1、2021年上海市嘉定区高考数学三模试卷一、填空题（共12题，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1已知集合A1，2m1，Bm2，若BA，则实数m 2计算： 3若复数z（1+i）i（其中i为虚数单位），则共轭复数 4不等式ln2xlnx20的解集是 5已知x，y满足，则zy+2x的最小值为 6若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为 7在ABC中，AB2，AC3，且ABC的面积为，则BAC 8展开式中的常数项为 9设椭圆：1（a1），直线l过的左顶点A交y轴于点P，交于点Q，若AOP为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是AP的中点，则的长轴长等于 10有大小相同的
2、红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是 11若圆O的半径为2，圆O的一条弦AB长为2，P是圆O上任意一点，点P满足，则的最大值为 12已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21再接下来的三项是20，21，22，依此类推若该数列的前n项和为2的整数幂，如，则称中的（n，k）为“一对佳数”，当n100时，首次出现的“一对佳数”是 二、选择题（共有4题，选对得5分，否则一律得零分）13已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b
3、1y+c10，l2：a2x+b2y+c20，那么“0是“两直线l1，l2平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件14设抛物线y28x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（）A等于10B大于10C小于10D与l的斜率有关15曲线y（sinx+cosx）2和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，则|P2P4|等于（）AB2C3D416设函数yf（x）、yg（x）的定义域、值域均为R，以下四个命题：若yf（x）、yg（x）都是R上的递减函数，则yf（g（x）是R上的递增函数；若y
4、f（x）、yg（x）都是奇函数，则yf（g（x）是偶函数；若yf（g（x）是周期函数，则yf（x）、yg（x）都是周期函数；若yf（g（x）存在反函数，则yf（x）、yg（x）都存在反函数其中真命题的个数是（）A0B1C2D3三、解答题（满分76分，共有5题）17如图，在四棱雉锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD90，ABADAP2，BC1，且Q为线段BP的中点（1）求直线CQ与PD平面所成角的大小；（2）求直线CQ与平面ADQ所成角的大小18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且2cos2cosBsin（AB）sinB+cos（A+C）（
5、1）求cosA的值；（2）若a4，b5，求B和c19数学建模小组检测到相距3米的A，B两光源的强度分别为a，b，异于A，B的线段AB上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设ACx米（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数k（k0），测得数据：当x1时，；当x2时，y3k，求A，B两处的光强度，并写出函数yf（x）的解析式；（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数k（k0），测得数据：当x1时，；当x2时，y2k，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度20（16分）在直角坐标系xOy中，直线y2x是双
6、曲线的一条渐近线，点A（1，0）在双曲线C上，设M（m，n）（n0）为双曲线上的动点，直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q（1）求双曲线C的方程；（2）在x轴上是否存在一点T？使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求M点的坐标，使得MPQ的面积最小21（18分）对于数列an，若存在常数M0对任意nN*恒有|an+1an|+|anan1|+|a2a1|M，则称an是“数列”（1）首项为a1，公差为d的等差数列是否是“数列”？并说明理由；（2）首项为a1，公比为q的等比数列是否是“数列”？并说明理由；（3）若数列an是数列，证明：也是“数列”
7、，设，判断数列An是否是“数列”？并说明理由参考答案一、填空题（1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1已知集合A1，2m1，Bm2，若BA，则实数m1解:BA，且m21，m22m1，m12计算：3解：故答案为：33若复数z（1+i）i（其中i为虚数单位），则共轭复数1i解：由已知得，z（1+i）i1+i，则1i，故答案为：1i4不等式ln2xlnx20的解集是（1，e2）解：由ln2xlnx20得 ，即 ，解得1xe2，故答案为：（1，e2）5已知x，y满足，则zy+2x的最小值为1【解答】解由约束条件画出可行域如图，联立，解得A（1，1），由zy+2x，得y2xz由图可
8、知，当直线y2xz过A时，z有最小值为1故答案为：16若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为1：8解：由已知两个球的表面积之比是1：4，所以两个球的半径之比是1：2，所以两个球的体积之比1：8；故答案为：1：87在ABC中，AB2，AC3，且ABC的面积为，则BAC30或150解：ABC中，AB2，AC3，且ABC的面积为，ABACsinBAC，即23sinBAC，整理得：sinBAC，则BAC30或150，故答案为：30或1508展开式中的常数项为19解：依题意，（1x）6展开式的通项是，当r0时，；当r3时，展开式的常数项是故答案为：199设椭圆：1（a1），直线l过的左顶点
9、A交y轴于点P，交于点Q，若AOP为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是AP的中点，则的长轴长等于2解：如图所示，设Q（x0，y0）由题意可得：A（a，0），P（0，a）因为Q是AP的中点，所以，（x0，y0a）（ax0，y0），代入椭圆方程可得：，解得椭圆的长轴长等于故答案为：10有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是解：反面法：取出的3个球颜色齐全但号码齐全的情况为6种，取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是故答案为：11若圆O的半径为2，圆O的一条弦AB长为2，P是圆O上任意一点，点
10、P满足，则的最大值为10解：【法一：建系法】如图以AB中点C为原点建系，则，所以圆O方程为，所以设，Q（x0，y0），因为，所以，所以，因为cos1，1，所以的最大值为10【法二：投影法】连接OA，OB过点O作OCAB，垂足为C，则，因为，所以Q所以，且仅当且同向时取等号，的最大值为10，故答案为：1012已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21再接下来的三项是20，21，22，依此类推若该数列的前n项和为2的整数幂，如，则称中的（n，k）为“一对佳数”，当n100时，首次出现的“一对佳数”是（441，29）解：根据题意，
11、所以前n组共有1+2+3+n个数，则有，令（当n14时有105个数），由题意可知：若Sn2n+12n为2的整数幂，验证可得：则1+2+（2n）0时，解得n1，总共有项，不满足n100；1+2+4+（2n）0时，解得n5，总共有项，不满足n100；1+2+4+8+（2n）0时，解得n13，总共有项，不满足n100；1+2+4+8+16+（2n）0时，解得n29总共有项，满足n100；n的最小值为441所以首次出现的“一对佳数”是（441，29）；故答案为：（441，29）二、选择题（本大题满分20分，共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5
12、分，否则一律得零分）13已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c10，l2：a2x+b2y+c20，那么“0是“两直线l1，l2平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：若“0则a1b2a2b10，若a1c2a2c10，则l1不平行于l2，若“l1l2”，则a1b2a2b10，0，故“0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件，故选：B14设抛物线y28x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（）A等于10B大于10C小于10D与l的斜率有关解：抛物线方程可知p4，由线段AB的
13、中点E到y轴的距离为3得，|AB|x1+x2+410，故选：A15曲线y（sinx+cosx）2和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，则|P2P4|等于（）AB2C3D4解：由已知得，y（sinx+cosx）21+sin2x，令，即，则，或，kZ，即，或，kZ，故|P2P4|，故选：A16设函数yf（x）、yg（x）的定义域、值域均为R，以下四个命题：若yf（x）、yg（x）都是R上的递减函数，则yf（g（x）是R上的递增函数；若yf（x）、yg（x）都是奇函数，则yf（g（x）是偶函数；若yf（g（x）是周期函数，则yf（x）、yg（x）都是周期函数；若yf（g（x
14、）存在反函数，则yf（x）、yg（x）都存在反函数其中真命题的个数是（）A0B1C2D3解：若yf（x）、yg（x）都是R上的递减函数，若x1x2，则f（x1）f（x2）和 g（x1）g（x2），f（g（x1）f（g（x2），则根据复合函数的性质，yf（g（x）是单调递增函数，正确；若yf（x）、yg（x）都是奇函数，则f（x）f（x），g（x）g（x），f（g（x）f（g（x）f（g（x）也是奇函数，不正确；若yf（g（x）是周期函数，则只需yg（x）是周期函数即可，错误；若yf（g（x）存在反函数，yf（x）是一一对应的，yg（x）是一一对应的，则yf（x）、yg（x）都存在反函数，正确故
15、选：C三、解答题（本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤）17如图，在四棱雉锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD90，ABADAP2，BC1，且Q为线段BP的中点（1）求直线CQ与PD平面所成角的大小；（2）求直线CQ与平面ADQ所成角的大小解：（1）以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），C（2，1，0）则Q（1，0，1），设异面直线CQ与PD所成的角为，则，即异面直线CQ与PD所成角的大小为（2）设平面ADQ的法向量为，由
16、，可得，所以取（1，0，1），设直线CQ与平面ADQ所成的角为，则即直线CQ与平面ADQ所成角的大小为18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且2cos2cosBsin（AB）sinB+cos（A+C）（1）求cosA的值；（2）若a4，b5，求B和c解：（1）由，得，即，可得，即（2）由，得，根据正弦定理，得由题意ab，则AB，故再由余弦定理a2b2+c22bccosA，得，解之得c1（c7舍去）19数学建模小组检测到相距3米的A，B两光源的强度分别为a，b，异于A，B的线段AB上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设ACx米（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比
17、，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数k（k0），测得数据：当x1时，；当x2时，y3k，求A，B两处的光强度，并写出函数yf（x）的解析式；（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数k（k0），测得数据：当x1时，；当x2时，y2k，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度解：（1）由已知，得，所以，故（2）由已知，得，所以，故因为，当且仅当，所以当时的C处，光强度最弱为20（16分）在直角坐标系xOy中，直线y2x是双曲线的一条渐近线，点A（1，0）在双曲线C上，设M（m，n）（n0）为双曲线上的动点，直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为
18、N，直线AN与y轴相交于点Q（1）求双曲线C的方程；（2）在x轴上是否存在一点T？使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求M点的坐标，使得MPQ的面积最小解：（1）由己知，得a1，b2，所以（2）设T（x0，0），因为，所以，所以因为，所以，因为，所以，故x02，存在T（2，0）（3）因为，当且仅当n2时，取得最小值，此时M的坐标是或或或21（18分）对于数列an，若存在常数M0对任意nN*恒有|an+1an|+|anan1|+|a2a1|M，则称an是“数列”（1）首项为a1，公差为d的等差数列是否是“数列”？并说明理由；（2）首项为a1，公比为q的等比数列是否是“数列”？并
19、说明理由；（3）若数列an是数列，证明：也是“数列”，设，判断数列An是否是“数列”？并说明理由解：（1）因为an是等差数列，所以an+1ananan1d，设|an+1an|+|anan1|+|a2a1|M，即n|d|M对一切nN*恒成立，则d0，所以d0时，等差数列是“数列”，当d0时，等差数列不是“数列”；（2）由，则，当q1时，|an+1an|+|anan1|+|a2a1|0，必定存在正数M符合题意，所以是“数列“；当q1时，|an+1an|+|anan1|+|a2a1|2n|a1|，n，2n|a1|，所以不是“数列“；当q1或q1时，n，|qn1|，|an+1an|+|anan1|+|
20、a2a1|，所以不是“数列”；当1q0或0q1时，|an+1an|+|anan1|+|a2a1|，必定存在不小于的常数M符合题意，所以是“数列”综上，当1q0或0q1时，是“数列”，当q1或q1时，不是“数列”；（3）因为|an+1|an+1an+anan1+a2a1+a1|an+1an|+|anan1|+|a2a1|+|a1|M+|a1|所以|an+1|+|an|2（M+|a1|），因为|an+1|+|an+1|an+1an|2（M+|a1|）|an+1an|可得2（M+|a1|）|an+1an|+|anan1|+|a2a1|2M（M+|a1|）所以也是“数列“；因为，所以所以|A1A2|+|A2A3|+|AnAn+1|an+1an|+|anan1|+|a2a1|M，所以An是“数列”
