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[原创]2012年高三数学一轮复习资料第十一章 概率第1讲随机事件及其概率.doc

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资源描述

1、第1讲 随机事件及其概率 知 识 梳 理 1- 1 - 事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;必然事件:在一定条件下必然发生的事件;不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件2随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件发生的频率总是接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件的概率,记作特别提醒:只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下,计算出的基本事件的个数才是正确的,才能用等可能事件的概率计算公式=来进行计算3. 概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率;4概率的性质:必然事件的概率为,不可能事件的概率为,随机

2、事件的概率为,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 互斥事件:不可能同时发生的两个事件一般地:如果事件中的任何两个都是互斥的,那么就说事件彼此互斥特别提醒:若事件A与B不是互斥事件而是相互独立事件,那么在计算的值时绝对不可以使用这个公式6对立事件:必然有一个发生的互斥事件7互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥,那么 特别提醒:一. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解:1互斥事件研究的是两个事件之间的关系;2所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;3两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看,A、B两个事件互斥,则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是

3、空集.二 对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件,集合A的对立事件记作,从集合的角度来看,事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集,即A=U,A=.对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.三.事件A、B的和记作A+B,表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时,事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的. 重 难 点 突 破 1.重点:了解随机事件,了解两个互斥事件的概率加法公式。2.难点:会用基本公式计算相关的概率问题.3.重难点:.(1) “有序”与“无序”混同.问题1: 从10件产品(其中

4、次品3件)中,一件一件地不放回地任意取出4件,求4件中恰有1件次品的概率。错解:因为第一次有10种取法,第二次有9种取法,第三次有8种取法,第四次有7种取法,由乘法原理可知从10件取4件共有10987种取法,故从10件产品(其中次品3件)中,一件一件地不放回地任意取出4件含有10987个可能的结果。设A=“取出的4件中恰有1件次品”,则A含有种结果(先从3件次品中取1件,再从7件正品中取3件),点拨:计算所有可能结果个数是用排列的方法,即考虑了抽取的顺序;而计算事件A所包含结果个数时是用组合的方法,即没有考虑抽取的顺序。正解:(1)都用排列方法所有可能的结果共有个,事件A包含个结果(4件中要恰

5、有1件次品,可以看成四次抽取中有一次抽到次品,有种方式,对于每一方式,从3件次品中取一件,再从7件正品中一件一件地取3件,共有种取法)(2)都用组合方法一件一件不放回地抽取4件,可以看成一次抽取4件,故共有个可能的结果,事件A含有种结果。(2)“互斥”与“对立”混同问题2: 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A至少有1个白球,都是白球 B至少有1个白球,至少有1个红球C恰有1个白球,恰有2个白球 D至少有1个白球,都是红球错误答案(D)点拨: 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同要准确解答这类问题,必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别,这二者

6、的联系与区别主要体现在以下三个方面:(1)两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立;(2)互斥的概念适用于多个事件,但对立概念只适用于两个事件;(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。正解(A),(B)不互斥,当然也不对立,(C)互斥而不对立,(D)不但互斥而且对立所以正确答案应为(C)。 热 点 考 点 题 型 探 析考点一:随机事件的概率题型1.椭机事件的判断例1(1)给出下列四个命题:“当时,”是必然事件;“当时,”是不可能事件;“当时,”是随机事件;“当时,”是必然事件;其中正确的命题个数是:0 B 1

7、 C 2 D 3(2)判断是否正确:“若某疾病的死亡率是90,一地区已有9人患此病死亡,则第10个病人必能成活。”(3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张,中大奖的概率是10万分子1,若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖,某人包下剩下的1千张彩票,那么此人必能中大奖。”(4)某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,经过如下表:投篮次数n8101520304050进球次数m681217253238进球频率0.750.80.80.850.830.80.76问:随着这位运动员投篮次数的无穷增加,他的进球的概率会是多少?解题思路:正确理解概率的相关概念解析:(1)B;(2)否;(3)是;(

8、4)0.8. 例2 (四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知非空集合A、B满足AB,给出以下四个命题:若任取xA,则xB是必然事件若xA,则xB是不可能事件若任取xB,则xA是随机事件若xB,则xA是必然事件其中正确的个数是( )A、1B、2C、3D、4答案:C解题思路:本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用.解析:正确,错误.【名师指引】正确理解概率辩证的概念,它既不是机械的也不是虚无缥缈的此类题目多见于选择判断题,比较简单,但要求对相关的的概念要掌握牢固,否则易出现混淆。【新题导练】1 (江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)从一堆苹果中任取了只,并得到它们

9、的质量(单位:克)数据分布表如下:分组频数123101则这堆苹果中,质量小于克的苹果数约占苹果总数的 答案:302(2009年广东省广州市高三年级调研测试数学(文 科)某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. 0 (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 解:

10、(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为人. 4分 各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,由=100,解得.各班被抽取的学生人数分别是22人,24人,26人,28人. 8分(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.题型2。求随机事件的概率例3 (广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路,每个旅游团任选其中一条. (1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 (2)求恰有2条线路没有被选择的概率.解题思路:分别找出总事件和所求事件的个数,即可求出随机事件的概率

11、。解析:(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为: (2)恰有两条线路没有被选择的概率为: 【名师指引】在确定应用公式P(A)=后,关键是要把的值求正确。【新题导练】3. (广东省北江中学2009届高三月考)将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求:()两数之和为8的概率;()两数之和是3的倍数的概率;解: 将一颗骰子先后抛掷2次,此问题中含有36个等可能基本事件-1分记“两数之和为8”为事件A,则事件A中含有5个基本事件,所以P(A)=;答:两数之和为6的概率为。- 5分 (2)记“两数之和是3的倍数”为事件B,则事件B中含有12个基本事件,所以P(B)=;答:两数之和是3的倍数的概率为。

12、-9分4(珠海市斗门中学2009届高三上学期第三次模拟)小明、小华用4张扑克牌(分别是黑桃2、黑桃4,黑桃5、梅花5)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,小明先抽,小华后抽,抽出的牌不放回,各抽一张(1)若小明恰好抽到黑桃4;请绘制出这种情况的树状图求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率(2)小明、小华约定:若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大,则小明胜,反之,则小明负,你认为这个游戏是否公平,说明你的理由解:(1) 小明抽出的牌 小华抽出的牌 结果 2 (4,2) 4 5 (4,5) 5 (4,5) 3分 由可知小华抽出的牌面数字比4大的概率为: 6分 (2)小明获胜的情况有:(4,

13、2)、(5,4)、(5,4)、(5,2)、(5,2) 故小明获胜的概率为: , 因为,所以不公平. 13分考点二: 互斥事件、对立事件的概率题型1:互斥事件 、对立事件的概念考查例418个篮球队中有2个强队,先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛,则这两个强队被分在一个组内的概率是 ;解题思路:正确理解互斥事件 、对立事件的概念。解析一:2个强队分在同一组,包括互斥的两种情况:2个强队都分在A组和都分在B组。2个强队都分在A组,可看成“从8个队中抽取4个队,里面包括2个强队”这一事件,其概率为;2个强队都分在B组,可看成“从8个队中抽取4个队,里面没有强队”这一事件,其概率为;因此2

14、个强队分在同一个组的概率为。解析二:“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”,而两个组中各有一个强队,可看成“从8个队中抽取4个队,里面恰有一个强队”,这一事件,其概率为,因此2个强队分在同一个组的概率为:。 例5(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考数学理)甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛,参赛同学成绩及格的概率都为0.6,且参赛同学的成绩相互之间没有影响,求:(1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率;(2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率解题思路:利用概率乘法公式和互斥事件,对立事件的基础知识解析:(1)甲班参赛同学恰有1

15、名同学成绩及格的概率为C210.60.4=0.48. 乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为C210.60.4=0.48.故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为p=0.480.48=0.230 4.(2)方法一:甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为0.44=0.025 6. 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为P=1-0.0256=0.974 4.方法二:甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为C410.60.43=0.153 6. 甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为C420.620.42=0.345 6. 甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩

16、及格的概率为C430.630.4=0.345 6. 甲、乙两班4名参赛同学成绩都及格的概率为0.64=0.129 6. 故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为p=0.153 6+0.345 6+0.345 6+0.129 6=0.974 4. 【名师指引】运用互斥事件的概率加法公式解题时, 首先要分清事件是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏。【新题导练】5 (2008年韶关第一次调研)一台机床有的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是, 则这台机床停机的概率为( ) A. B. C. D. .A 解析:机床

17、停机的概率就是A,B两种零件都不能加工的概率,即=.6(广东深圳外国语学校2008月考理科数学试题)有朋自远方来,已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4(1)求他乘火车或飞机来的概率;(2)求他不乘轮船来的概率;(3)如果他来的概率为0.4,请问他有可能是乘何种交通工具来的?解:设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A,B,C,D,则P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.1,P(D)=0.4,且事件A,B,C,D之间是互斥的(1)他乘火车或飞机来的概率为P1=P(AD)=P(A)P(D)=0.30.4=0.7.(2)他乘轮船来的概率是P(

18、B)=0.2,所以他不乘轮船来的概率为P()=1P(B)=10.2=0.8 (3)由于0.4=P(D)=P(A)P(C),所以他可能是乘飞机来,也可能是乘火车或汽车来的 抢 分 频 道 基础巩固训练1. (江苏省启东中学2009届高三综合测试)从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率A不全相等B均不相等C都相等且为D都相等且为 答案:C2. (广东省佛山市三水中学2009届高三测试)甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题,甲及格概率为,乙及格概率为,丙及格概率为,则三人

19、中至少有一人及格的概率为( ) AB CD答案:B3(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)某机关的2008年新春联欢会原定10个节目已排成节目单,开演前又增加了两个反映军民联手抗击雪灾的节目,将这两个节目随机地排入原节目单,则这两个新节目恰好排在一起的概率是_答案:4(广东省深圳市2009 届高三九校联考)从编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十个形状大小相同的球中,任取3个球,则这3个球编号之和为奇数的概率是_. 方法一:任取3个球有C种结果,编号之和为奇数的结果有CC+ C=60(种),故所求概率为.方法二:十个球的编号中,恰好有5个奇数和5个偶数,从中任取3个球,3个

20、球编号之和为奇数与3个球编号之和为偶数的机会是均等的,故所求概率为.5(广东省黄岐高级中学2009届高三上学期12月月考)将A、B两枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问:(I)共有多少种不同的结果?(II)两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种?(III)两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是多少?解: (I) 共有种结果4分(II) 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数,则点数之和是3的倍数的结果有:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(4,5),(5,4),(3,6),(6,3),(6,6)共12种8分(III)两枚骰子点数之和是3的倍数的概

21、率是:P 12分6 (江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)在一次语文测试中,有一道我国四大文学名著水浒传、三国演义、西游记、红楼梦与它们的作者的连线题,已知连对一个得2分,连错一个不得分. ()求该同学得0分的概率; ()求该同学至多得4分的概率.解:(I)设该同学得0分的概率; ()解法一:该同学至多得4分的概率.=+= 解法二:该同学至多得4分的概率.综合拔高训练7有一种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编码规则如下表:明文由表中每一排取一个字符组成,且第一排取的字符放在第一位,第二排取的字符放在第二位,第三排取的字符放在第三位,对应的密码由明文对应的数字按相同

22、的次序排成一组成.第一排明文字符ABCD密码字符11121314第二排明文字符EFGH密码字符21222324第三排明文字符MNPQ密码字符1234 ()求密码中有两个不同数字的概率。()求密码中有三个不同数字的概率。解:()由密码中只有两个数字,注意到密码的第1,2列分别总是1,2,即只能取表格第1,2列中的数字作为密码. ().由密码中只有三个数字,注意表格的第一排总含有数字1,第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1,2,3或1,2,4. 8 (广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考数学理) 盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概

23、率:(1)取到的2只都是次品;(2)取到的2只中正品、次品各一只;(3)取到的2只中至少有一只正品。解:从6只灯泡中有放回地任取两只,共有62=36种不同取法2分 (1)取到的2只都是次品情况为22=4种,因而所求概率为4分(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能:第一次取到正品,第二次取到次品;及第一次取到次品,第二次取到正品。因而所求概率为8分(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件,因而所求概率为12分9定义与的差集:且。若,设,均为整数,且。为取自的概率,为取自的概率,写出与的二组值,使,。解:要使,。可以使中有3个元素,中有2个元素, 中有1个元素。则。中有6个元素,中有4个元素, 中有2个元素。则10(广州市海珠区2009届高三综合测试二)将一枚骰子先后抛掷2次,观察向上面的点数()点数之和是5的概率;()设分别是将一枚骰子先后抛掷2次向上面的点数,求式子成立的概率.解:将一枚骰子先后抛掷2次,向上的点数共有36种不同的结果.1分()将一枚骰子先后抛掷2次,向上的点数分别记为,点数之和是5的情况有以下4种不同的结果5分因此,点数之和是5的概率为6分 ()由得,8分而将一枚骰子先后抛掷2次向上的点数相等的情况有以下6种不同的结果:11分因此,式子成立的概率为12分

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