1、 4.2导数在研究函数中的应用【考纲要求】1、导数在研究函数中的应用 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.2、生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题.【基础知识】1、用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间 求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数
2、的单调递增（减）区间。一般地，函数在某个区间可导 ，0 在这个区间是增函数 一般地，函数在某个区间可导 ，0 在这个区间是减函数 （3）单调性的应用 一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数 温馨提示：求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式（)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。 已知函数的增（减）区间，应得到（）0，必须要带上等号。 求函数的单调增（减）区间，要解不等式0，此处不能带上等号。 单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。2、求函数的极值（1）设函数在
3、及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，右侧0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧0，那么是极小值。 （3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。(5)一般地，连续函数在点处有极值
4、 是=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。3、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。【例题精讲】例1 已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)若yf(x)图象上的点(1，)处的切线斜率为4，求yf(x)的极大值解：(1)f(x)x22axb，由题意可知：f(1)4且f(1)，即解得f(x)x3x23x，f(x)x22x3(x1)(x3)令f(x)0，得x11，x2
5、3.由此可知，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值当x1时，f(x)取极大值.例2 已知函数f(x)xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)讨论关于x的方程f(x)m0(mR)的解的个数解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)lnx1，令f(x)0，得x.当x(0，)时，f(x)，f(x)的变化情况如下：xf(x)0f(x)极小值所以，f(x)在(0，)上最小值是f.(2)当x时， f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；当x时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.下面讨论f(x)m0的解：当m时，原方程无
6、解；当m或m0时，原方程有唯一解；当m0时，原方程有两个解 4.2导数在研究函数中的应用强化训练【基础精练】1函数f(x)2x43x21在区间，2上的最大值和最小值分别是()A21， B1，C21,0 D0，2函数f(x)1xsinx在(0,2)上是()A增函数B减函数C在(0，)上增，在(，2)上减D在(0，)上减，在(，2)上增3f(x)的导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能的是图中的()4函数f(x)x33x24xa的极值点的个数是()A2 B1C0 D由a确定5已知f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是()A0 B1C2 D36f(x)是定义在(
7、0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)7已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件 D7万件8函数f(x)x2lnx的最小值为_9已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取极值10，则f(2)_.10函数f(x)x的单调减区间为_11.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上
8、存在二阶导函数，记f(x)(f(x).若f(x)0)，求函数在1,2上的最大值【基础精练参考答案】1.A【解析】比较端点的函数值和极值点的 函数值的大小即可。2.A【解析】f(x)1cosx0，f(x)在(0,2)上递增3.A【解析】x(，2)(0，)时f(x)0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点5.D【解析】f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即：a3x2在1，)上恒成立，而(3x2)min3123.a3，故amax3.6.A【解析】xf(x)f(x)0，又f(x)0，xf(x)f(x)0，设y，则y0，故y为减函数或常函数又a0，则af(b)bf(a)7.C【解析】因为yx281，
9、所以当x9时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值8. 解析：得x1，得0x1.f(x)在x1时取最小值f(1)ln1.9.18【解析】f(x)3x22axb，由题意即得a4或a3.但当a3时，f(x)3x26x30，故不存在极值，a4，b11，f(2)18.10. (3,0)，(0,3)【解析】f(x)1，令f(x)0，解得3x0或0x3，故单调减区间为(3,0)和(0,3)11. 【解析】对于，f(x)(sinxcosx)，x(0，)时，f(x)0恒成立；对
10、于，f(x)，在x(0，)时，f(x)0恒成立；对于，f(x)6x，在x(0，)时，f(x)0恒成立，所以f(x)xex不是凸函数12.【解析】(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因为当x或x0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当54a1，所以kx2x5在(1，)上恒成立令g(x)x2x5，此函数在(1，)上是增函数所以g(x)g(1)3.所以k的取值范围是k3.13.【解析】 (1) QP(v4v315
11、v)(v3v215)400v26 000(0v100)(2)Q5v，令Q0，则v0(舍去)或v80，当0v80时，Q0.当80v100时，Q0.v80时，全程运输成本取得极小值，即最小值从而QminQ(80)元【拓展提高参考答案】 (2)证明：不妨假设x1x2.由(1)知当a2时，f(x)在(0，)上单调减少，所以|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于f(x2)f(x1)4x14x2，即f(x2)4x2f(x1)4x1.令g(x)f(x)4x，则g(x)2ax4.于是g(x)0.从而g(x)在(0，)上单调减少，故g(x1)g(x2)，即f(x1)4x1f(x2)4x2，故对任意x1，x2 (0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.分析：通过求导先判断单调性再求最值在求最值时，对a的情况要进行讨论2.【解析】f(x)x2eax(a0)，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)令f(x)0，即eax(ax22x)0，得0x.f(x)在(，0)，上是减函数，在上是增函数
