1、22最大值、最小值问题(二)学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点一优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题知识点二利用导数解决生活中优化问题的基本思路知识点三解决优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求导函数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；(4)依据实际问题的意义给出答案题型一用料最省问题例1如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于
2、一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解如题图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC，又设总的水管费用为y元，依题意有y3a(50x)5a(0x20，y25.两栏面积之和为2(x20)18 000，由此得y25.广告的面积Sxyx25x，S2525.令S0得x140，令S0得20x0)；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为
3、速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为yabv2s(bv)，所求函数及其定义域为ys(bv)，v(0，c(2)由题意s、a、b、v均为正数ys(b)0得v，v(0，c若c，则当v时，全程运输成本y最小；若c，则v(0，c，此时yc时，行驶速度vc.反思与感悟正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路另外需注意：合理选择变量，正确给出函数关系式与实际问题相联系必要时注意分类讨论思想的应用跟踪训练3某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低
4、价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0x21)的平方成正比已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件由已知条件，得k2224，解得k6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)(30x9)(4326x2)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)对(1)中函数求导得f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072极小值极大值x12
5、时，f(x)取得极大值f(0)9 072，f(12)11 664，定价为301218(元)，能使一个星期的商品销售利润最大分类讨论思想的应用例4某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 m3，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元，设该容器的建造费用为y千元(1)写出y出关于r的函数关系式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r.分析首先根据容积(体积)求出r，l的关系，即用r表示l，根据l2r，即可求
6、出r的取值范围，根据一个圆柱的侧面积和一个球的表面积公式建立建造费用y关于r的函数关系式，然后利用导数求解这个函数的极值点，通过讨论极值点与r的取值范围之间的关系求得容器建造费用最小时r的值解(1)设容器的容积为V，由题意，知Vr2lr3.又因为V，所以lr.由于l2r，故0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c.所以y关于r的函数关系式为y4(c2)r2，该函数的定义域为(0,2(2)由(1)，得y8(c2)r，0r2.由于c3，所以c20.当r30时，r.令m，则m0.所以y(rm)(r2rmm2)当0m2，即c时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0；当r(m,2时，y0.
7、所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2，即3c时，当r(0,2时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3c时，建造费用最小时r2(m)；当c时，建造费用最小时r(m)解后反思在求解本题时，要特别注意函数的定义域，即r的取值范围(0,2因为由y0解得的r值不一定在定义域(0,2内，所以需分类讨论1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A8 B.C1 D8答案C解析原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度
8、的瞬时变化率取得最小值1.2设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()A.B.C.D2答案C解析设底面边长为x，则表面积Sx2V(x0)S(x34V)令S0，得x.3已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件D7万件答案C解析因为yx281，所以当x9时，y0；当x(0,9)时，y0.所以，函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增所以x9是函数的极大值点又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值
9、4某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r则总利润最大时，年产量是()A100 B150C200 D300答案D解析设年产量为x时，总利润为y，依题意，得y即y所以y由y0，得x300.经验证，当x300时，总利润最大5用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5 m，则当高为_m时，容器的容积最大答案1解析设高x m，则Vx(x0.5)2x32.2x21.6x，x(0,1.6)，所以V6x24.4x1.6.令V0，解得x1或x(舍去)当0x1时，V0，当1x1.6时，V0，所以当x1时，容器的容积取得最大值正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用
