1、E单元不等式 目录E单元不等式1E1不等式的概念与性质1E2 绝对值不等式的解法3E3一元二次不等式的解法7E4 简单的一元高次不等式的解法8E5简单的线性规划问题8E6基本不等式15E7 不等式的证明方法19E8不等式的综合应用21E9 单元综合22 E1不等式的概念与性质【数学理卷2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412）】20.（本小题满分12分）设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中为数列的前n项和.（I）求数列的通项公式；（II）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意；都有成立.【知识点】数列的通项公式 不等式D1 E1【答案】【解析】（I）；（II）1 解析：（
2、）时，当时，由得，即，由已知得，当时，.故数列是首项为1，公差为1的等差数列.（），,.要使得恒成立,只须. (1)当为奇数时,即恒成立.又的最小值为,.(2)当为偶数时,即恒成立.又的最大值为,由(1),(2)得,又且为整数, 对所有的,都有成立. 【思路点拨】遇到由数列的前n项和与通项的递推关系，通常先转化为通项之间的递推关系再进行解答，对于不等式恒成立问题通常转化为求最值问题进行解答.【数学文卷2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412） (1)】20.（本小题满分12分）设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中为数列的前n项和.（I）求数列的通项公式；（II）设（为非零整数
3、，），试确定的值，使得对任意；都有成立.【知识点】数列的通项公式 不等式D1 E1【答案】【解析】（I）；（II）1 解析：（）时，当时，由得，即，由已知得，当时，.故数列是首项为1，公差为1的等差数列.（），,.要使得恒成立,只须. (1)当为奇数时,即恒成立.又的最小值为,.(2)当为偶数时,即恒成立.又的最大值为,由(1),(2)得,又且为整数, 对所有的,都有成立. 【思路点拨】遇到由数列的前n项和与通项的递推关系，通常先转化为通项之间的递推关系再进行解答，对于不等式恒成立问题通常转化为求最值问题进行解答.E2 绝对值不等式的解法【数学理卷2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201
4、412）】22、已知函数（）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（）求函数在区间上的最大值【知识点】含绝对值不等式 二次函数求最值 E2【答案】（）；（）.【解析】解析：（1）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，当时，（*）显然成立，此时； 当时，（*）可变形为，令因为当时，当时，所以，故此时. 综合，得所求实数的取值范围是. （2）因为=10分当时，结合图形可知在上递减，在上递增，且，经比较，此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，经比较，知此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，经比较，知此时 在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递
5、减，在，上递增，且, ，经比较，知此时 在上的最大值为.当时，结合图形可知在上递减，在上递增，故此时 在上的最大值为.综上所述， .【思路点拨】根据题意可得（*）对恒成立，讨论当时，（*）显然成立，此时，当时，（*）可变形为，令只需求其最小值即可；，讨论对称轴当时，当时，当时，当时，四种情况，分别求得最大值.【数学文卷2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】（22）（本小题满分14分）已知函数（）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（）求函数在区间上的最大值【知识点】含绝对值不等式 二次函数求最值 E2【答案】（）；（）.【解析】（）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，当时，
6、（*）显然成立，此时； 当时，（*）可变形为，令因为当时，当时，所以，故此时. 综合，得所求实数的取值范围是. （）当时，即，此时，当时，即，此时当时，即，此时当时，即，此时综上：.【思路点拨】根据题意可得（*）对恒成立，讨论当时，（*）显然成立，此时，当时，（*）可变形为，令只需求其最小值即可；，讨论对称轴，的三种情况，分别求得最大值.E3一元二次不等式的解法【数学文卷2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412） (1)】9若不等式2x22axa1有唯一解,则a的取值为( )A B C. D 【知识点】一元二次不等式与二次函数的关系E3【答案】【解析】D 解析：若不等式2x22ax
7、a1有唯一解，则x22axa=1有相等实根，所以，解得a=,所以选D.【思路点拨】遇到一元二次不等式的解集问题，可结合其对应的二次函数的图象进行解答.【数学文卷2015届广东省中山一中等七校高三第二次联考（201412）】8函数，则的自变量的取值范围为（ ）A B C D【知识点】分式，绝对值不等式的解法E3 E2【答案】【解析】D解析：或 或或或故选D【思路点拨】对于分段函数，分清楚每个条件对应下的解析式，再按条件求解即可.【数学文卷2015届山东省日照市日照一中高三12月校际联合检测（201412）】8.在R上定义运算：.若关于的不等式的解集是集合的子集，则实数的取值范围是A.B. C.D
8、.【知识点】一元二次不等式的应用E3【答案】【解析】D 解析：由题意得，所以，即. 当时，不等式的解集为空集，符合题意；当时，不等式的集解为，又解集为的子集，所以，得；当时，不等式的集解为，又解集为的子集，所以，得.综上所述，的取值范围是.故选D.【思路点拨】首先理解*运算的定义，得到不等式的具体形式，然后解不等式不等式中有参数a，需要对参数的取值进行讨论，得到不等式的解集，然后再根据子集关系，确定出a的范围E4 简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题【数学理卷2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】5、已知、满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是 A B C D【知
9、识点】线性规划E5【答案】【解析】B解析：画出满足的可行域如下图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为；由条件得所以，故选择B.【思路点拨】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域，由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大，可求的最大值与最小值，即可求解.【数学理卷2015届河南省洛阳市高三第一次统一考试（201412）】11若直线 与不等式组 ，表示的平 面区域有公共点，则实数的取值范围是 A B C(1，9) D 【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B
10、(5,2)，C(3,4)而直线恒过定点P(0,-6),且斜率为，因为,所以由得，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA、PB、PC的斜率，其中最小值，最大值，则由得的取值范围. 【数学理卷2015届广东省中山一中等七校高三第二次联考（201412）】13.已知为平面内的一个区域.:点；:点.如果是的充分条件,那么区域的面积的最小值是_【知识点】充分不必要条件 线性规划 A2 E5【答案】【解析】2解析：命题P对应的平面区域为B阴影部分：如图则由题意可知由，即，所以三角形的面积为，是的充分条件,那么区域的面积的最小值是2，故选择2.【
11、思路点拨】先利用线性规划作出不等式组对应的平面区域B，然后利用是的充分条件，确定平面区域A与B之间的面积关系【数学理卷2015届山东省日照市日照一中高三12月校际联合检测（201412）】10.已知实数满足约束条件若，设表示向量在向量方向上射影的数量，则z的取值范围是A.B.C.D.【知识点】简单线性规划；平面向量数量积的运算E5 F3【答案】【解析】C 解析：画出约束条件的可行域，由可行域知：时，向量在方向上的射影的数量最大，此时，所以向量在方向上的射影的数量为；当时，向量在方向上的射影的数量最小，此时，所以向量在方向上的射影的数量为.所以的取值范围是.【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域
12、，利用向量投影的定义计算z的表达式，利用数形结合即可得到结论.【数学理卷2015届四川省德阳市高三第一次诊断考试（201412）word版】13某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，每天生产甲、乙两种产品总耗时不超过8小时，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，那么该工厂每天可获取的最大利润为 万元。【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】14【解析】由题意，设生产x件A产品，y件B产品，最大利润为z，则目标函数为z=2x+3y，由，可得
13、利用线性规划可得x=4，y=2时，此时该厂的日利润最大为14万元【思路点拨】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值【数学文卷2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】5、已知、满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是 A B C D【知识点】线性规划E5【答案】【解析】B解析：画出满足的可行域如下图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得所以，故选择B.【思路点拨】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域，由可得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大，可求的最大值与最小值，即
14、可求解a.【数学文卷2015届广东省中山一中等七校高三第二次联考（201412）】4 已知实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A24 B20 C16 D12【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】B解析：目标函数在点处取得最大值20,故选B【思路点拨】目标函数可转化为，求此直线纵截距的最大值即可.【数学文卷2015届山东省日照市日照一中高三12月校际联合检测（201412）】9.实数满足，若的最大值为13，则实数k的值是A.2B.C.D.5【知识点】简单线性规划.E5【答案】【解析】C 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，所以直线的截距最大，对应的也取得最大值，即平面区域在直线的下
15、方，且(当时，经验证不合题意).平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大， 此时取最大值13，由解得，即，此时，解得故选C.【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论【数学文卷2015届安徽省屯溪一中高三第四次月考（201412）】7、若目标函数满足约束条件且 最大值为40，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 1【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】C 解析：不等式表示的平面区域阴影部分，当直线过直线与直线的交点（8，10）时，目标函数取得最大40，即，而故选B【思路点拨】先根据条件画出可行域，设，再利用几何意义求最值，
16、将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可【数学文卷2015届四川省德阳市高三第一次诊断考试（201412）word版】13已知实数x,y满足，z=2x+y的最大值为 。【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】8【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y，得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，2），此时z=23+2=8，【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，
17、进行平移即可得到结论E6基本不等式【数学理卷2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412）】6.点在直线上移动，则的最小值是 （ ）A.8 B. 6 C. D.【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】C 解析：因为，当且仅当a=2b时等号成立，所以选C .【思路点拨】利用指数的运算发现所求式子两个加项之积为定值，直接利用基本不等式求最值即可.【数学理卷2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】7、若正数a，b满足，则的最小值A1 B6 C9 D16【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】B解析：正数，满足，解得同理，所以，当且仅当，即等号成立，所以最小值为6故选择B.【思
18、路点拨】根据已知可得，代入，整理可得，可得结果.【数学理卷2015届河南省洛阳市高三第一次统一考试（201412）】10.曲线 在点 处的切线为 若直线与x，y轴的交点分别为A，B，则OAB的 周长的最小值为 A. B. C.2 D. 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6【答案】【解析】A 解析：，即，可得A(,0)，B(0, )，OAB的周长，当且仅当时等号成立.故选 A. 【思路点拨】由导数的几何意义得直线的方程，从而求得A 、B的坐标，进而用表示OAB的周长，再用基本不等式求得周长的最小值. 【数学文卷2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412） (1)】
19、6.点在直线上移动，则的最小值是（ ）A.8 B. 6 C. D.【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】C 解析：因为，当且仅当a=2b时等号成立，所以选C .【思路点拨】利用指数的运算发现所求式子两个加项之积为定值，直接利用基本不等式求最值即可.【数学文卷2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】7、若正数a，b满足，则的最小值A1 B6 C9 D16【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】B解析：正数a，b满足，解得同理，所以，当且仅当，即等号成立，所以最小值为6故选择B.【思路点拨】根据已知可得，代入，整理可得，可得结果.【数学文卷2015届山东省日照市日照一中高三12月
20、校际联合检测（201412）】20.（本小题满分13分）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（I）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用B10 E6【答案】【解析】（）元；（）吨 解析：（）当时
21、，设该项目获利为，则 . 4分所以当时，.因此，该项目不会获利.当时，取得最大值，所以政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损. 6分（）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为： . 8分 当时， 所以当时，取得最小值; 10分 当时， 当且仅当，即时，取得最小值 因为，所以当每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 13分【思路点拨】（）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；（）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论E7 不等式的证明方法【数学理卷2015届河南省洛阳市高三第一次统一考试（20141
22、2）】22.（本小题满分12分）已知函数 (1)若函数 为 上的单调函数，求实数m的取值范围；(2)求证： 【知识点】导数的应用；放缩法证明不等式. B12 E7 【答案】【解析】(1) m1；(2)证明：见解析. 解析：（1）,在上为单调函数， 恒成立，或恒成立.-2分即恒成立，或恒成立.不能恒成立.而1+x1, m1时f(x)为单调递减函数.综上，m1.-4分（2）由（1）知，m=1时f(x)在上为减函数，f(x)f(0),即，-6分，-8分令，则，在为减函数，g(x)g(0),.即sinxx,x，.-10分=即.-12分【思路点拨】(1)由为 上的单调函数得，恒成立，或恒成立. 然后采用
23、分离常数法求得实数m的取值范围；（2）由（1）知，m=1时f(x)在上为减函数，f(x)f(0),即，.sinxx,x，.=即.【典例剖析】一般情况下，一个大题的几个小问题是相互关联的，本题第二问的证明，如何利用第一问的结论，及不等式sinxx,x，是本题的关键. E8不等式的综合应用【数学理卷2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】17、已知函数，对，有恒成立，则实数的取值范围为 【知识点】不等式恒成立问题 E8【答案】【解析】解析：因为，有恒成立，即，整理可得，令，上式为，所以因为，所以，故答案为【思路点拨】根据题意可得，即，令，整理可得，因为，所以.【数学理卷2015届河
24、北省衡水中学高三上学期四调考试（201412）word版】24（本小题满分10分） 设函数（1）当a=4时，求不等式，的解集：（2）若的取值范围，【知识点】不等式选讲；不等式恒成立问题. N4 E8【答案】【解析】(1) ；(2) 或.解析：（1）当a=4时，不等式为，所以或或，解得或故不等式的解集为.-5分（2）因为(当x=1时等号成立)-8分所以，由题意得，解得或.-10分【思路点拨】（1）分段讨论解绝对值不等式；（2）利用绝对值不等式的性质：得，由题意得，解得或. 【数学文卷2015届广东省中山一中等七校高三第二次联考（201412）】13设.若是 与的等比中项，则的最小值为【知识点】均
25、值不等式E8【答案】【解析】 解析：由题意知，又，所以，所以的最小值为.【思路点拨】由题意得，又，即可利用均值不等式求解.【选做题】从14、15题中选做1题，多做只计14题得分！E9 单元综合【数学理卷2015届安徽省屯溪一中高三第四次月考（201412）】20（本小题满分13分）现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为.(1) 求出、的值，并写出与的关系式；(2) 证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；(3) 当时，证明：.【知识点】数列与不等式的综合D5 E9【答案】【解析】(1) ,， ;(2) (3) 见解析. 解析：（1）,， 第次传球后，不同传球方式种数为，不在甲手中的种数为，当时， 5分（2）由=得，又，则数列是以为首项，为公比的等比数列.从而，故. 9分（3）.当为奇数时, 则为偶数 当为偶数时, 则为奇数,从而 综上，当时,. 分【思路点拨】（1）第次传球后，不同传球方式种数为，不在甲手中的种数为，由此能求出,，即可写出与的关系式（2）由=得，由此能证明数列是以为首项，为公比的等比数列.，从而能求出（3）当为奇数时, 则为偶数，；当为偶数时, 则为奇数,从而 ，由此能证明当时,.
