1、上海市嘉定区2020届高三数学下学期二模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合，则_【答案】.【解析】【分析】利用集合运算直接求交集【详解】.故答案为：【点睛】考查了集合的运算求两集合的交集，属于容易题.2.线性方程组的增广矩阵为_【答案】.【解析】【分析】直接根据线性方程组的增广矩阵的含义求解.【详解】线性方程组的增广矩阵为,故答案为: 【点睛】考查了线性方程组的增广矩阵的含义,属于容易题.3.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为_.【答案】【解析】【分析】根据圆柱的侧面积
2、公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案.【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为.【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.在的二项展开式中，项的系数为_【答案】.【解析】【分析】直接用二项展开式的通项公式求解.【详解】，故的系数为故答案为：【点睛】考查了二项式定理，利用通项公式求特定项的系数，属于容易题.5.若实数满足，则的最大值为_【答案】3.【解析】【分析】画出可行域，求出线性目标函数的最大值.【详解】画出可行域如图所示：令，则，易知截距越大，z
3、越大，直线 ，平移直线至时，.故答案为：3【点睛】考查了线性目标函数在线性约束条件下的最大值问题，属于容易题.6.已知球的主视图的面积是，则该球的体积等于_【答案】.【解析】【分析】先根据球的主视图的面积是，求出球的半径，再求球的体积.【详解】设球半径为，由故答案为：【点睛】考查了三视图的概念，球的体积公式，属于容易题.7.设各项均为正数的等比数列的前项和为，则_【答案】63.【解析】【分析】先由,求出等比数列的公比，再和等比数列的前项和公式求出详解】由，得故答案为: 63【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前项和公式，属于容易题.8.已知函数（且）的反函数为若，则_【答案】2.【解析】【分
4、析】由，得，再代入解析式，求出【详解】故答案为：2【点睛】本题考查了原函数与反函数间的关系，属于容易题.9.设，则_【答案】5.【解析】【分析】先由，求出，再代入式子求模.【详解】由，则故答案为：5【点睛】本题考查了在复数范围内解一元二次方程，及求复数的模，属于容易题.10.从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_（结果用数值表示）【答案】.【解析】【分析】从4对夫妇中随机抽取3人,故总数是，3人中任何两人都不是夫妻可先从4对夫妇中选3对夫妻出来，有种选择，再从每对夫妻2人中选1人,有种，再算出所求概率.【详解】从4对夫妇中随机抽取3人,故总数是,3人
5、中任何两人都不是夫妻可先从4对夫妇中选3对夫妻出来，有种选择，再从每对夫妻2人中选1人,有种，即有种，故所求概率.故答案为：【点睛】本题是组合与古典概型的综合题，属于基础题.11.设是双曲线的动点，直线（为参数）与圆相交于两点，则的最小值是_【答案】3.【解析】【分析】先分析直线与圆的方程，得到直线过圆心，再将变为，转化为动点到距离的最小值.【详解】设圆心为，并且直线过，则又，又,则故答案为：3【点睛】本题是直线参数方程、直线与圆位置关系、向量、圆锥曲线的综合问题，分析出直线过圆心，向量式转化化简是突破点，难点.12.在中，内角的对边分别为，若，则_【答案】.【解析】【分析】先用余弦定理对式子
6、进行化简，再用辅助角公式转化为正弦型函数，然后利用正弦型函数的有界性求解.【详解】，而,故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理，两角和与差公式，均值定理，属于中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】先对“”等价变形，再利用集合法判断充要条件【详解】由，则，则，故为必要非充分条件.故选：B【点睛】本题考查了用集合法判断充要条件，属于容易题.14.下列函数中，既是上的增函
7、数，又是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对选项的函数的单调性和奇偶性作判断.【详解】对A奇函数；对B非奇非偶函数；对C：是偶函数，在是减函数.故选：D【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，属于容易题.15.如图，若正方体的侧面内动点到棱的距离等于它到棱的距离，则点所在的曲线为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆【答案】C【解析】【分析】侧面内动点到棱的距离等于它到棱的距离,转化成动点到定直线和定点的距离相等，判断点轨迹为抛物线.【详解】到棱的距离即到的距离,即点到定直线和定点距离相等（注意：点不在直线上）轨迹为抛物线，故此题选C【点睛】本题将圆锥
8、曲线与立体几何融合，主要考查转化与化归思想，利用圆锥曲线的定义判断轨迹类型.16.设数列的前项和为，且是6和的等差中项若对任意的，都有，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据等差中项的概念列出关系式，再利用与之间的关系，得到关于的递推关系式，求得的表达式，再计算的取值范围，再计算的取值范围解出题目.【详解】由是6和的等差中项，得，令得 ，又，得，则是首项为，公比为的等比数列, 得若为奇数，；若为偶数，而是关于的单调递增函数，并且，故最小值是，故此题选B【点睛】本题考查了用与之间的关系，由递推关系式求通项公式，以及求指数型函数和双勾函数的值域，属于综合应用题.
9、三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为3，底面（1）求四棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）12；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用锥的体积公式求四棱锥的体积.（2）平移直线，找到异面直线与所成角，并计算角的大小.【详解】解：（1）在中,则，则（2）由，所以即为异面直线与所成角（或其补角），由，且，得面，又面，所以，在中，【点睛】本题考查了棱锥的体积公式和异面直线所成的角,属于容易题.18.设常数，函数（1）若为奇函数，求的值；（2）若，求方程在区间上
10、的解【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）为奇函数,可得，解出，再代回验证看是否符合题意.（2）根据求出，再解方程.【详解】（1）当为奇函数时，必有,当时，是奇函数，符合题意，故.（2）由题，得，由或，或，所以在区间上的解为【点睛】本题考查了奇函数的概念与性质，三解恒等变换，属中档题.19.某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工据估计，若能动员户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为万元（1）在动员户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬
11、菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求的最大值【答案】（1）；（2）9.【解析】【分析】（1）根据题意，表示出动员户农民从事蔬菜加工后农民的总年收入，动员前农民的总年收入，再解不等式.（2）转化成恒成立问题，再分离变量，转化成函数的最值问题.【详解】解：（1）动员户农民从事蔬菜加工后，农民总年收入为，由题得（2）由题恒成立，其中，即恒成立，又因为，当且仅当时等号成立，所以【点睛】本题是应用问题，应理解题意，列出关系式，还考查了解一元二次不等式，和恒
12、成立问题的处理方法，以及利用均值不等式求最值.20.已知椭圆过点，且它的一个焦点与抛物线的焦点相同直线过点，且与椭圆相交于两点（1）求椭圆的方程；（2）若直线的一个方向向量为，求的面积（其中为坐标原点）；（3）试问：在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）定点，定值.【解析】【分析】（1）直接根据椭圆过点，求出，再根据椭圆的一个焦点是抛物线抛物线的焦点，求得，再求出，得到椭圆的方程.（2）先求出直线方程，与椭圆的方程联立，求出交点，再求出的面积.（3）先设轴上是存在点使得为定值，设出直线，的坐标，表示出，再分析怎样使为定值.【
13、详解】解：（1）椭圆过点，代入得，抛物线的焦点为，得，得，故椭圆方程为（2），将直线与椭圆联立，解得，如图所示：故（3）当直线斜率不为0时，设：，将与椭圆联立得，则有，则由于该式不管取何值均为定值，故，得，定值为当直线斜率为0时，综上，定点，定值【点睛】本题考查了圆锥曲线的定义和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，处理直线与圆锥曲线位置关系的基本思路和方法：设而不解；联立方程组，根与系数的关系，还考查了定点，定值问题.21.已知为正整数，各项均为正整数的数列满足：，记数列的前项和为（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若为奇数，求证：“”的充要条件是“为奇数”【答案】（1）；（2）或；（3
14、）见解析.【解析】【分析】（1）利用递推公式直接代入求值.（2）分类讨论当为奇数和偶数的情况，再讨论为奇数和偶数的情况，求得的值.（3）先证充分性（易证得），再证必要性，用数学归纳法证明.【详解】解：（1），则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故（2）由题设是整数若为奇数,可设，,则是偶数，得，则，此时，符合题意若为偶数,可设，,则，当是偶数时，可设，得，则，此时不存在当是奇数时，可设，得，则，得 ，得综合可得，或（3）充分性：若为奇数，则；必要性：先利用数学归纳法证：（为奇数）；（为偶数），成立；假设时，（为奇数）；（为偶数）当时，当是偶数，；当是奇数，此时是偶数综上，由数学归纳法得（为奇数）；（为偶数）从而若时，必有是偶数进而若是偶数，则矛盾，故只能为奇数【点睛】本题是递推关系为分段函数类型，注意分析并使用分类讨论，还考查了充要条件的证明，复杂的且关于自然数的递推不等式的证明可用数学归纳法证明.
