1、4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图象1.函数y2x1的图象与y轴的交点为，其单调性为.2.函数yx22x1的开口方向向，顶点坐标为，对称轴为，单调增区间为，单调减区间为.(0,1)在(，)上是增函数上(1,0)x11，)(，1二次函数图象间的变换(1)yx2与yax2(a0)间的变换纵坐标a左h上k右下hk在二次函数ya(xh)2k(a0)的图象变换中，参数“a，h，k”的作用分别是什么？【提示】a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图象的开口方向和大小；h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”.二次函
2、数的图象的平移画出函数 y12x26x21 的图象，并指出由函数 yx2如何平移得到 y12x26x21？【解析】yx26x21(x6)23.顶点坐标是（6，3）对称轴为x=6.利用二次函数的对称性列表：x 4 5 6 7 8 y 5 3.5 3 3.5 5 描点连线得到函数y=x2-6x+21的图象如图.平移过程如下：把y=x2的纵坐标缩短为原来的倍，得到函数y=x2，再把y=x2的图象向右平移6个单位，得到函数y=(x-6)2的图象，最后把y=(x-6)2的图象向上平移3个单位，得到函数y=(x-6)2+3的图象.在作二次函数图象时，通过配方直接选出关键点，即顶点.再依据对称性选点，减少了
3、选点的盲目性，二次函数图象的开口方向、对称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用.二次函数图象平移规律：1.函数yx2的图象 平移 个单位长度，得到函数y(x2)2的图象，再 平移 个单位长度，得到函数y(x2)21的图象.若想要变回原来的函数，则需 平移 个单位长度，再 平移 个单位长度.【答案】向左 2 向下 1 向上 1 向右 2求二次函数的解析式二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式.【思路点拨】二次函数的一般式是yax2bxc，其中a、b、c为待定系数，应当根据三个条件，列出三个方程，进而求出待定的系数，写出函数解析式，本题给出的顶点坐标(2,3)还隐
4、含着图象的对称轴x2这样一个条件，即 .22ba【解析】方法一：设所求二次函数为 yax2bxc.由已知函数图象经过点(2,3)和点(3,1)，函数图象的对称轴是 b2a2.得方程组9a3bc1，4a2bc3，b2a2.解这个方程组，得 a2，b8，c5.二次函数解析式为 y2x28x5.方法二：二次函数的顶点式是ya(xh)2k，而顶点坐标是(2,3)，故有ya(x2)23，这样只需确定a的值.因为图象经过点(3,1)，所以x3，y1满足于关系式ya(x2)23，从而有1a(32)23，解得a2.函数解析式为y2(x2)23，即y2x28x5.方法二：二次函数的顶点式是ya(xh)2k，而顶
5、点坐标是(2,3)，故有ya(x2)23，这样只需确定a的值.因为图象经过点(3,1)，所以x3，y1满足于关系式ya(x2)23，从而有1a(32)23，解得a2.函数解析式为y2(x2)23，即y2x28x5.运用待定系数法求二次函数的解析式时，一般可设出二次函数的一般式yax2bxc(a0)，但如果已知函数的对称轴、顶点坐标或最值，则将解析式设为y(xh)2k会使求解更加方便.具体来说：(1)已知顶点坐标为(m，n)，可设ya(xm)2n，再借助于其他条件求a；(2)已知对称轴方程xm，可设ya(xm)2k，再借助于其他条件求a和k；(3)已知最大值或最小值为n，可设ya(xh)2n，再
6、借助于其他条件求a和h；(4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设ya(xh)2，再借助于其他条件求a和h.2.已知二次函数yf(x)满足以下条件，求该函数的解析式：(1)图象过A(0,1)，B(1,2)，C(2，1)三点；(2)图象顶点是(2,3)，且过点(1,5).【解析】(1)设二次函数的解析式为 yax2bxc(a0)，由已知函数的图象经过(0,1)，(1,2)，(2，1)三点，得c1abc24a2bc1，解得a2b3c1，函数的解析式为 y2x23x1.(2)设二次函数的解析式为 ya(xh)2k(a0)，其顶点的坐标是(h，k).顶点的坐标是(2,3)，ya(x2)23.又图象
7、过点(1,5)，5a(12)23.a2，y2(x2)232x28x11.即函数的解析式为 y2x28x11.1.五点法作二次函数图象的步骤确定顶点坐标，画出对称轴；找出关于对称轴对称的四个点；用平滑曲线连接五个点.如何平移抛物线y2x2可得到抛物线y2(x4)2k？【错解】要得到y2(x4)2k的图象，只需将y2x2的图象向左平移4个单位【错因】没有对k进行讨论，k的正负、上下是不同的.【正解】要得到y2(x4)2k的图象，只需将y2x2的图象向左平移4个单位，当k0时，向上平移k个单位，当k0时，不作平移，当k0时，向下平移|k|个单位.1.二次函数yx2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，
8、得到的新图象的二次函数是()A.yx22 B.y2x2C.yx2D.yx22【答案】B122.函数yx25x1的对称轴和顶点坐标分别是()A.x5，B.x5，C.x5，D.x5，【答案】A12235,2235,2235,2235,23.二次函数的顶点坐标为(2，1)，且过点(3,1)，则解析式为 .【答案】y2x28x74.对于二次函数yx24x3，(1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标.(2)说明其图象是由yx2的图象经过怎样的平移得来？【解析】y(x2)27，(1)开口向下；对称轴方程为x2；顶点坐标为(2,7)；(2)先将yx2的图象向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到yx24x3的图象.
