1、3.1变化率与导数 3.1.1 变化率问题 34()3V rr问题1 气球膨胀率:气球的体积V与半径r之间函数关系为 3 3()4Vr V2()4.96.510h ttt 问题2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与起跳后时间t存在函数关系为引导：1这一现象中，哪些量在改变？2 变量的变化情况？3 引入气球平均膨胀率的概念3343()()34VV rrr V当空气容量从增加时，半径增加了 r(1)r(0)=0.62 当空气容量从加时，半径增加了 r()r()=0.探究活动气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率21212121()()()
2、()r Vr Vf xf xVVxx设某个变量 f 随 x 的变化而变化，0limxfx 0()()limxf xxf xx 从 x 经过 x，量 f 的改变量为()()ff xxf x 量 f 的平均变化率为()()ff xxf xxx 0 xfx 令，则得到 在 的（瞬时）变化率：平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度瞬时速度2 瞬时速度平均速度的概念这段时间内汽车的平均速度为)/(5410150hkmtsv 所有的时间经过的路程 已知物体作变速直线运动，其运动方程为ss(t)(表示位移，t 表示时间)，求物体在 t0时刻的速度如图设该
3、物体在时刻t0的位置是(t0)OA0，在时刻t0+t 的位置是s(t0+t)OA1，则从 t0 到 t0+t 这段时间内，物体的 位移是)()(0001tsttsOAOAs在时间段(t0+t)t0=t 内，物体的平均速度为:tsttttsttsv0000)()(要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度的极限即vttsttstsvt)()(lim0例 物体作自由落体运动，运动方程为：，其中位移单 位 是 m，时 间 单 位 是 s，g=9.8m/s
4、2求：(1)物 体 在 时 间 区 间2，2.1上的平均速度；(2)物体在时间区间2，2.01上的平均速度；(3)物体在t=2时的瞬时速度.221 gts sss(2+t)Os(2)tggtsv212(1)将 t=0.1代入上式，得 )/(09.2005.2smgv(2)将 t=0.01代入上式，得)/(65.19005.2smgv 平均速度 的极限为:v,0t22 t(3)当)/(6.192limlim00smgtsvvtt当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s)时的瞬时速度v=19.6(m/s)即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s).v要精确地描述非匀速
5、直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度的极限即vttsttstsvt)()(lim0瞬时速度2()4.96.510h ttt 高台跳水 vvtt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-13.0099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.1000492()4.96.510h ttt 高台跳水()()
6、hh tth tvtt 00(2)(2)(2)limlim(4.913.1)13.1tththvtt 导数的概念 00000()()()limlimxxf xxf xffxxx 一般地，函数 y=f(x)在点x=x0处的瞬时变化率是 0000()()limlimxxf xxf xfxx ox xy0()fx我们称它为函数 y=f(x)在点x=x0处的导数，记为或，即导数的概念 也可记作ox xy 若这个极限不存在，则称在点x0 处不可导。设函数 y=f(x)在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x(点 x0+x 仍在该定义内）时，相应地函数 y 取得增量 y=f(x
7、0+x)-f(x0)，若y与x之比当 x0的极限存在，则称函数 y=f(x)在点 x0 处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点 x0 处的导数记为0()fx00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 即说明：)(xf0 x0 xxyxy0 x（1）函数在点处可导，是指时，有极限如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数点x 是自变量x在0 x 处的改变量，0 x，而y 是函数值的改变量，可以是零（2）)(xfy 0 x由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:00()()ff xxf x（1）求函数的增量:；00()()f xxf xfxx（2）求平均变化率:；00
8、()limxffxx（3）取极限，得导数:一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度.二是:求已知曲线的切线.00()(),V tS t0()Kf x切例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：）为xh2()715(08).f xxxx计算第2 h和第6 h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。例:高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在呢?t)(s105.69.4)(2ttthst1mst5.06.1)5.0(/hst1ththth)1()1(ttt1015.
9、619.410)1(5.6)1(9.4223.39.4t3.3同理，thh1/运动员在 时的瞬时速度为 ，3.3)1(/hst1sm/3.3st5.0smh/6.1)5.0(/sm/6.1上升下落这说明运动员在 附近，正以大约 的速率。3.39.4t0limt)(lim0t 3.31/hst5.0sm/)(xfxxfxxf)(00你能借助函数 的图象说说平均变化率表示什么吗？请在函数图象中画出来0 x割线PQ的的变化情况在 的过程中，请在函数图象中画出来 你能描述一下吗？3.1.1 导数的几何意义00()()nnnf xf xkxxPxy00 x()yf xTnxPxyo0 x()yf xT0
10、000()()()(,()yf xxfxyf xM xf x函数在点 处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。0000()()lim()xf xxf xkxfx 00()(,()yf xM xf x曲线在点处000()()yyfxxx的切线方程为0tan()PTkfx即圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。2l1lxyABCPPP根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替。大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过
11、此点的切线近似代替，即“以直代曲”（以简单的对象刻画复杂的对象）1.在函数的图像上，(1)用图形来体现导数，的几何意义.105.69.4)(2ttth3.3)1(/h6.1)5.0(/hh0.15.0Ot(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？,0t,1t2t,3t4t增（减):增（减）快慢：=切线的斜率附近：瞬时变化率（正或负）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）画切线即：导数 的绝多值的大小=切线斜率的绝对值的大小切线的倾斜
12、程度（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象(2)曲线在时，切线平行于x轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降0t 曲线在处切线的斜率0 在附近，曲线，函数在 附近单调0t,1t,1t2t 如图，切线的倾斜程度大于切线 的倾斜程度，2t1t,3t4t大于上升递增2l1l3l4l3t4t上升 这说明曲线在 附近比在 附近得迅速 2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t递减下降小于下降,3t4t2如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8
13、（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象)(0/xf)(/xf 抽象概括：是确定的数是 的函数x导函数 的概念：)(/xfxxfxxfxfx)(lim0000/xxfxxfxfx)(lim0/t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率3.004.15.0小结：.函数在处的导数的几何意义，就是函数的图像在点处的切线AD的斜率（数形结合）)(xf0 xx 0/xf)(xf)(,00 xfxAxxfxxfxfx)()(lim)(0000/切线 AD的斜率3.导函数(简称导数)xxfxxfxfx)()(lim)(0/2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学思想方法。以简单对象刻画复杂的对象
