1、高考资源网（） 您身边的高考专家第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程直线及其方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式(3)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系知识点一直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫作直线l的倾斜角(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线的倾斜角的取值范围是0，)2直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值t
2、an 叫作这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan_.(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.易误提醒任意一条直线都有倾斜角，但只有与x轴不垂直的直线才有斜率(当直线与x轴垂直，即倾斜角为时，斜率不存在)自测练习1若经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y等于()A1B3C0 D2解析：由ktan 1.得42y2.y3.答案：B2如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析：由题图可知k10，k30，且k2k3，k1k3k2.答
3、案：D知识点二直线方程名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线续表截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线易误提醒(1)利用两点式计算斜率时易忽视x1x2时斜率k不存在的情况(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式(4)由一般式AxByC0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B0时，k不存在；当B0时，k.自测练习3过点(
4、1,2)且倾斜角为30的直线方程为()A.x3y60B.x3y60C.x3y60D.x3y60解析：直线斜率ktan 30，直线的点斜式方程为y2(x1)，整理得x3y60，故选B.答案：B4已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1 B1C2或1 D2或1解析：由题意可知a0.当x0时，ya2.当y0时，x.a2，解得a2或a1.答案：D考点一直线的倾斜角与斜率|1直线xym0(mR)的倾斜角为()A30B60C150 D120解析：直线的斜率k，tan .又01或0，解得1a或a0.综上可知，实数a的取值范围是(0，)答案：(0，)3(2016太原模拟)已知点A(
5、2，3)，B(3，2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为_解析：如图，kPA4，kPB.要使直线l与线段AB有交点，则有k或k4.答案：(，4求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出tan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围注意已知倾斜角的范围，求斜率k的范围时注意下列图象的应用：当ktan ，时的图象如图： 考点二直线的方程|根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin
6、 (00，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2B3C4 D5解析：法一：因为直线1(a0，b0)过点(1,1)，所以1，所以12(当且仅当ab2时取等号)，所以2.又ab2(当且仅当ab2时取等号)，所以ab4(当且仅当ab2时取等号)，故选C.法二：因为直线1(a0，b0)过点(1,1)，所以1，所以ab(ab)2224(当且仅当ab2时取等号)，故选C.答案：C探究二与导数的几何意义相结合问题2已知函数f(x)x4ln x，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为_解析：由f(x)1，则kf(1)3，又f(1)1，故切线方程为y13(x1)，即3xy40.答案：3xy4
7、0探究三与平面向量相结合问题3在平面直角坐标平面上，(1,4)，(3,1)，且与在直线的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为()A B.C.或 D.解析：直线l的一个方向向量可设为h(1，k)，由题|14k|3k|，解得k或k，故选C.答案：C探究四与数列相结合问题4已知数列an的通项公式为an(nN*)，其前n项和Sn，则直线1与坐标轴所围成三角形的面积为()A36 B45C50 D55解析：由an可知an，Sn1，又知Sn，1，n9.直线方程为1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，直线与坐标轴所围成的三角形的面积为10945，故选B.答案：B(1)与函数相结合的问题：解决
8、这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决 17.忽视零截距致误【典例】设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，a2，即a11，a0，方程即为xy20.综上，l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方
9、程化为y(a1)xa2，或a1.综上可知a的取值范围是a1.易误点评本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况防范措施(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用跟踪练习若直线过点P(2,1)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线的条数为()A1B2C3 D以上都有可能解析：当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为xya，则a213，有一条综上知，直线过点P(2,1)且
10、在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选B.答案：BA组考点能力演练1直线l：xsin 30ycos 15010的斜率是()A.B.C D解析：设直线l的斜率为k，则k.答案：A2在等腰三角形AOB中，AOAB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()Ay13(x3) By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)解析：因为AOAB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kABkOA3，所以直线AB的点斜式方程为：y33(x1)答案：D3直线2xmy13m0，当m变动时，所有直线都通过定点()A. B.C. D.解析：(2x1)m(y3)0恒成
11、立，2x10，y30，x，y3.定点为.答案：D4(2016海淀一模)已知点A(1,0)，B(cos ，sin )，且|AB|，则直线AB的方程为()Ayx或yxByx或yxCyx1或yx1Dyx或yx解析：|AB| ，所以cos ，sin ，所以kAB，即直线AB的方程为y(x1)，所以直线AB的方程为yx或yx，选B.答案：B5(2016贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是()A1k1或k或k或k1解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，直线在x轴上的截距为1，令310，b0)，点P(3,2)代入得12，得ab24，从而
12、SABOab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立，即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.10已知ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2，1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得BC的方程为，即x2y40.(2)设
13、BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k22.由(2)知，点D的坐标为(0,2)由点斜式得直线DE的方程为y22(x0)，即2xy20.B组高考题型专练1(2014高考安徽卷)过点P(，1)的直线l与圆x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：法一：如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知OP2，OA1，则sin ，所以30，BPA60.故直线l的倾斜角的取值范围是
14、.选D.法二：设过点P的直线方程为yk(x)1，则由直线和圆有公共点知1.解得0k.故直线l的倾斜角的取值范围是.答案：D2(2014高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_解析：yax2，y2ax，由题意可得解得ab3.答案：33(2014高考四川卷)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析：易知A(0,0)，B(1,3)，且PAPB，|PA|2|PB|2|AB|210，|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时取“”)答案：5高考资源网版权所有，侵权必究！
