1、基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形基础诊断考点突破课堂总结1正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则知 识 梳 理定理 正弦定理 余弦定理 内容 a2_；b2_；c2_ asin A_2Rbsin Bcsin Cb2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C基础诊断考点突破课堂总结常见 变形(1)a2Rsin A，b_，c_；(3)abc_ _；(4)a
2、sin Bbsin A，bsin CcsinB，asin Ccsin A cos A_；cos B_；cos C_ 2Rsin B2Rsin C(2)sin A a2R，sin B_，sin C c2R；b2Rsin Asin Bsin Cb2c2a22bcc2a2b22aca2b2c22ab基础诊断考点突破课堂总结3实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫仰角，目标视线在水平视线_叫俯角(如图1)2.SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R12(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，
3、r.上方下方基础诊断考点突破课堂总结(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图2)(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)在ABC 中，AB 必有 sin Asin B()(2)在ABC 中，a 3，b 2，B45，则 A60或120.()(3)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为 180.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均
4、是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，2.()基础诊断考点突破课堂总结2(2014江西卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c.若 3a2b，则2sin2Bsin2Asin2A的值为()A.19B.13C1 D.72解析 由正弦定理知，2sin2Bsin2Asin2A2b2a2a2 2ba21，又知 3a2b，所以ba32，2sin2Bsin2Asin2A2322172，故选 D.答案 D基础诊断考点突破课堂总结3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在
5、B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 2海里B10 3海里C20 3海里D20 2海里基础诊断考点突破课堂总结解析 如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30，ACB45 ，根 据 正 弦 定 理 得BCsin 30 ABsin 45，解得 BC10 2(海里)答案 A基础诊断考点突破课堂总结4(2014福建卷)在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_解析 由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcos A，所以 12AB2162AB4cos 60，解得 AB2，所以 SABC12ABACsin A1224sin 602
6、 3.答案 2 3基础诊断考点突破课堂总结5(人教A必修5P10B2改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_ 答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 基础诊断考点突破课堂总结考点一 正、余弦定理的简单运用【例1】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若 a2 3，b 6，A45，则 c_(2)若(abc)(abc)ac，则 B_深度思考 已知两边及其中一边所对的角求另一边可采用正弦
7、定理也可用余弦定理来解决，不妨两种方法你都体验一下吧！解析(1)法一 在ABC 中，由正弦定理得 sin Bbsin Aa6 222 312，因为 ba，所以 BA，所以 B30，基础诊断考点突破课堂总结C180AB105，sin Csin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 606 24.故 casin Csin A 2 3 6 2422 33.基础诊断考点突破课堂总结法二 在ABC 中，根据余弦定理可得 a2b2c22bccos A，即 c22 3c60，所以 c 33.因为 c0，所以 c 33.(2)因为(abc)(abc)ac，所以 a2c2b2ac.
8、由余弦定理的推论得 cos Ba2c2b22ac12，所以 B23.答案(1)3 3(2)23基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是()A钝角三
9、角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形(2)(2014绍兴模拟)在ABC 中，A60，b1，SABC 3，则abcsin Asin Bsin C_解析(1)由 2c22a22b2ab，得 a2b2c212ab，所以 cos Ca2b2c22ab12ab2ab 140，所以 90C180，即ABC 为钝角三角形 基础诊断考点突破课堂总结(2)SABC12bcsin Ac2 32 3，c4，a2b2c22bccos A12422411213，a 13，asin Absin Bcsin C2R(R 是ABC 的外接圆的半径)abcsin Asin Bsin C2Rasin A13sin 602 3
10、93.答案(1)A(2)2 393基础诊断考点突破课堂总结考点二 正、余弦定理的综合运用【例 2】(2014山东卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 a3，cos A 63，BA2.(1)求 b 的值；(2)求ABC 的面积解(1)在ABC 中，由题意知，sin A 1cos2A 33，因为 BA2，所以 sin BsinA2 cos A 63.由正弦定理，得 basin Bsin A 3 63333 2.基础诊断考点突破课堂总结(2)由 BA2，得 cos BcosA2 sin A 33.由 ABC，得 C(AB)所以 sin Csin(AB)sin(AB)si
11、n Acos Bcos Asin B 33 33 63 63 13.因此ABC 的面积 S12absin C1233 2133 22.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(2014重庆卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc8.(1)若 a2，b52，求 cos C 的值；(2)若 sin Acos2B2sin Bcos2A22sin C，且ABC 的面积 S92sin C，求
12、 a 和 b 的值解(1)由题意可知 c8(ab)72.由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab22522722225215.基础诊断考点突破课堂总结(2)由 sin Acos2B2sin Bcos2A22sin C 可得：sin A1cos B2sin B1cos A22sin C，化简得 sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C.因为 sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所以 sin Asin B3sin C.由正弦定理可知 ab3c.又因为 abc8，故 ab6.由于 S12absin C92sin C，所以 ab9，从而
13、a26a90，解得 a3，b3.基础诊断考点突破课堂总结考点三 正、余弦定理在实际问题中的应用【例 3】如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45方向距 A 为(31)海里的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75方向，距 A 为 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：62.449)基础诊断考点突破课堂总结解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则有 CD10 3t(海里)，BD10t(海里)在ABC
14、 中，AB(31)海里，AC2 海里，BAC4575120，根据余弦定理，可得BC（31）22222（31）cos 1206(海里)根据正弦定理，可得sinABCACsin 120BC2 326 22.基础诊断考点突破课堂总结ABC45，易知 CB 方向与正北方向垂直，从而CBD9030120.在BCD 中，根据正弦定理，可得sinBCDBDsinCBDCD10tsin 12010 3t12，BCD30，BDC30，BDBC 6(海里)，则有 10t 6，t 6100.245 小时14.7 分钟故缉私船沿北偏东 60方向，需 14.7 分钟才能追上走私船基础诊断考点突破课堂总结规律方法 解三角
15、形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(2014新课标全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.基础诊断考点突破课堂总结解
16、析 在 RtABC 中，CAB45，BC100 m，所以 AC100 2(m)在AMC 中，MAC75，MCA60，从而AMC45，由正弦定理，得ACsin 45AMsin 60，因此 AM100 3(m)在 RtMNA 中，AM100 3 m，MAN60，由MNAMsin 60，得 MN100 3 32 150(m)答案 150基础诊断考点突破课堂总结微型专题 解三角形中的向量法解三角形问题是历年高考的必考内容，其实质是将几何问题转化为代数问题及方程问题解答这类问题的关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序，将三角形中的边角关系进行互化解三角形问题的一般解题策略有：公式法、边角
17、互化法、构造方程法、向量法、分类讨论法等基础诊断考点突破课堂总结【例4】已知ABC顶点的坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(5，0)，则sin A的值为_ 点拨 先把坐标用向量来表示，再利用向量的数量积求解即可解析 因为AB(3，4)，AC(2，4)，所以AB AC 61610，|AB|（3）2（4）25，|AC|22（4）22 5.基础诊断考点突破课堂总结所以 cosAB，AC AB AC|AB|AC|1010 5 55.即 cos A 55，因为 0A，所以 sin A2 55.答案 2 55基础诊断考点突破课堂总结点评 本题的求解如果不采用向量法，难度就加大了，需要先作出图形，求得
18、角A一邻边上的高，不仅计算量加大，题目也变得复杂而采用向量法就很轻易地实现几何问题代数化，计算量大大降低，很容易求得结果.基础诊断考点突破课堂总结思想方法正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系一般地，利用公式 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R 为ABC 外接圆半径)，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三 角 形 内 角 和 定 理 A B C .利 用 公 式 cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边基础诊断考点突破课堂总结易错防范1在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解)2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制3解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错
