1、基础诊断考点突破课堂总结第3讲 两角和与差的正弦、余弦、正切基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系；二倍角的正弦、余弦、正切公式，B级要求；2.运用上述三角公式进行简单的恒等变换，C级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin().cos().tan().sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan 1tan tan 基础诊断考点突破课堂总结2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2.cos 2.tan 2.2sin cos cos2sin22cos2112sin22tan 1t
2、an2基础诊断考点突破课堂总结3有关公式的逆用、变形等(1)tan tan(2)cos2 ，sin2 .(3)1sin 2(sin cos)2，1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin4.tan()(1tan tan)1cos 221cos 22基础诊断考点突破课堂总结4函数 f()asin bcos(a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2 sin()其中tan ba 或 f()a2b2 cos()其中tan ab.基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式 sin()
3、sin sin 成立()(3)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan)，且对任意角，都成立()(4)存在实数，使 tan 22tan.()基础诊断考点突破课堂总结2sin 347cos 148sin 77cos 58_.解析 sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)sin 135 22.答案 22基础诊断考点突破课堂总结3(2015苏
4、北四市模拟)已知 R，sin 2cos 102，则 tan 2_.解析 依题意得(sin 2cos)252，即1cos 222(1cos 2)2sin 252，sin 234cos 2，tan 234.答案 34基础诊断考点突破课堂总结4设 sin 2sin，2，则 tan 2 的值是_解析 sin 2sin，sin(2cos 1)0，又 2，sin 0,2cos 10，即 cos 12，sin 32，tan 3，tan 2 2tan 1tan22 31 32 3.答案 3基础诊断考点突破课堂总结5(2015青岛质量检测)设 为锐角，若 cos6 45，则sin2 12 的值为_解析 为锐角且
5、 cos6 45，66，23，sin6 35.sin2 12 sin26 4sin 26 cos 4cos 26 sin 4基础诊断考点突破课堂总结 2sin6 cos6 22 2cos26 1 23545 22 2452112 225 7 250 17 250.答案 17 250基础诊断考点突破课堂总结考点一 三角函数式的化简与给角求值【例1】(1)已知(0，)，化简：1sin cos cos 2sin 222cos _.(2)2sin 50sin 10(1 3tan 10)2sin280_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)原式2cos222sin2cos 2 cos2sin 24cos2
6、2cos2cos22sin22cos 2cos 2cos cos 2.因为 0，所以 022，所以 cos 20，所以原式cos.基础诊断考点突破课堂总结(2)原式2sin 50sin 10cos 10 3sin 10cos 102sin 80(2sin 502sin 1012cos 10 32 sin 10cos 10)2cos 102 2sin 50cos 10sin 10cos(6010)2 2sin(5010)2 2 32 6.答案(1)cos (2)6基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二
7、看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)4cos 50tan 40_.(2)(2014临沂模拟)化简：sin2sin2cos2cos212cos 2cos 2_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)原式4sin 40sin 40cos 404cos 40sin 40sin 40cos 402sin 80
8、sin 40cos 402sin12040sin 40cos 40 3cos 40sin 40sin 40cos 40 3cos 40cos 40 3.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一(从“角”入手，复角化单角)原式sin2sin2cos2cos212(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos212(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos212sin2sin2cos2sin2cos212sin2cos21211212.基础诊断考点突破课堂总结法二(从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos212co
9、s 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)12cos 2cos 2cos2cos 2(sin212cos 2)1cos 2212cos 212.基础诊断考点突破课堂总结法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式1cos 221cos 221cos 221cos 2212cos 2cos 214(1cos 2cos 2cos 2cos 2)14(1cos 2cos 2cos 2cos 2)12cos 2cos 2141412.基础诊断考点突破课堂总结法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式(sin sin cos cos)22sin sin cos cos 12cos 2
10、cos 2cos2()12sin 2sin 212cos 2cos 2cos2()12cos(22)cos2()122cos2()112.答案(1)3(2)12基础诊断考点突破课堂总结【例 2】(1)已知 02，且 cos2 19，sin2 23，求 cos()的值；(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，求 2 的值考点二 三角函数的给值求值、给值求角深度思考 运用两角和(差)的三角函数公式，其关键在于构造角的和(差)，在构造的过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样的变角过程你掌握了吗？基础诊断考点突破课堂总结解(1)02，42，420，又(0，)00，022，基础诊
11、断考点突破课堂总结tan(2)tan 2tan 1tan 2tan 3417134171.tan 170，2，20，234.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)解题中注意变角，如本题中2 2 2；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】已知 cos 17，cos()1314，且 02，(1)求 tan 2 的值；(2)求.解(1)cos 17，02，sin 4 37，
12、tan 4 3，tan 2 2tan 1tan224 3148 8 347.基础诊断考点突破课堂总结(2)02，02，sin()3 314，cos cos()cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 12.3.基础诊断考点突破课堂总结考点三 三角变换的简单应用【例 3】(2014广东卷)已知函数 f(x)Asinx3，xR，且 f 5123 22.(1)求 A 的值；(2)若 f()f()3，0，2，求 f 6.解(1)由 f512 3 22，得 Asin5123 Asin 34 22 A3 22，所以 A3.基础诊断考点突破课堂总结(2)由 f()f()3sin3
13、 3sin3 3sin cos 3cos sin 3 sin cos 3cos sin 36sin cos 33sin 3，sin 33.0，2，cos 63，f6 3sin633sin2 3cos 6.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(2014四川卷)已知函数 f(x)sin3x4.(1)求 f(x)的
14、单调递增区间；(2)若 是第二象限角，f 3 45cos4 cos 2，求 cos sin 的值基础诊断考点突破课堂总结解(1)因为函数 ysin x 的单调递增区间为22k，22k，kZ，由22k3x422k，kZ，得42k3 x 122k3，kZ.所以函数 f(x)的单调递增区间为42k3，122k3，kZ.基础诊断考点突破课堂总结(2)由已知，有 sin4 45cos4(cos2sin2)，所以 sin cos 4cos sin445cos cos 4sin sin 4(cos2sin2)，即 sin cos 45(cos sin)2(sin cos)当 sin cos 0 时，由 是第
15、二象限角，知 34 2k，kZ.基础诊断考点突破课堂总结此时 cos sin 2.当 sin cos 0 时，有(cos sin)254.由 是第二象限角，知 cos sin 0，此时 cos sin 52.综上所述，cos sin 2或 52.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1三角函数求值的类型及方法(1)给角求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数(2)给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)给值求角：实质上也转化为给值求值，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围基础诊断考点突破课堂总结2巧用公式变形和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1tan xtan y)；倍角公式变形：降幂公式 cos21cos 22，sin21cos 22，配方变形：1sin sin 2cos 22,1cos 2cos22，1cos 2sin22.基础诊断考点突破课堂总结易错防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在(0，)范围内，sin 22 所对应的角 不是唯一的3在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值
