四边形， ，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为建立直角坐标系，设，则,.由可得，由可得,，则，而平面，所以平面；（）（）若，设，则， ,则,设分别为平面与平面的法向量。则，令，则，； ，令，则，。于是，则，即二面角的大小为。【要点突破】例1.（1）C。（2）解法一：（）证明：在PAD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（）连结BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有
23、ODBC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC.由（）知，POOB,PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以OB，在RtPOA中，因为AP，AO1，所以OP1，在RtPBO中，tanPBO所以异面直线PB与CD所成的角是.（）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.设QDx，则，由（）得CD=OB=，在RtPOC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.解法二：()同解法一.()以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空
24、间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos， ()假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由()知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.例2. 例3. （1）（2）【巩固提高】1. D. 2.B. 3.C 4.B 5.A 6.B7A. 的外接圆的半径，点到面的距离, 为球的直径点到面的距离为,此棱锥的体积为.另解：排
25、除8. 。9. 。提示：坐标法可得时，最大。10. 。解：取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD.又平面平面,则MO平面，所以MOAB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MOAB，MO/面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，则MHBC，求得：OH=OCsin600=,MH=,由 得。11. 。解法一：此题的破解可采用两个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 。解法二：利用最小角定理，易得,.12. （2012辽宁）13. （
26、2012广东文） (1)证明：平面，面，又平面，平面。(2)是中点点到面的距离，三棱锥的体积。(3)取的中点为，连接。，又平面，平面平面平面，又平面平面，平面面，点是棱的中点，又，得：平面。14.（2011广东）（1）证明：取的中点，连接，在边长为1的菱形中，是等边三角形，平面，分别是的中点，平面（2）解：由（1）知，是二面角的平面角易求得，二面角的余弦值为。15. 解：（）由,为的中点，得，又，故,所以点到平面的距离为()如图，取为的中点，连结,则,又由（）知，故，所以为所求的二面角的平面角。因为在面上的射影，又已知，由三垂线定理的逆定理得，从而都与互余，因此，所以，因此，,即,得。从而,所以，在中，。解法二：用向量法易得。16. 解：（1）如图，以AB，AC，AA1分别为轴，建立空间直角坐标系则 ，从而所以 （2）解法一：过P作PEAB于E，连接EN，则PE面ABC，则PNE为所求角，所以tan=，因为当E在AB中点时，ENmin=（tan）max=2，此时，=解法二：平面ABC的一个法向量为 ，而由上式知，当时，。 （3）平面ABC的一个法向量为 设平面PMN的一个法向量为， 由（1）得由解得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，解得 故点P在B1A1的延长线上，且 高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
