1、考前冲刺二 活用10个二级结论高效解题 结论一 奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.【例1】设函数f(x)（x1）2sin xx21的最大值为M，最小值为m，则Mm_解析：显然函数f(x)的定义域为R，f(x)（x1）2sin xx2112xsin xx21.设g(x)2xsin xx21，则g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，所以Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)max
2、g(x)min2.答案：2变式训练 对于函数f(x)asin xbxc(其中a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是()A4和6 B3和1 C2和4 D1和2解析：令g(x)f(x)casin xbx，则g(x)是奇函数又g(1)g(1)f(1)cf(1)cf(1)f(1)2c，而g(1)g(1)0，c为整数，所以f(1)f(1)2c为偶数在选项D中，123是奇数，D一定不可能答案：D结论二 函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x)，若对任意的xR，总存在非零常数T，使得f(xT)f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期常见的与周期
3、函数有关的结论如下：(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(2)如果f(xa)1f（x）(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.【例2】已知定义在R上的函数f(x)满足f x32 f(x)，且f(2)f(1)1，f(0)2，则f(1)f(2)f(3)f(2 019)f(2 020)()A2 B1 C0 D1解析：因为f x32 f(x)，所以f(x3)f x32 f(x)，则f(x)的周期T3.则有f(1)f(2)1，f(2)f(1)1，f(3)f
4、(0)2，所以f(1)f(2)f(3)0，所以f(1)f(2)f(3)f(2019)f(2020)673f(1)f(2)f(3)f(1)673011.答案：B变式训练 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)x1，则f(2 017)f(2 018)()A3 B2 C1 D0解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(2 017)f(2 017)因为当x0时，有f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，则周期T6.又当x(0，3)时，f(x)x1，所以f(2 017)f(33661)f(1)2，f(2 018)f(2)
5、3，故f(2 017)f(2 018)f(2 017)31.答案：C结论三 函数图象的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xab2 对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称(3)若f(ax)f(ax)2b恒成立，则yf(x)的图象关于点(a，b)对称【例3】(1)若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(1x)的图象大致为()(2)函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成
6、立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_解析：(1)作出yf(x)的图象关于y轴对称的图象，得到yf(x)的图象将yf(x)的图象向右平移1个单位，得yf(x1)f(1x)的图象因此图象A满足(2)因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 017)f(50441)f(1)4，f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144)f(2 014)f(2 014)0.所以f(2 016)
7、f(2 017)f(2 018)4.答案：(1)A(2)4变式训练 若偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_解：因为f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(x)f(4x)，f(x)f(4x)由yf(x)为偶函数，知f(x)f(x)所以f(x)f(x4)，则f(1)f(3)3.答案：3结论四 三点共线的充要条件设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点P与A，B共线的充要条件是存在实数与，使得 OP OA OB，且1.特别地，当P为线段AB的中点时，OP 12OA 12OB.【例4】(1)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA xO
8、B BC 0成立的实数x的取值集合为()A1 B C0 D0，1(2)在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若AB AM AN，则_解析：(1)因为BC OC OB，所以x2OA xOB OC OB 0，即OC x2OA(1x)OB，所以x2(1x)1，解得x0(舍去)或x1，所以x1.(2)如图，连接MN并延长交AB的延长线于点T.由已知易得AB45AT，所以45ATAB AM AN，所以AT54AM 54AN.因为T、M、N三点共线，所以54541，所以45.答案：(1)A(2)45变式训练 在ABC中，AE 2EB，AF 3FC，连接BF，CE，且BF与
9、CE交于点M，AM xAE yAF，则xy等于()A 112B.112 C16 D.16解析：因为AE 2EB，所以AE 23AB，所以AM xAE yAF 23xAB yAF.由B，M，F三点共线得23xy1.因为AF 3FC，所以AF 34AC，所以AM xAE yAF xAE 34yAC.由C，M，E三点共线得x34y1.联立解得x12，y23，所以xy122316.答案：C结论五 三角形“四心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为ABC的外心|OA|OB|OC|a2sin A.(2)O为ABC的重心OA OB OC 0.(
10、3)O为ABC的垂心OA OB OB OC OC OA.(4)O为ABC的内心aOA bOB cOC 0.【例5】已知A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OP 13(1)OA(1)OB(12)OC，R，则点P的轨迹一定经过()AABC的内心 BABC的垂心CABC的重心 DAB边的中点解析：取AB的中点D，则2OD OA OB，因为OP 13(1)OA(1)OB(12)OC，所以OP 132(1)OD(12)OC 2（1）3OD 123OC.而2（1）31231，所以P，C，D三点共线，故点P的轨迹一定经过ABC的重心答案：C变式训练(1)P是ABC所在平面内一点，若PAPBPBPCPC
11、PA，则P是ABC的()A外心 B内心C重心D垂心(2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OB OC2AP，R，则P点的轨迹一定经过ABC的()A外心B内心C重心D垂心解析：(1)由PA PB PB PC，得PB(PA PC)0，即PB CA 0，所以PB CA，同理可证PC AB，PA BC.所以点P是ABC的垂心(2)设BC的中点为M，则OB OC2OM.所以OP OM AP，即MP AP.所以P的轨迹所在直线一定通过ABC的重心答案：(1)D(2)C结论六 两个经典不等式(1)对数形式：x1ln x(x0)，当且仅当x1时，等号成立(2)指数形式：exx
12、1(xR)，当且仅当x0时，等号成立进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且x1)【例6】(1)已知函数f(x)1ln（x1）x，则yf(x)的图象大致为()解析：因为f(x)的定义域为x10，ln（x1）x0，即x|x1，且x0，所以排除选项D.当x0时，由经典不等式x1ln x(x0)，以x1代替x，得xln(x1)(x1，且x0)，所以ln(x1)x0(x1，且x0)，即x0或1x0时均有f(x)0，排除A、C，易知B正确答案：B(2)已知函数f(x)ex，xR.证明：曲线yf(x)与曲线y12x2x1有唯一公共点证明：令g(x)f(x)12x2x1 ex 12 x2x1
13、，xR，则g(x)exx1.由经典不等式exx1恒成立可知，g(x)0恒成立，所以g(x)在R上为单调递增函数，且g(0)0.所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点变式训练 设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求证：当x(1，)时，1x1ln x x.(1)解：由题设知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x1，令f(x)0，解得x1.当0 x1时，f(x)0，f(x)在(0，1)上单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减(2)证明：由(1)知f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，
14、ln xx1，x1ln x 1.因此ln 1x1x1，即ln xx1x，x1ln x x.故当x(1，)时，恒有1x1ln x x.结论七 等差、等比数列的性质1在等差数列an中，Sn为an的前n项和：(1)S2n1(2n1)an；若mnpq，则amanapaq.(2)设an的项数为2n，公差为d，则S偶S奇nd.2在等比数列an中，(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则anamapaq；(2)当公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*)(3)项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为q.若共有2n项，则S偶S奇q.(4)分段求和：SnmSnqnSm(q为公比)【
15、例7】(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4 C5 D6(2)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_(3)已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列1an 的前5项和为_解析：(1)因为数列an为等差数列，且前n项和为Sn，所以数列Snn 也为等差数列所以 Sm1m1 Sm1m12Smm，即 2m13m10，解得m5.经检验，m5符合题意(2)由题意，得S奇S偶240，S奇S偶80，解得S奇80，S偶160，所以qS偶S奇16080 2.(3)设等比数列an的公比为q，易
16、知S30，则S6S3S3q39S3，所以q38，q2.所以数列 1an 是首项为1，公比为 12 的等比数列，其前5项和为11251123116.答案：(1)C(2)2(3)3116变式训练(1)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A6 B5 C4 D3(2)等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a2m0，S2m138，则m_解析：(1)数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.(2)由am1am1a 2m 0得2ama 2m 0，解得am0或am2.又S2m1（2m
17、1）（a1a2m1）2(2m1)am38，显然可得am0，所以am2.代入上式可得2m119，解得m10.答案：(1)C(2)10结论八 多面体的外接球和内切球1长方体的体对角线长d与共顶点的三条棱的长a，b，c之间的关系为d2a2b2c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2a2b2c2.2棱长为a的正四面体内切球半径r612 a，外接球半径R 64 a.【例8】已知四棱锥P-ABCD的侧棱长均为30，底面是两邻边分别为2 和32 的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为()A18 B.323 C36 D48解析：因为底面是矩形，所以矩形的对角线AC为截面圆的直径如图所示，由题意知，该四棱锥外
18、接球的球心O在截面ABCD中的射影为AC的中点H，此时AH12AC12（2）2（3 2）2 5.在RtPCH中，由勾股定理得(30)2(5)2PH2，解得PH5.设该四棱锥外接球的半径为R，则OH5R，OCR，所以在RtOCH中，由勾股定理得(5R)2(5)2R2，解得R3，所以该四棱锥外接球的表面积为4R236.答案：C变式训练(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16，则该三棱柱的侧棱长为()A.14B2 3C4 6 D3(2)(2018济南调研)已知球O的直径PA2r，B，C是该球面上的两点，且BCPBPCr，三棱锥P-ABC的体积为32 23，则球
19、O的表面积为()A64 B32 C16 D8解析：(1)由于直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形把直三棱柱ABC-A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16，所以外接球半径为2.因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长为 2，所以该三棱柱的侧棱长为 422 14.(2)如图，连接OB，OC，则几何体O-BCP是棱长为r的正四面体，所以VO-BCP 212r3，于是VP-ABC2VO-BCP26 r3，令26 r332 23，得r4，从而S球44264.答案：(1)A(2)A 结论九 焦点三角形的面积公式1在椭圆 x2a2 y2b
20、2 1(ab0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则SPF1F2b2tan 2，其中F1PF2.2在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，则SPF1F2b2tan 2.其中F1PF2.【例9】如图，F1，F2是椭圆C1：x24 y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为()A.2B.3C.32D.62解析：设双曲线C2的方程为x2a22y2b221，则有a22b22c22c21413.又四边形AF1BF2为矩形，所以焦点三角形AF1F2的面积为b21tan
21、 45b22tan 45，即b22b211.所以a22c22b22312.故双曲线的离心率ec22a2232 62.答案：D变式训练(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A1 32B2 3 C.312D.31解析：在RtPF1F2中，PF2F160，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|2，则|PF2|1，|PF1|3，由椭圆的定义可知，方程x2a2y2b21中，2a1 3，2c2，得a1 32，c1，所以离心率eca21 3 31.答案：D结论十 过抛物线y22px(p0)焦点的弦过抛物线y22px(p0)焦
22、点的弦AB有：(1)xAxBp24.(2)yAyBp2.(3)|AB|xAxBp 2psin2(是直线AB的倾斜角)【例10】过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A4 B.92C5 D6解析：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于点E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m.由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以cos|AE|AB|13，所以sin289.又y24x，知2p4，故弦长|AB|2psin2 48992.答案：B变式训练 设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.3 34B.9 38 C.6332D.94解析：法1：由已知得焦点坐标为F 34，0，因此直线AB的方程为y 33 x34，即4x4 3y30.与抛物线方程联立，化简得4y212 3y90，故|yAyB|（yAyB）24yAyB6.因此SOAB12|OF|yAyB|1234694.法2：由2p3，及|AB|2psin2，得|AB|2psin23sin23012.原点到直线AB的距离d|OF|sin 3038，故SAOB12|AB|d12123894.答案：D
