1、江苏省南通中学 20202021 学年度第一学期期中考试高一数学一、选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分）1.已知命题 p:2,210 xRx 命题 p 的否定是().A2,210 xRx .B2,210 xRx .C2,210 xRx .D2,210 xRx 【答案】D2.设集合1()(-2)3f xxx的定义域（）.A 2,).B 3,)（.C 2,3)(3,).D2,3)(3,)（【答案】C3.已知命题 p:12x，q:|1|1x 则 p 是 q 的（）.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件【答案】B4.幂函数()f xkx过点（4,2），则
2、 k().A 32.B 3.C 12.D 2【答案】A5.正实数 x，y 满足 21xy，则 xy 的最大值().A 14.B 18.C19.D 116【答案】B6 关于 x 的不等式0axb的解+（2，），则0bxa的解().A1,)2（.B1-,)2（.C1-2（，）.D1-2（，）【答案】D7.函数2432xxy的单调减区间为（）A.-2（，B.1,2C.2,)D.2,3【答案】D8 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,动点 E 从 A 开始沿 ABC 的方向以 2 个单位长/秒的速度运动到 C 点停止,同时动点 F 从点 C 开始沿 CD 边以 1 个单位长/秒的速度运动到 D 点停
3、止,则AEF 的面积 y 与运动时间 x(秒)之间的函数图象大致形状是()A.B.C.D.【答案】A二、多选题（本大题共 4 小题，每题 5 分，漏选 3 分）9下列命题是真命题的是（）A.lg(lg10)0B.lneC.若eln x，则2xeD.ln(lg1)0【答案】AB10.若0ab则下列不等式正确的是（）.A 11ab.B2abb.C|a cb c.D22(1)(1)a cb c【答案】BD11.下列求最值的过程中，方法错误的有（）A.当0 x时，21211xxxxxx，故0 x时，xx1的最大值是2B.当1x时，12212xxxx，当且仅当12 xx取等，解得21或x，又由1x，所以
4、取2x，故1x时，12 xx的最小值为41222C.由于244942449449222222xxxxxx，故4922 xx的最小值是 2D.当0,yx，且24yx时，由于xyyxyx44242，21xy，又4212211211xyyxyx，故当0,yx，且24yx时，yx11 的最小值为 4【答案】BCD12.已知符号函数 0,10,00,1sgnxxxx，下列说法正确的是（）A.函数 xysgn是奇函数B.对任意的Rx，1sgnxeC.函数xeyxsgn的值域为1,D.对任意的Rx，xxxsgn【答案】ABD三、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分）13.已知函数 Zxxxxxf且122
5、2，则 xf的值域为【答案】3,0,114.设56 m，67 n，78 p，则pnm,的大小顺序为【答案】pnm15.若函数 xf对于任意实数 x 都有 1212xxfxf，则21f【答案】316.已 知 二 次 函 数 12xaxxf，若 任 意,1,21 xx且21xx 都 有 12121xxxfxf，则实数 a 的取值范围是【答案】,1【解析】令21xx，12121xxxfxf 2121xxxfxf，即 2211xxfxxf令 122xaxxxfxg xg在,1上单调增0a，12 xxg，显然不成立0a，1220aa，解得1a，故答案为,1四、解答题（本大题共6小题）17.已知集合 A=
6、x|1 x 3，集合 B=x|2x2+5 2k x 5k 0，k R（1）若 k=1 时，求CRB，AUB；（2）若“x A”是“x B”的充分不必要条件，求实数 k 的取值范围【答案】（1）CRB=(,52 U1,+)AUB=52,3（2）3,+)18.已知定义在 1,1 的函数 f x=ax+b1+x2满足：f 0=0，且 f12=25（1）求函数 f x 的解析式；（2）用定义法证明 f x 在 1,1 上是增函数【答案】（1）f x=x1+x2（2）用定义法按步骤证明即可19.已知 P=80.25 4 2+2764 13 2020 0，Q=2log32 log3329+log38（1）
7、分别求 P 和 Q；（2）若2a=5b=m，且1a+1b=Q,求 m【答案】（1）P=73，Q=2（2）m=1020.（本题满分 12 分）如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 点在 AM 上，D 点在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点，已知3AB 米，4AD 米（1）要使矩形 AMPN 的面积大于 50 平方米，则 DN 的长应在什么范围？（2）当 DN 的长为多少米时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最小值【解答】（1）设 DN 的长为(0)x x 米，则(4)ANx米 DNDCANAM，3(4)xAMx，23(4)AMPNxSAN AM
8、x，由矩形 AMPN 的面积大于 50，得：23(4)50 xx，又0 x，得：2326480 xx，解得：803x或6x，即：DN 长的取值范围是：(0，8)(63，)（2）矩形花坛 AMPN 的面积为，223(4)324484848324 2 32448xxxyxxxxxx，当且仅当：483xx，即：4x 时，矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 48故 DN 的长为 4 米时，矩形 AMPN 的面积最小，最小值为 48 平方米答：（1）要使矩形 AMPN 的面积大于 50 平方米，则 DN 的长的范围：(0，8)(63，)；（2）当 DN 的长为 4 米时，矩形 AMPN 的面积最小，最
9、小值为 48 平方米21（本题满分 12 分）已知二次函数2()(f xaxbxc a，b，)cR满足：对任意实数 x，都有()f xx；当(1,3)x时，有21()(2)8f xx 成立（1）求证：f（2）2；（2）若(2)0f，求函数()f x 的解析式；（3）在（2）的条件下，若0 x，)，1()24mf xx成立，求实数 m 的取值范围【解答】（1）由题意得 2 f（2）21(22)28，所以 f（2）2（2）结合（1）知 f（2）422abc，由()f xx 恒成立得2(1)0axbxc恒成立，故20(1)40422abacabc ，将代入得21(2)02ac，故4ca又(2)420
10、fabc ，联立解得11,82abc所以2111()822f xxx（3）由0 x，)，使得1()24mf xx成立可得：211102824mxxxx在上有解()0i x 时，104不满足，0 x；()0ii x 时，原式化为：11142mxx 在,0 x上有解即min11142mxx因为 111121 21142422xxxx ，当且仅当2x 时取等号故此时212m 综合()()i ii 可知 m 的取值范围为21+2，22（本题满分 12 分）设函数2(1)()(0 xxatf xaa且1)a 是定义域为 R 的奇函数（1）求t 的值；（2）若 f（1）0，求使不等式2()(1)0f kx
11、xf x对一切 xR恒成立的实数 k 的取值范围；（3）若函数()f x 的图象过点3(1,)2，是否存在正数 m，（1m）使函数22()()xxaamf xg xm在1，2log 3 上的最大值为 m，若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由【解答】（1）因为是奇函数，所以(0)0f，1(1)0t，解得2t。当2t 时，21()xxxxaf xaaa()()xxfxaaf x，确实是奇函数，满足题意，所以2t。（2）1(1)0,0faa，又因为0a，解得1a 设12,x x R，12xx21122111()()xxxxf xf xaaaa212121121221()1()()()()(1
12、)xxxxxxxxxxaaf xf xaaaaaa因为12xx，1a，所以210 xxaa，又因为121110 xxa。所以2121()()0,()()f xf xf xf x()f x 是单调递增函数。2(1)0f kxxf x，2(1)(1)f kxxf xfx 21kxxx 恒成立，即2(1)10 xkx 恒成立2(1)40k，31k（3）13(1)2faa，0a，解得2a 22()xxaamf xm，设()xxtf xaa，由（2）知()f x 是单调递增函数所以当21,log 3x时，3 8,2 3t 2222xxtaa 所以22()()tmtg xh tm，3 8,2 3t，其最大值为 m也即22tmt有最值 1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取所以只可能是以下三种情况：1233()2122 m，解得136m，此时对称轴为1312t，左端点处取的是二次函数最小值，而1m ，也即()h t 最小值，不合题意舍去。2288()2133 m，解得7324m，此时对称轴为7348t，右端点离对称轴更远，取的最大值，而1m ，也即()h t 最大值，符合。322142mmm，解得2m ，此时对称轴为1t ，不在区间上，所以最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去。综上所述，7324m
