1、广东省东莞市光明中学2021届高三数学上学期期中试题（全卷满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、集合，集合，则集合（ ）ABCD2、已知复数，则复数的共轭复数（ ）ABCD3、已知直线平面，则“”是“直线平面”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4、函数在的图象大致为ABCD5、洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四
2、个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（）ABCD6、已知等差数列的前项和为，则的值等于（ ）A21B1C-42D07、已知，则（ ）ABCD8、已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是( )A B C D二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分.9、如图所示，在长方体，若，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是（ ）A与垂直B平面C与所成的角为D平面10、已知函数 的图象关于直线对称，则（ ）A函数为奇函数B函数在上单调递増C若，则的最小值为D函
3、数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象11、下列结论中正确的有A. 若a，b为正实数,，则 B. 若a，b，m为正实数，则C. 若，则 D. 当时，的最小值为12、已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则下列命题正确的是（ ）A当时， B函数有3个零点C的解集为 D，都有三、 填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.其中16题第一空3分，第二空2分。13、已知随机变量服从正态分布,且，则_14、(12x)5的展开式中，x2的系数为_.15、已知三棱柱的侧棱垂直底面，且所有顶点都在同一个球面上，则球的表面积为_.16、如图，在中，点在线段上移动(不含端点)，若，则_，的最小值是_.四、解答题
4、：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题10分）已知分别为内角的对边试从下列条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答；.(1)求角 (2)若,求的面积.18、 （本小题12分）已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，恰为等比数列的前三项（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为19、 （本小题12分）某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结
5、果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人（1）完成下列22列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工男性员工合计100（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”,现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望20、（本小题12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，且，（1）证明：平面；（2）求钝二面角的余弦值21、（本小题12分）已知数列的前n项和为，且其中为常数求的值及数列的通项公式；记，数列
6、的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围22、（本小题12分）已知函数.（）当=时，求曲线的单调减区间（）若有两个极值点，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围2021届光明中学高三年级期中（第五次）考试数学科试卷（全卷满分150分，考试用时120分钟）命题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、集合，集合，则集合（ ）ABCD【答案】D【详解】因为，所以，2、已知复数，则复数的共轭复数（ ）ABCD【答案】D【解析】因为 ，所以，故选D.3、已知直线平面，则“”是“直线平面”的（ B ）A充分不必要条件B必要不
7、充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4、函数在的图象大致为ABCD【答案】A【解析】设，则，故为上的偶函数，故排除B又，排除C、D5、洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（）ABCD【解答】解：阴数为：2，4，6，8，阳数为：1，3，5，7，9，各选一个数，其和能被5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7所以能被5整除的概率，故选：C6、已知等差数列的前项和为，则的值等于
8、（ ）A21B1C-42D0【答案】D【解析】设数列公差为，则，因为，所以，故选：D7、已知，则（ B ）ABCD8、已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是A B C D.【答案】A【解析】当时，当时，当时，又当时，所以根据周期为1可得时的图象，故的图象如图所示：函数的图象恒过，因为与的图象有两个不同的交点，所以，又，故，所以，故选A.四、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分.9、如图所示，在长方体，若，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是（ ）A与垂直B平面C与所成的角为
9、D平面【答案】ABD【详解】连接、，则为的中点，对于A选项，平面，平面，、分别为、的中点，则，A选项正确；对于B选项，四边形为正方形，则，又，平面，平面，B选项正确；对于C选项，易知为等边三角形，则，则与所成的角为，C选项错误；对于D选项，平面，平面，平面，D选项正确. 故选：ABD.10、已知函数 的图象关于直线对称，则（ ）A函数为奇函数B函数在上单调递増C若，则的最小值为D函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象【答案】AC【详解】因为的图象关于直线对称，所以 ，得，因为 ，所以，所以，对于A：，所以为奇函数成立，故选项A正确；对于B：时，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；对于C：
10、因为，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到，故选项D不正确；故选：AC11、下列结论中正确的有A. 若a，b为正实数,，则B. 若a，b，m为正实数，则C. 若，则D. 当时，的最小值为【答案】CD解：对于A，若为正实数，故，故A错误对于B，若a，b，m为正实数，则，则，故B错误对于C，若，则，故C正确对于D，当时，当且仅当时等号成立，故D正确，故选CD12、已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则下列命题正确的是（ ）A当时，B函数有3个零点C的解集为D，都有【答案】BCD【详解】对于A，当时，则由题意得， 函数是奇函数， ，且时，A错；，
11、对于B，当时，由得，当时，由得， 函数有3个零点，B对；对于C，当时，由得，当时，由得， 的解集为，C对；对于D，当时，由得，由得，由得， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上有最小值，且，又 当时，时，函数在上只有一个零点，当时，函数的值域为，由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为， 对，都有，D对；故选：BCD五、 填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.其中16题第一空3分，第二空2分。13、已知随机变量服从正态分布,且，则_0.2_【详解】随机变量服从正态分布N（1，o2），正态曲线的对称轴是x1P（X2）0.7，P（1X2）0.7-0.5=0.2，P（0X1）P（1X2）
12、0.2，故答案为0.214、(12x)5的展开式中，x2的系数为_.【解析】Tr1C(2x)rC2rxr，当r2时，x2的系数为C2240.15、已知三棱柱的侧棱垂直底面，且所有顶点都在同一个球面上，则球的表面积为_.【答案】【详解】设的外接圆的圆心为D，半径为r，球的半径为R，球心为O，在中，则，球心与所在面的圆心的连线OD垂直于所在面，易知,在中，球的面积为.故答案为：16、如图，在中，点在线段上移动(不含端点)，若，则_，的最小值是_.【详解】由题可知，设，则，所以，而，可得：，所以，所以当时，取得最小值.故答案为：2；.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或
13、演算步骤.17、（本小题10分）已知分别为内角的对边试从下列条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答；.(1)求角 (2)若,求的面积.【解析】（1）选择根据正弦定理得.从而可得，.1根据余弦定理， .2解得， .3因为，.4故.5选择根据正弦定理有， .1即即，.2因为，故，从而有， .3因为，.4故.5（2）根据余弦定理得，得，.6即，解得，.8又因为的面积为， 故的面积为.1018、（本小题12分）已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，恰为等比数列的前三项（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为【解析】（1）由题意，得，.2由，得，.3所以.4
14、由，得公比，.5所以.6（2） 因为，.7所以.8得.9-得.11所以.1220、 （本小题12分）某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人（1）完成下列22列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工男性员工合计100（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，
15、这10名中有3名属于“追光族”,现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望【答案】解：由题，列联表如下：属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100.3，。.5没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关.6由题，随机变量X所有可能的取值为0，1，2，3，.7，.9的分布列为X0123P.11.1220、（本小题12分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，且，（1）证明：平面；（2）求钝二面角的余弦值【详解】（1）取的三等分点，连结，.1则又因为，所以. .2因为，所以，四边形是平行四边形
16、所以，.3又平面平面，平面PAD，.4所以平面.5（2）因为，所以，所以，因为，所以平面.6分别以，为轴轴轴，建立空间坐标系，.7，.8，设平面的法向量为，则，即，.9，设平面的法向量为，即，.10所以.11二面角的余弦值为.1221、（本小题12分）已知数列的前n项和为，且其中为常数求的值及数列的通项公式；记，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围【答案】解：且，解得当时，由可得数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列的通项公式；.5记，.6数列的前n项和为，.7不等式对任意恒成立不等式对任意恒成立对任意恒成立.8当n为偶数时，时，取最大值，.9当n为奇数时，令，则可得，且.11综上，.1222、（本小题12分）已知函数.（）当=时，求曲线的单调减区间（）若有两个极值点，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围详解：（ ）（2），有两个极值点且是方程的两正根，.5不等式恒成立，即恒成立，.6 ，.7由得 .8 令 令 ，即得 即 在上是减函数， 故 .12点睛：等价转化是解决本题的关键，导数是研究函数性质的基本工具，已知不等式的恒成立，求解参数的取值范围，分离变量，构造函数，求的最值问题
