1、第三章综合能力测试本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分时间120分钟，满分150分第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1对于概率是1的事件，下列说法正确的是()A概率太小，不可能发生B1 000次中一定发生1次C1 000人中，999人说不发生，1人说发生D1 000次中有可能发生1 000次答案D解析概率是1是说明发生的可能性是1，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小，故选D.2.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件
2、是()A至少有1个黑球与都是黑球B至少有1个黑球与至少有1个红球C恰有1个黑球与恰有2个黑球D至少有1个黑球与都是红球答案C解析“从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球”这一事件共包含3个基本事件，关系如图所示. 显然恰有1个黑球与恰有2个黑球互斥但不对立3从装有大小相同的3个红球和2个白球的口袋内任取1个球，取到白球的概率为()A.B.CD.答案D解析任取1球，有5种取法，取到1个白球有两种可能，所以取到白球的概率为.4某产品的设计长度为20 cm，规定误差不超过0.5 cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：长度(cm)19.5以下19.520.520.5以上件数5687则
3、这批产品的不合格率为()A.B.CD.答案D解析P.5若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.CD.答案B解析总面积212.半圆面积12.p.6将一枚均匀的硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面向上的概率是()A.B.CD.1答案C解析将一枚硬币先后抛掷两次包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)4种可能的结果，至少出现一次正面向上包含了3个基本事件，故所求概率为.7(2015福建文，8)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图像上若在矩形ABCD内
4、随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.B.CD.答案B解析由已知得，B(1,0)，C(1,2)，D(2,2)，F(0,1)(F为f(x)与y轴的交点)，则矩形ABCD面积为326，阴影部分面积为31，故该点取自阴影部分的概率等于.8甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是()A.B.CD.答案C解析不妨设两间空房为A、B，则甲、乙两人随意入住的所有可能情况为：甲、乙都住A；甲、乙都住B；甲住A，乙住B；甲住B，乙住A共4种情况其中甲、乙两人各住一间的情形有2种，故所求的概率P.9从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率
5、是()A.B.CD.答案A解析从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条总共有4种情况，依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P.10.袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是的是()A颜色全相同B.颜色不全相同C颜色全不相同D.无红颜色球答案B解析共有33327种可能，而颜色全相同有三种可能，其概率为.因此，颜色不全相同的概率为1，故选B.11如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A1B.C.D.答案A解析本题考查几
6、何概型的计算方法设图中阴影面积为S1，S2，令OAR，S2S1()20，即S2S1，由图形知，S12(S扇ODCSODC)2()2，P1，充分利用图形的对称性才能求出阴影部分的面积12.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.答案D解析本题主要考查古典概型概率的求法，关键是求出可能结果的种数4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况共有2416种，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，所求概率为1. 第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13口袋中
7、装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是_答案0.32解析白球个数为1000.2323，黑球个数为100452332，所以摸出黑球的概率为0.32.14若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2y225外的概率是_答案解析基本事件空间含有36个基本事件，而“点P落在圆x2y225外”含有21个基本事件，所以概率为.15同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为偶数的概率为_答案解析同时抛掷两个骰子，有6636种不同结果，朝上一面的点数之积是奇数，当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有339个不同结
8、果，“朝上一面点数的积为奇数”的概率P，其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为1.16小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_答案解析本题主要考查几何概型去看电影的概率P1；去打篮球的概率P2.小波不在家看书的概率P.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂现
9、有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率解析设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B.六种添加剂中任选两种有15种不同选法(1)芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)，(1,3)，故P(A).(2)芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的法取有1种：(0,2)，所以事件B的对立事件是“所选用的两种不同的
10、添加剂的芳香度之和小于3”，所以P()，故P(B)1P().18(本小题满分12分)现从A，B，C，D，E五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会均等求：(1)A被选中的概率；(2)A和B同时被选中的概率；(3)A或B被选中的概率解析基本事件有“ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，CDE，BCD，BCE，BDE，ADE”共10个(1)事件A被选中包含6个基本事件，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE.P10.6.(2)事件A和B同时被选中包含3个基本事件，即ABC，ABD，ABE，P20.3.(3)A、B都不被选中只有事件CDE一种，所以事件A或B被选中包含9个基本事件
11、，P30.90.19(本小题满分12分)袋中有红、黄2种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取两次求：(1)两次全是红球的概率；(2)两次颜色相同的概率；(3)两次颜色不同的概率解析因为是有放回地抽取两次，所以每次取到的球可以都是红球，也可以都是黄球把第一次取到红球，第二次取到红球简记为(红，红)，其他情况用类似记法，则有放回地抽取2次，所有的基本事件有4个，分别是：(红，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黄)(1)两次全是红球的概率是P1.(2)“两次颜色相同”包含“两次都是红球”与“两次都是黄球”这两个事件互斥，因此两次颜色相同的概率是P2.(3)“两次颜色不同”与“两次颜色相同
12、”是对立事件，所以两次颜色不同的概率是P31.点拨：可用枚举的方法把所有基本事件列举出来，解(2)、(3)可以考虑用互斥、对立事件求解20.(本小题满分12分)(2015北京文，17)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解析(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时
13、购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大21.(本小题满分12分)已知关于x的一元二次方程x22(a2)xb2160.(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数
14、，求方程有两正根的概率；(2)若a2,6，b0,4，求方程没有实根的概率分析分别利用古典概型与几何概型的概率公式求解解析(1)易知基本事件(a，b)共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a20,16b20，0，即a2，4b4，(a2)2b216，设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A).(2)试验的全部结果构成区域为(a，b)|2a6,0b4，a，bN*，其面积为16.设“方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为(a，b)|2a6,0b4，(a2)2b21”的概率解析(1)由题中的直方图知
15、，成绩在14,16)内的人数为50(0.161)50(0.381)27，所以该班成绩良好的人数为27.(2)设事件M：“|mn|1”由频率分布直方图知，成绩在13,14)的人数为500.0613，设这3人分别为x，y，z；成绩在17,18)的人数为500.0814，设这4人分别为A，B，C，D.若m，n13,14)时，则有xy，xz，yz共3种情况；若m，n17,18时，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；若m，n分别在13,14)和17,18内时，此时有|mn|1.ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD共有12种情况所以基本事件总数为361221种，则事件“|mn|1”所包含的基本事件个数有12种. 所以P(M).
