1、2019 级 2020-2021 学年 11 月学分认定考试数学考试试题本试卷分第卷和第卷两部分,共 4 页,满分为 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项：1. 答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2. 第卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3. 第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其他笔.第卷b一、单项选择题（本题共 8
2、 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量a = (2,3, -4),b = (-3, x, y)分别是平面a, b 的法向量,若 a, 则 （ ） A. x = 9 , y = 6 B. x = - 9 , y = 6 C. x = - 9 , y = -6 D. x = 9 , y = -6 22222. 在四面体 ABCD 中, E 、 F 分别是棱 AD 、 BC 上点,且 AE = 2ED , BF = 2FC ,则( ) A. EF = 1 AB - 1 CD B. EF = 1 AB + 1 CD 3333C. EF
3、= 1 AB - 2 CD EF = 1 AB+ 2 CDD.33333. 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中, AB = BC = AA1 , ABC = 90 ,点 E, F 分别是棱 AB, BB1 的中点,则直线 EF 和 AC1 所成角的余弦值是( ) 22A.B.43 C. D.66364. 若直线l 经过点(-2,1) ,且原点到直线l 的距离为2 ,则直线l 的方程为（ ） A. 3x - 4y +10 = 0B. x = -2 C. 3x - 4y +10 = 0 或 y = -2D. 3x - 4y +10 = 0 或 x = -2 25.向量a = (-1, 2,
4、-2) , b = (k, 4,5) 夹角的余弦值为6,则实数k 为（ ） A. 3 B. -11 C. -3 或 11 D. 3 或 -11 4 - y26. 直线 x + y - b = 0 与曲线 x =有且仅有一个公共点,则b 的取值范围是( ) 2A. b = 2B. -2 b 2 2C. -2 b 2 或b=2 2D. -2 b 2 或b=27. 正方形 ABCD 边长为 1,动点 P 在以点C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 AP = l AB + m AD , 则l + m 的取值范围（ ） A. (1，3) B. 1, 3 C. 1, 3) D. (1, 3 8. 在棱长为1
5、的正四面体 ABCD 中,点M 满足AM=xAB+yAC+ (1-x-y AD),点N 满足 DN =l DA -(l -1) DB ,当 AM、DN 最短时, AM MN = （ ） A. - 1 B. 1 C. - 2 D. 2 3333二、多项选择题（本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分）9. 下列命题中错误的是（ ） A. 空间中任意两非零向量a,b 共面 B. 若a, b, c 是空间的一个基底,则a, b, c 中至多有一个零向量C.直线的方向向量是唯一确定的
6、 D.若a b 0 ,则 a, b 是钝角 10.已知直线l1 : x + my -1 = 0,l2 : (m - 2)x + 3y +1 = 0 ,则下列说法正确的是（ ） A.若l1l2 , 则 m = -1 或 m = 3 B. 若 l1l2 ,则m = -1 C.若l l ,则m =- 1D.若l l ,则m = 1 12212211. 瑞士著名数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若DABC 满足 AC = BC ,顶点 A(1, 0) ，B (-1, 2) ,且其“欧拉线”与圆 M ： ( x - 3)2 +
7、 y2 = r2 相切,则下列结论正确的是（ ） A. 圆 M 上的点到原点的最大距离为 3+ 2 2B. 圆 M 上存在三个点到直线 x - y -1 = 0的距离为C. 若点( x, y ) 在圆 M 上,则y x+1的最小值是- 2D.若圆 M 与圆 x2 + ( y - a)2 = 2 有公共点，则a -3,3 12. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, P 是侧面 ADD1 A1 上的动点,若 PB1 与 A1C 垂直,则直线 PB1 与平面 BC1 所成角正弦值的可能取值是（ ） A.2B.5C.6D.3 2332第卷 三、填空题（本题共 4 个小题,每小题 5 分,共
8、 20 分.）13. 设直线l 的方程为(a +1)x + y +1- a = 0 ，则直线l 经过定点 ；若直线l 在两坐标轴上的截距相等,则直线l 的方程为 （第一个空 2 分,第二个空 3 分） 14. 直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴、 y 轴交于 A 、 B 两点,点 P 在圆 x2 + y2 - 2x - 2y = 0 上,则DABP 面 积 的 最 大 值 15. 刘徽的九章算术注记载：“斜解立方,有两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一”.意即把一长方体沿对角面一分为二,这相同的两块叫“堑堵”,沿“堑堵”的一顶点与其相对的面对角线剖开成两块,
9、大的叫“阳马”（底面为长方形,且有一侧棱与底面垂直的四棱锥）,小的叫“鳖臑”（四个面均为直角三角形的四面体）,两者体积比为 2:1.现在从一个棱长为 2 的正方体中剖出一个“阳马”P - ABCD ,满足 PA 平面 ABCD , M 为 PC 的中点, 则点 P 到平面 MAB 的距离为 16. 如图,在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中, AA1 = AD =2, AB = 2 ， E 为线段 B1C 的中点, F 是棱C1D1 上的动点,若点 P 为线段 BD1 上的动点, 则 PE + PF 的最小值为 四、解答题（本题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证
10、明过程或演算步骤）17.（10 分）从点 A(-1, 2) 发出的光线l 射到 x 轴上被 x 轴反射后,照射到圆C ： x2 + y2 - 2x - 4y + 3 = 0 上 (1) 若反射光线穿过圆C 的圆心,求反射光线方程； (2)求 x 轴反射点横坐标的取值范围 18.（12 分）已知圆C 过原点且圆心在 x 轴上,若过点 A(2, 2) 的圆的切线只有一条 (1)求圆C 的方程及过点 A 的切线方程； (2) 若 B 为圆上的动点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 19.（12 分）如图,在三棱锥 P - ABC 中, PA 平面 ABC , BAC = 90 , D, E, F
11、 分别是棱 AB, BC,CP 的中点, AB = AC = PA = 2 . (1) 求直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值; (2)求点 P 到平面 DEF 的距离. 20.（12 分）如图所示,多面体是由底面为 ABCD 的直四棱柱被截面 AEFG 所截而得到的,该直四棱柱的底面为菱形,其中 AB = 2 ， CF = 5 ， BE = 1, BAD = 60 (1)求 BG 的长； (2) 求平面 AEFG 与底面 ABCD 所夹角的余弦值 21.（12 分）平面直角坐标系中,曲线 y = x2 - 2x - 3 与坐标轴的交点都在圆C 上. (1)求圆C 的方程； (2)圆C 与直线 x + y + a = 0 交于 A, B 两点,在圆C 上是否存一点 M ，使得四边形CAMB 为菱形？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，说明理由 3 22.（12 分）平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆被直线 x -(1) 求圆O 的方程； 3y - 2 = 0 截得弦长为2 (2) 过点 P (0,1) 的直线与圆O 交于 A, B 两点,与 x 轴交于点Q ,设QA = l PA,QB = m PB 求证： l + m 为定值
