1、基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题第3讲基本不等式及其应用基础诊断考点突破课堂总结(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号(3)其中_称为正数a，b的算术平均数，_称为正数a，b的几何平均数知 识 梳 理1基本不等式：abab2abab2ab基础诊断考点突破课堂总结2几个重要的不等式(1)重要不等式：a2b2_(a，bR)当且仅当ab时取等号2ab(2)abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号(3)a2b22ab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号(4)baab_(
2、a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号2基础诊断考点突破课堂总结3利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最_值是_(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当_时，xy有最_值是_(简记：和定积最大)xy小2 pxy大s24基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)当 a0，b0 时，ab2 ab.()(2)两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件是相同的()(3)函数 yx1x的最小值是 2.()(4)x0 且 y0 是xyyx2 的充要条件()基础诊断考点突破
3、课堂总结2若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()答案 DAa2b22abBab2 abC.1a1b 2abD.baab2解析 a2b22ab(ab)20，A 错误对于 B，C，当 a0，b0 时，明显错误 对于 D，ab0，baab2baab2.基础诊断考点突破课堂总结3(2015郑州模拟)设 a0，b0.若 ab1，则1a1b的最小值是()A2 B.14C4 D8解析 由题意1a1baba abb 2baab22baab4，当且仅当baab，即 ab12时，取等号，所以最小值为 4.答案 C基础诊断考点突破课堂总结4(2014上海卷)若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值
4、为_解析 x22y22 x22y22 2xy2 2，当且仅当 x 2y 时取“”，x22y2 的最小值为 2 2.答案 2 2基础诊断考点突破课堂总结5(人教A必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m则 x2y30，所以Sxy12x(2y)12x2y222252，当且仅当 x2y，即x15，y152 时取等号答案 15 152基础诊断考点突破课堂总结考点一 利用基本不等式证明简单不等式【例1】已知x0，y0，z0.求证：yxzx xyzy xzyz 8.证明 x0
5、，y0，z0，yxzx2 yzx 0，xyzy2 xzy0，xzyz2 xyz0，yxzx xyzy xzyz 8 yz xz xyxyz8，当且仅当 xyz 时等号成立基础诊断考点突破课堂总结规律方法 利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】已知 a0，b0，c0，且 abc1.求证：1a1b1c9.证明 a0，b0，c0，且 abc1，1a1b1cabcaabcbabcc3bacaabcbacbc3baab caac cbbc32229，当且仅当 abc
6、13时，取等号基础诊断考点突破课堂总结考点二 利用基本不等式求最值【例2】解答下列问题：(1)已知a0，b0，且4ab1，求ab的最大值；(2)若正数x，y满足x3y5xy，求3x4y的最小值；(3)已知 x54，求 f(x)4x214x5的最大值；(4)已知函数f(x)4xax(x0，a0)在x3时取得最小值，求 a 的值深度思考 解决与基本不等式有关的最值问题，你学会“配凑”了吗？(利用基本不等式求解最值问题，要根据代数式或函数解析式的特征灵活变形，凑积或和为常数的形式；条件最值问题要注意常数的代换，凑成基本不等式的形式求解最值)基础诊断考点突破课堂总结解(1)法一 a0，b0，4ab1，
7、14ab2 4ab4 ab，当且仅当 4ab12，即 a18，b12时，等号成立 ab14，ab 116.所以 ab 的最大值为 116.法二 a0，b0，4ab1，ab144ab144ab22 116，当且仅当 4ab12，即 a18，b12时，等号成立所以 ab 的最大值为 116.基础诊断考点突破课堂总结(2)由 x3y5xy，得3x1y5(x0，y0)，则 3x4y15(3x4y)3x1y151312yx 3xy 1513212yx 3xy15(1312)5，当且仅当12yx 3xy，即 x2y 时，等号成立，此时由x2y，x3y5xy，解得x1，y12.基础诊断考点突破课堂总结(3)
8、因为 x54，所以 54x0，则 f(x)4x214x5(54x154x)3231.当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立故 f(x)4x214x5的最大值为 1.(4)f(x)4xax24xax4 a，当且仅当 4xax，即 4x2a 时 f(x)取得最小值又x3，a43236.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本
9、不等式常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)(2014闽南四校联考)设 a0，若关于 x 的不等式xax4 在 x(0，)上恒成立，则 a 的最小值为()A4 B2 C16 D1 (2)设 0 x52，则函数 y4x(52x)的最大值为_(3)设 x1，则函数 y（x5）（x2）x1的最小值为_基础诊断考点突破课堂总结(2)因为 0 x52，所以 52x0，所以 y4x(52x)22x(52x)22x52x22252，当且仅当 2x52x，即 x54时等号成立，故函数 y4x(52x)的最大值为252.解析(1)因
10、为 x0，a0，所以 xax2 a，要使 xax4 在 x(0，)上恒成立，则需 2 a4，所以 a4，从而 a 的最小值为 4，故选 A.基础诊断考点突破课堂总结(3)因为 x1，所以 x10，所以 y（x5）（x2）x1x27x10 x1（x1）25（x1）4x1x1 4x15 2（x1）4x159，当且仅当 x1 4x1，即 x1 时等号成立，故函数 y（x5）（x2）x1的最小值为 9.答案(1)A(2)252 (3)9基础诊断考点突破课堂总结考点三 基本不等式的实际应用【例 3】(2014银川模拟)运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50 x100
11、(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油2 x2360 升，司机的工资是每小时 14 元(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值基础诊断考点突破课堂总结解(1)设所用时间为 t130 x(h)，y130 x 22 x2360 14130 x，x50，100所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y13018x2130360 x，x50，100(或 y2 340 x1318x，x50，100)基础诊断考点突破课堂总结(2)y13018x2130360 x26 10，当且仅当13018x2130
12、360 x，即 x18 10时，等号成立故当 x18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元基础诊断考点突破课堂总结规律方法 有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解基础诊断考点突破课堂总结(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至
13、少补贴多少元才能使该单位不亏损？【训练 3】首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx12x80 000 x200212x80 000 x200200，当且仅当12x80 000
14、x，即 x400 时等号成立，故该单位月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元(2)不获利设该单位每月获利为 S 元，则 S100 xy100 x12x2200 x80 000 12x2300 x80 00012(x300)235 000，因为 x400，600，所以 S80 000，40 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不亏损.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：abab22a2b22，abab2 a2b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件基础诊断考点突破课堂总结易错防范1.注意基本不等式成立的条件是a0，b0，若a0，b0，应先转化为a0，b0，再运用基本不等式求解2.“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误.3.有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致.
