1、专题一 三角函数与解三角形 第 1 讲 三角函数的图象与性质1(2018全国卷)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos 223，则|ab|()A.15 B.55 C.2 55 D1解析：由题意知 cos 0.因为 cos 22cos2123.所以 cos 306，sin 66，得|tan|55.又点 A(1，a)，B(2，b)在角 的终边上，所以|tan|ab12 55，所以|ab|55.答案：B2(2019全国卷)下列函数中，以2为周期且在区间4，2 单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf
2、(x)cos|x|Df(x)sin|x|解析：作出 f(x)|cos 2x|的图象，由图象知 f(x)|cos 2x|的周期 T2，在4，2 上递增，A 正确又 f(x)|sin 2x|在4，2 上是减函数，B错误且 f(x)cos|x|cos x 周期 T2，f(x)sin|x|不是周期函数，所以 C、D 均不正确答案：A3(2019全国卷)关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间2，单调递增；f(x)在，有 4 个零点；f(x)的最大值为 2.其中所有正确结论的编号是()ABCD解析：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x
3、|f(x)，又 f(x)的定义域为 R，所以 f(x)是偶函数，正确当 x2，时，f(x)sin xsin x2sin x，函数 f(x)在2，单调递减，错误如图所示，由图可知函数 f(x)在，只有 3 个零点，故不正确因为函数 ysin|x|与 y|sin x|的最大值均为 1，且可以同时取到，所以函数 f(x)的最大值为 2，故正确综上可知，正确结论的序号是.答案：C4(2018北京卷)已知函数 f(x)sin2x 3sin xcos x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 f(x)在区间3，m 上的最大值为32，求 m 的最小值解：(1)f(x)12(1cos 2x)32 sin
4、2xsin2x6 12，所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)由(1)知 f(x)sin(2x6)12.由题意知3xm，所以56 2x62m6.要使得 f(x)在3，m 上的最大值为32，即 sin(2x6)在3，m 上的最大值为 1，所以 2m62，即 m3.所以 m 的最小值为3.1以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性2考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点高考命题以中低档题为主，题型全面，大多呈现在客观题 39 或第 14 题的位置上热点 1 三角函数的概念与同角关系(自主演练)1三角函数：设 是一个任意
5、角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin y，cos x，tan yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角关系：sin2cos21，sin cos tan.3诱导公式：在k2，kZ 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”1(2018北京卷)在平面直角坐标系中，AB，CD，EF，GH 是圆 x2y21 上的四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角 以 Ox 为始边，OP 为终边若 tan cos sin，则 P 所在的圆弧是()A.AB B.CD C.EF D.GH解析：设点 P 的坐标为(x，y)，由三角函数的定义得yxxy，所以1x0，0y1.所以
6、P 所在的圆弧是EF.答案：C2.如图，以 Ox 为始边作角(0)，终边与单位圆相交于点 P，已知点 P 的坐标为35，45，则 sin 2cos 211tan _解析：由三角函数定义，得 cos 35，sin 45，所以原式2sin cos 2cos21sin cos 2cos（sin cos）sin cos cos 2cos223521825.答案：18253(2019惠州一中调研)已知由射线 y43x(x0)逆时针旋转到射线 y 512x(x0)的位置，两条射线所成的角为，则 cos()A.1665B1665 C.5665 D5665解析：设 y43x(x0)的倾斜角为，则 sin 45
7、，cos 35.设射线 y 512x(x0)的倾斜角为，则 sin 513，cos 1213.所以 cos cos()cos cos sin sin 351213 45 5131665.答案：B思维升华1涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关2应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等热点 2 三角函数的图象(师生互动)1“五点法”作图(作 yAsin(x)的简图)设 zx，令 z0，2，32
8、，2，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线可得2图象变换【例 1】(1)(2019珠海质检)函数 f(x)sin(x)0，|2 的最小正周期为，若其图象向左平移6个单位长度后，得到的函数为奇函数，则函数 f(x)的图象()A关于点712，0 对称B关于点 12，0 对称C关于直线 x712对称D关于直线 x 12对称(2)已知函数 f(x)2sin(x)0，2 的部分图象如图所示，其中 f(0)1，|MN|52，将 f(x)的图象向右平移 1 个单位，得到函数 g(x)的图象，则 g(x)的解析式为()Ay2sin3x23 By2cos 3xCy2sin23 x3 Dy2cos 3x解
9、析：(1)由 f(x)的最小正周期 T，得 2，所以 f(x)sin(2x)依题意 ysin2x3 是奇函数，且|2，所以 3k，kZ，又|2，则 3，所以 f(x)sin2x3.由于 f 12 sin63 1，所以函数 f(x)的图象关于 x 12对称(2)由 f(0)1，得 2sin 1，又 2，知 56.如图所示，过点 M 作 MFx 轴，垂足为 F.则|MF|2，|FN|MN|2|MF|232.所以周期 T2 4326，则 3.故 f(x)2sin3x56.因此 g(x)2sin3（x1）56 2cos 3x.答案：(1)D(2)B思维升华1在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先
10、周期变换变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向2已知函数 yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置变式训练(1)函数 f(x)2sin(x)0，|2 的部分图象如图所示，则f(0)f 1712 的值为()A2 3 B2 3 C1 32 D1 32(2)函数 f(x)Asin(x)A0，0，|2 的部分图象如图所示，若 x1，x26，3，且
11、 f(x1)f(x2)，则 f(x1x2)()A1 B.12C.22 D.32解析：(1)由三角函数的图象可知，T46 12 4，所以 T，2，所以 f(x)2sin(2x)又 f 12 2，所以 2sin2 12 2，因为|2，所以 3，所以 f(x)2sin2x3，f(0)f 1712 2sin3 2sin21712 3 2 32 2sin 52 2 3，故选 A.(2)观察图象可知，A1，T，则 2.又点6，0 是“五点法”中的始点，所以 26 0，3.则 f(x)sin2x3.函数图象的对称轴为 x632 12.又 x1，x26，3，且 f(x1)f(x2)，所以x1x22 12，则
12、x1x26，因此 f(x1x2)sin263 32.答案：(1)A(2)D热点 3 三角函数的性质(多维探究)1三角函数的单调性ysin x 的单调递增区间是2k2，2k2(kZ)，单调递减区间是2k2，2k32(kZ)；ycos x 的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytan x 的递增区间是k2，k2(kZ)2三角函数奇偶性规律yAsin(x)，当 k(kZ)时为奇函数，当 k2(kZ)时为偶函数yAcos(x)，当 k2(kZ)时为奇函数，当 k(kZ)时为偶函数yAtan(x)，当 k2(kZ)时为奇函数角度 三角函数的基本性质【例 2】(1)(20
13、18全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为 3Bf(x)的最小正周期为，最大值为 4Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4(2)(2019广州质检)已知 f(x)4cosxcosx3，则下列说法中错误的是()A函数 f(x)的最小正周期为 B函数 f(x)在6，12 上单调递减C函数 f(x)的图象可以由函数 ycos2x3 1 图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍得到D.712，1 是函数 f(x)图象的一个对称中心解析：(1)f(x)2cos2xsin2x23cos2x132c
14、os 2x52，则 f(x)的最小正周期为 T.当 2x2k，即 xk(kZ)时，f(x)max4.(2)f(x)4cos x12cos x 32 sin x 2cos2x 3sin 2xcos 2x 3sin 2x12cos2x3 1.易知，f(x)的最小正周期 T，且在6，12 上单调递减，所以 A、B 正确ycos2x3 1 图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍得到的是 y2cos2x3 2 的图象，因此 C 错误对于 D，f712 2cos27123 11，所以 D 正确答案：(1)B(2)C思维升华1讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用
15、辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数2求函数 yAsin(x)(A0，0)的单调区间，是将 x 作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为 yAsin(x)的增区间(或减区间)变式训练(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则 a 的最大值是()A.4 B.2 C.34 D解析：f(x)cos xsin x 2cosx4.当 x4，34 时，0 x4，所以函数 f(x)在4，34 上是减函数因为函数 f(x)在a，a上是减函数，所以a，a4，34，所以 0a4，所以 a 的最大值为4.答案：A角度 三角函数图象与性质的综合应用【例 3】设函数
16、 f(x)sin xcos x 3cos2x32(0)的 图 象 上 相 邻 最 高 点 与 最 低 点 的 距 离 为24.(1)求 的值；(2)若函数 yf(x)02 是奇函数，求函数 g(x)cos(2x)的单调递减区间解：(1)f(x)sin xcos x 3cos2x 3212sin 2x 3（1cos 2x）2 3212sin 2x 32 cos 2xsin2x3.设 T 为 f(x)的最小正周期，由 f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为 24，得T222f(x)max224，因为 f(x)max1，所以T22424，则 T2.又 0，T222，所以 12.(2)由(1)可知
17、 f(x)sinx3，所以 f(x)sinx3.因为 yf(x)是奇函数，所以 sin3 0，又 02，所以 3，所以 g(x)cos(2x)cos2x3.令 2k2x32k，kZ，得 k6xk23，kZ，所以函数 g(x)的单调递减区间是k6，k23，kZ.思维升华1研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为yAsin(x)B(或 yAcos(x)B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解2函数 yAsin(x)(或 yAcos(x)的最小正周期T2|.应特别注意y|Asin(x)|的最小正周期为 T|.变式训练(2019衡水中学检测)函数 f(x)sin(x)0，|2 在它的某一个周期
18、内的单调递减区间是512，1112.将 yf(x)的图象先向左平移4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为 g(x)(1)求 g(x)的解析式；(2)求 g(x)在区间0，4 上的最大值和最小值解：(1)依题意，T21112 512，所以 2.又 sin2512 1，|2，所以 3，则 f(x)sin2x3.将 yf(x)的图象向左平移4个单位长度，得 ysin2x23 sin2x6 的图象，再将图象上所有点横坐标变为原来的12，得 g(x)sin4x6 的图象因此 g(x)sin4x6.(2)易知 g(x)在0，12 上为增函数，在12，4 上为减函数，所以 g(x)maxg12 1，又 g(0)12，g4 12，所以 g(x)min12，故函数 g(x)在区间0，4 上的最大值和最小值分别为1 和12.
