1、襄阳五中 2022 届高三年级适应性考试（三）数 学 试 题 命题人：王荣 审题人：谢伟 王丹 胡桂莲 注意事项（请考生在作答前认真阅读）：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上,并用 2B 铅笔填涂准考证号.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.作答非选择题时,必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.4.本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分.考
2、试用时 120 分钟.第I卷（选择题）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合220MxxxZ，Nx xa，若MN有且只有 2 个元素，则 a 的取值范围是()A0,1 B0,1 C0,2 D(,1 2一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，用分层抽样从全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，抽出的男运动员平均身高 177.5cm，抽出的女运动员平均身高为 168.4cm，则估计该田径队运动员的平均身高是（）A173.6cm B172.95cm C172.3cm D176cm 3已知双曲线22221
3、0,0 xyabab的左顶点与抛物线220ypx p的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为2,1，则双曲线的方程为（）A 221369xy B.22132xy C.2214xy D.22142xy 4区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为 512B，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行131.25 10次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（）（参考数据：lg20.3，103.16）A1416.32 10s B1406.32 1
4、0s C1413.16 10s D1403.16 10s 5如图，体积为V 的大球内有 4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点，1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（）A12VV B22VV C12VV D12VV 6在数列 na中，11a ，12nnna a ，若19248mmmaaa，则m（）A3 B4 C5 D6 7过点1,2P作曲线 C：4yx的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为（）A280 xy B240 xy
5、C240 xy D240 xy 8已知点 O，A，B 是同一平面内不同的三个点，且4OAAB，若0,1，112OBOABOBA的最小值为2 5，则 OB （）A2 3 B4 3 C2 2 D4 2 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有项选错得 0 分.9设复数13 i22z 的共轭复数为 z，则下列选项正确的有（）A22cosisin33z B212zz C1zz D332zz 10设函数 f（x）的定义域为 R，000 xx 是 f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A)()(,
6、0 xfxfRx B0 x是()fx的极大值点 C0 x是()f x的极小值点 D0 x是()fx的极小值点 11将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 n 次，以nP 表示没有出现连续 3 次正面向上的概率，则下列结论正确的是（）A 378P B 41516P C当2n 时，1nnPP D1231114248nnnnPPPPn 12已知抛物线2:4C yx的焦点为 F，抛物线 C 上存在 n 个点1P，2P,，nP（2n 且*Nn）满足1223112nnnPFPP FPP FPP FPn ，则下列结论中正确的是（）A2n 时，12112PFP F B3n 时，123PFP FP F的最小值为 9 C4
7、n 时，13241114PFP FP FP F D4n 时，1234PFP FP FP F的最小值为 8 第 II 卷（非选择题）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13集合101xAx x，Bx xba，若“1a ”是“AB ”的充分条件，则实数b 取值范围是_ 14在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M 交 x 轴于2,0,4,0AC，交 y 轴于,B D，四边形 ABCD的面积为 18，则OM _.15已知函数()sin2cosf xxx的图象向右平移 个单位长度得到()2sincosg xxx的图象，若 x为()sincosh
8、xxax的一条对称轴，则a_ 16如图，三棱柱111ABCABC中，1AABC，11ABBB.1AB ，2AC，3BC，问1AA 为_时，三棱柱111ABCABC体积最大，最大值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10分)设数列 na满足*1141,4nnaanNa（1）求证：数列12na是等差数列；（2）设221nnnaba，求数列 nb的前n 项和为nT.18(12分)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且abc，现有三个条件：a，b，c 为连续自然数；2ca；2CA.（1）从上述三
9、个条件中选出两个，使得 ABC 不存在，并说明理由；（2）从上述三个条件中选出两个，使得 ABC 存在，并求 ABC 的面积（写出一组作答即可）19(12 分)规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望；(2)为验证抽球
10、试验成功的概率不超过 12，有 1000 名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t 表示成功时抽球试验的轮次数，y 表示对应的人数，部分统计数据如下：t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求 y 关于t 的回归方程byat，并预测成功的总人数（精确到 1）；(3)证明：22222222221111111111111111?12232342321nn 附：回归方程系数：1221niiiniix ynx ybxnx，xbya；参考数据：5211.46iix，0.46x，20.212x（其中1iixt，5115iixx）20(12 分)如图，在三棱台111ABCABC中，底面 A
11、BC 是边长为 2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111ACAA，D 为11AC 的中点（1）证明：ACBD；（2）记二面角1AACB的大小为，2,33 时，求直线1AA与平面11BBC C 所成角的正弦值的取值范围 21(12 分)如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，离心率，过左焦点 F1 作 x轴的垂线交椭圆于 A、A两点，|AA|=4（1）求该椭圆的标准方程；（2）取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P、P，过 P、P作圆心为 Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q 外求PPQ 的面积 S 的最大值，并写出对应的圆 Q 的标准方程 22(12 分)函数(
12、)esinxf xax，,x .(1)求证：当1a 时，()f x 存在唯一极小值点0 x，且010f x；(2)是否存在实数a使()f x 在,上只有一个零点，若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由.第 1页，共 5页答案和解析1A2A3.C4D设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为 x 秒，则有5121321.25 10 x；两边取常用对数，得51251213132lglglg 2lg1.25 101.25 10 x；lg512lg2lg1.25 13x 512lg23lg5 11512lg23 1 lg211515lg 2 14140.5；所以140.51400.51401
13、010103.16 10 x.故选：D.5D设大球半径为 R，小球半径为 2R，根据题意3312444()332RVRVV，所以333214424()033232RVVVRR故选：D6B解：由题意得122a a，22a，1121222nnnnnnaaa a，即22nnaa，所以当 n为奇数时，1 122nna；当 n 为偶数时，22nna；设 na的前 n 项和为nS，则21 22(1 2)3 211 21(2)kkkkS，2212213(21)223kkkkkkSSa.若 m 为奇数，则19mmmaaa为 3 的倍数，248 不是3 的倍数，不合题意；当 m 为偶数，则91241211221
14、9mmmmmmmSSaaaSS 41 26162222222322622422823222mmmmmm，即224m，所以4m.7A设11,A x y，22,B xy，24yx ，所以在 A 点处的切线方程为11214yyxxx，将1,2P代入得1121421yxx，因为114yx，化简得11280 xy，同理可得22280 xy，所以直线 AB 的方程为280 xy，故选：A8D解：设1,(1),2OMOB BMBO BPBA 所以112OBOABOBAOMOABMBPAMPM，设2OAB，点 A 关于OB 对称的点为 A，AA 与OB 交于点 H，A P 与OB 交于点0M，则当点 M 位于
15、0M 位置时，AMPM取得最小值2 5A P，在AA P中，28cos5,2,2AAAHAPA P，所以由余弦定理得：24(8cos)20cos22 8cos，解得：21cos2，所以22116sin1682BH，所以2|4 2OBBH故选：D9ACD对于 A，由题可知1322 icosisin2233z，所以 A 正确；对于 B，因为221313ii222211313ii2222zz，所以 B 错误；对于 C，因为13 i2211113 i22zz，所以 C 正确；因为 2322323113 12zzzzzzzzzzzzzz ，故 D 正确.故选：ACD10BD对 A.000 xx 是 fx
16、 的极大值点，并不是最大值点，故 A 不正确；对 B.fx相当于 fx 关于 y 轴的对称图象，故0 x应是fx的极大值点，故 B 正确；对 C.fx相当于 fx 关于 x 轴的对称图象，故0 x 应是 fx的极小值点，跟0 x没有关系，故 C 不正确；对 D.fx相当于 fx 先关于 y 轴的对称，再关于 x 轴的对称图象.故 D 正确.故选：BD.11ACD当3n 时，3317128P，A 正确；当4n 时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，431311616P，B 错误；要求nP，即抛掷 n 次没有出现连续 3 次正面的概率，分类进行讨论；如果第 n
17、 次出现反面，那么前 n 次不出现连续三次正面和前1n 次不出现连续三次正面是相同的，第 2页，共 5页这个时候不出现连续三次正面的概率是112nP；如果第 n次出现正面，第1n 次出现反面，那么前 n次不出现连续三次正面和前2n 次不出现连续三次正面是相同的，这个时候不出现连续三次正面的概率是214nP；如果第 n次出现正面，第1n 次出现正面，第2n 次出现反面，那么前 n次不出现连续三次正面和前3n 次不出现连续三次正面是相同的，这时候不出现三次连续正面的概率是318nP，综上，123111(4)248nnnnPPPPn，D 正确；由上式可得112111248nnnnPPPP，则1121
18、2311111 11122482 248nnnnnnnnPPPPPPPP311216nnPP，易知0nP ，所以131016nnnPPP，4n，故当4n 时，1nnPP 又121PP，378P，41316P，满足当2n 时，1nnPP，C 正确故选：ACD12BC当2n 时，1212PFPP FP，此时不妨取12PP过焦点垂直于 x 轴，不妨取12(1 2),(12)PP，则121111=+122PFP F，故 A 错误；当3n 时，12233123PFPP FPP FP ，此时不妨设123,P P P 在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx,则12|1cosPF，则2222|,|241
19、 cos()1 cos()33P FP F，故123222241cos1cos()1cos()33PFP FP F214(1cos)2211 cos(cos)2，令11 3cos,(,)22 2tt，则123242332tPFP FP Ftt，令242332()tttf t，则232 382627(1)()(32)(32)ttf ttttt，当 112t 时，()0f t，()f t递增，当312t 时，()0f t，()f t递减，故min()(1)9f tf，故当1t，即1cos,23时，123PFP FP F取到最小值 9，故 B 正确；当4n 时，122313442PFPP FPP F
20、PP FP ，此时不妨设1234,P P P P在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx,则12342222|,|,|,|31cos1cos()1cos()1cos()22PFP FP FP F，即234222|,|,|1sin1cos1 sinP FP FP F，故1322241 cos1 cossinPFP F，2422241 sin1 sincosP FP F，所以132242sincos144141PFP FP FP F，故 C 正确；由 C 的分析可知：23422122244416sincossincossin 2PFP FP FP F，当2sin 21 时，216sin 2 取
21、到最小值 16，即1234PFP FP FP F最小值为 16，故 D 错误；故选：BC132,21,1A ，当1a 时，1,1Bbb，因为“1a ”是“AB ”的充分条件，所以1 1 11bb ，22b 故填2,2142由题意1|3|182ABCDSACBDBD，故|6BDAC，而圆心 M 在 AC 的垂直平分线上，所以1Mx由垂径定理知半径2222311 92MBDry ,解得1My 所以(1,1)M或(1,1)，故2OM，故答案为：215 43设 5sinf xx，则2 5sin5，5cos5，第 3页，共 5页 5sing xx，则5sin5，2 5cos5，2k，即2k，3sinsi
22、nsin coscos sin5，4coscoscos cossin sin5，又 x是 sincosh xxax的一条对称轴，34sincos55haa21 a，即43a.故答案为 4316.183,3317【详解】（1）11411,42nnnnaaaa114224nnaa4211242242nnnnnaaaaa 为常数又1111,1,2aa 数列12na是以 1 为首项12为公差的等差数列.（2）由（1）知11111,222nnna 222,11nnann222144212 2121 212nnnnannbnannn11111121212 2121nnnn 1231111111112335
23、572121nnTbbbbnnn11122121nnnnn所以，数列 nb的前 n 项和为21nnTnn.18（1）选时三角形不存在，理由如下：在 ABC 中，由正弦定理得：sinsinacAC，由2CA，则sin2sincosCAA，即cos2cAa，又2ca，cos1A ，而(0,)A，此时 A 不存在，ABC 不存在（2）选时三角形存在：a，b，c 为连续自然数，abc，1,2baca，又2ca，22aa得2,3,4abc，在 ABC 中，由余弦定理得：2227cos28bcaAbc215sin1 cos8AA，则13 15sin24ABCSbcA选时三角形存在：a，b，c 为连续自然数
24、，abc，1,2baca，在 ABC 中，由余弦定理得：222222(1)(2)5cos22(1)(2)2(2)bcaaaaaAbcaaa，由正弦定理得 sinsinacAC，又2CA，即sin2sincosCAA，2cos22caAaa，则有522(2)2aaaa，得4,5,6abc2223cos24bcaAbc故27sin1cos4AA，则115 7sin24ABCSbcA.19(1)由题知，X 的取值可能为 1，2，3 所以2121114P XC；2211231112112P XCC；2211231123113P XCC；所以 X 的分布列为：X123P1411223所以数学期望为112
25、32242912341231212E X .(2)令1iixt，则 ybxa$，由题知：51315iiix y，90y，所以51522153155 0.46 901082701.465 0.2120.45iiiiix yx ybxx ，所以 90270 0.4634.2a ，27034.2yx，故所求的回归方程为：27034.2yt，所以，估计6t 时，11y；估计7t 时，4y；估计8t 时，0y；预测成功的总人数为 450114465.第 4页，共 5页(3)由题知，在前 n 轮就成功的概率为22222222221111111111111111223234231Pnn又因为在前 n轮没有成
26、功的概率为2221111111231Pn 1111111111111111223311nnnn 1324112223311nnnnnnnn 1 2212111222222222nnnnn，故2222222222111111111111111112232342321nn.20（1）证明：如图，作 AC 的中点 M，连接 DM，BM，在等腰梯形11ACC A 中，D，M 为11AC，AC 的中点，ACDM，在正 ABC中，M 为 AC 的中点，ACBM，ACDM，ACBM，DMBMM，DM，BM 平面 BDM，AC 平面 BDM，又 BD 平面 BDM，ACBD（2）解：AC 平面 BDM，在平面
27、 BDM 内作 MzBM，以 M 为坐标原点，以 MA，MB，Mz，分别为 x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，DMAC，BMAC，DMB为二面角1AACB的平面角，即DMB，1,0,0A，0,3,0B，1,0,0C，330,cos,sin22D，1133,cos,sin222C，1133,cos,sin222A，设平面11BB C C 的法向量为,nx y z，1,3,0CB，1133,cos,sin222CC，则有100CB nCCn ，即30133cossin0222xyxyz，则可取1 cos3,1,sinn，又1133,cos,sin222AA，设直线1AA 与平面11BB
28、C C 所成角为，12233sincos,21 2coscos341 cossinAA n，2,33，1 1cos,2 2，21 3 13sin,71321（1）设椭圆方程为，左焦点 F1（c，0），将横坐标c 代入椭圆方程，得 y=，所以，a2=b2+c2，联立解得 a=4，所以椭圆方程为：；（2）设 Q（t，0）（t0），圆的半径为 r，直线 PP方程为：x=m（mt），则圆 Q 的方程为：（xt）2+y2=r2，由得 x24tx+2t2+162r2=0，由=0，即 16t24（2t2+162r2）=0，得 t2+r2=8，把 x=m 代入，得，所以点 P 坐标为（m，），代入（xt）2+
29、y2=r2，得，由消掉 r2 得 4t24mt+m2=0，即 m=2t，第 5页，共 5页=（mt）=2，当且仅当 4t2=t2 即 t=时取等号，此时 t+r=+4，椭圆上除 P、P外的点在圆 Q 外，所以PPQ 的面积 S 的最大值为，圆 Q 的标准方程为：当圆心 Q、直线 PP在 y 轴左侧时，由对称性可得圆 Q 的方程为，PPQ 的面积 S的最大值仍为为22(1)当1a 时，()esinxf xx，(,)x ，ecosxfxx，()esin0 xfxx恒成立，所以 fx在(,)上单调递增，又2e02f，34343312ecos442ef，23342eee2，所以34e2，即34122e
30、，所以304f.所以存在03,42x，使得00fx，即00ecos0 xx.则在0,x上，()0fx，在0,x 上，()0fx，所以在0,x上，()f x 单调递减，在0,x 上，()f x 单调递增.所以()f x 存在唯一的极小值点0 x.000000esinsincos2 sin4xf xxxxx，03,42x，则03,44x ，002 sin(1,0)4f xx.(2)当0a 时()xf xe无零点，当0a 时，由()0f x 得esin0 xax，所以1sinexxa，令sin()exxF x，,x ，2 sincossin4()eexxxxxF x，令()0F x，得4xk，1k
31、，kZ.由函数2 sin4yx的图像性质可知：52,244xkk时，2 sin04x，()F x 单调递减.52,2244xkk 时，2 sin04x，()F x 单调递增.所以524xk，kZ，1k 时，()F x 取得极小值，即当35,44x 时()F x 取得极小值，又354435sinsin440ee，即35044FF，又因为在3,4 上()F x 单调递减，所以3()04FF x.同理当24xk，kZ，0k 时，()F x 取得极大值，即当9,44x时()F x 取得极大值，又9449sinsin440ee，即9044FF，4422 e422eF，3432 e42F.,x 时，34422e()e22F x.当412 e2a或3412 e2a，即42ea，或342ea时，1 ya 与sin()exxF x 的图象只有一个交点.存在实数42ea 或342ea，使()f x 在,上有且只有一个零点.
