1、数学2.2 等差数列 第一课时 等差数列的概念与通项公式 数学自主预习课堂探究数学自主预习1.通过实例,理解等差数列和等差中项的概念,深化认识并能运用.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系.课标要求 数学知识梳理 1.等差数列的定义 如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的差等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.2 同一个常数 2.等差中项 由三个数 a,A,b 组成的等差数列中,A 叫做 a 与 b 的等差中项,A=2ab.3.等差数列的通项公式和递推公式 如果等差数列a
2、n的首项为a1,公差为d,那么 通项公式an=a1+(n-1)d递推公式an+1-an=d数学自我检测 D 解析:由等差数列的定义知强调两个方面:从第二项起;差为同一个常数,故选D.1.(等差数列的概念)下列说法中正确的是()(A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,这个数列就叫等差数列(B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列(C)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和都等于常数,这个数列就叫等差数列(D)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列 数学A 解析:设方程 x2-6x+3=0 的两根为 x1,x
3、2则 x1+x2=6,所以 x1,x2的等差中项为122xx=3.2.(等差中项的概念)方程x2-6x+3=0的两根的等差中项为()(A)3 (B)6 (C)-6 (D)-3 数学B 3.(等差数列的公差)等差数列an的通项公式为an=3-2n,则该数列的公差d等于()(A)-1(B)-2(C)2(D)3 解析:d=an+1-an=3-2(n+1)-(3-2n)=-2.故选B.数学解析:设等差数列an的首项为 a1,公差为 d,则112,38,adad解得 d=3,a1=-1.所以 an=a1+(n-1)d=3n-4.4.(等差数列的通项公式)等差数列an中,a2=2,a4=8,则通项公式an
4、=.答案:3n-4 数学课堂探究等差数列的判定与证明 题型一(1)证明:因为 bn+1-bn=112na -12na=1442na-12na=22nnaa-12na =222nnaa=12.又 b1=112a=12,所以数列bn是首项为 12,公差为 12的等差数列.【例 1】已知数列an满足 a1=4,an=4-14na(n1),记 bn=12na.(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求数列an的通项公式.数学(2)解:由(1)知 bn=12+(n-1)12=12n.因为 bn=12na,所以 an=1nb+2=2n+2.数学题后反思 判断或证明一个数列an为等差数列的常用方法:(1)定义
5、法:若an-an-1=d(d是常数,n2且nN*),则数列an是等差数列.(2)等差中项法:若任意连续三项an-1,an,an+1都有:2an=an-1+an+1(n2且nN*),则数列an是等差数列.(3)通项公式法:若an=kn+b(k,b为常数,nN*),则数列an是等差数列.数学即时训练 1 1:已知数列an,满足 a1=2,an+1=22nnaa.(1)数列 1na 是否为等差数列?说明理由;(2)求 an.解:(1)数列 1na 是等差数列,理由如下:因为 a1=2,an+1=22nnaa,所以11na=22nnaa=12+1na.所以11na-1na=12.即 1na 是首项为1
6、1a=12,公差为 d=12的等差数列.(2)由上述可知 1na=11a+(n-1)d=2n,所以 an=2n.数学【备用例 1】cn=1,1,25,2,nnn试判断数列cn是否为等差数列.解:因为c2-c1=-1-1=-2,n2时,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2,所以cn+1-cn(n1)不等于同一个常数,不符合等差数列的定义,所以数列cn不是等差数列.数学等差数列的通项公式 题型二【教师备用】1.从等差数列的通项公式上看,等差数列与一次函数有什么关系?提示:由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),当d0时,an是关于n的一次函数.2.能不能
7、利用等差数列的通项公式判断其增减性?提示:当d0时,数列an为递增数列;当d=0时,数列an为常数列;当d0时,数列an为递减数列.数学解:设等差数列an的公差为 d,则151601148,5920,aadaad 解得164,154.15ad 所以 an=a1+(n-1)d=6415+415(n-1)=415n+4,所以 a75=41575+4=20+4=24.【例 2】若数列an是等差数列,且 a15=8,a60=20,求 a75.数学题后反思 在等差数列中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;若知道等差数列中的任意两项,都可利用方程组的思想求出a1和d.但是,要注意公式的变形及整体求解,以减少计算量.数学解:由例题知,am=415m+4,所以 1 415m+410.即-3 415m6.所以-454m0,则 a6=4.数学【备用例 3】已知数列xn的首项 x1=3,通项 xn=2np+nq(nN*,p,q 为常数)且x1、x4、x5成等差数列.求 p,q 的值.解:由 x1=3,得 2p+q=3,又 x4=24p+4q,x5=25p+5q,且 x1+x5=2x4,得 3+25p+5q=25p+8q,由得 q=1,p=1.数学点击进入课时作业数学 谢谢观赏Thanks!
